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文本内容:
2019-2020年高中数学平面向量的数量积的物理背景及其含义00【知识与技能】
1.掌握平面向量的数量积及其几何意义;
2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律;
3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题;
4.掌握向量垂直的条件.【过程与方法】平面向量的数量积是在分析了物理上“做功”问题的背景下来研究其含义的,是一个向量的模与另一个向量在该向量方向上的投影的积.平面向量的数量积是向量运算的一种,其结果是一个数值.根据运算法则,求平面向量的数量积应知道两个向量的模与夹角,在确定两个向量的夹角时,应先保证其起点相同,否则容易把其夹角的补角错当夹角.
一、教学目标1.正确理解平面向量的数量积的概念,能够运用这一概念求两个向量的数量积,并能根据条件逆用等式求向量的夹角;2.掌握平面向量的数量积的重要性质,并能运用这些性质解决有关问题;3.通过平面向量的数量积的重要性质猜想与证明,培养学生的探索精神和严谨的科学态度以及实际动手能力;4.通过平面向量的数量积的概念,几何意义,性质的应用,培养学生的应用意识.
二、教学重点平面向量的数量积概念、性质及其应用教学难点平面向量的数量积的概念,平面向量的数量积的重要性质的理解.
三、教学过程1.设置情境我们学过功的概念即一个物体在力的作用下产生位移,那么力所做的功,其中表示一个什么角度?表示力的方向与位移的方向的夹角.我们对上述物理意义下的“功”概念进行抽象,就一般向量、,来规定的含义2.探索研究(l)向量的夹角已知两个非零向量和,在平面上任取一点,作,,则叫做向量与的夹角.你能指出下列图中两向量的夹角吗?
①与的夹角为,
②与的夹角为,
③与的夹角是,
④与的夹角是.
(2)平面向量的数量积的定义(板书)已知两个非零向量和,它们的夹角为,我们把数量,叫做向量与的数量积或(内积)记作即并规定问在平面向量的数量积的定义中,它与两个向量的加减法有什么本质区别.答向量的数量积结果是一个数量,而向量的加法和减法的结果还是一个向量.问你能从图中作出的几何图形吗?表示的几何意义是什么?答如图5-33,过的终点作的垂线段,垂足为,则由直角三角形的性质得所以叫做向量在向量上的投影,叫做在上的投影.3的几何意义向量与的数量积等于的长度与在的方向上的投影的积.注意1投影也是一个数量,不是向量2当为锐角时投影为正值;当为钝角时投影为负值;当为直角时投影为0;当=0时投影为|b|;当=180时投影为|b|向量的数量积的几何意义数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积
(4)数量积的性质设,都是非零向量,是与的方向相同的单位向量,是与的夹角,则
①②③当与同向时,,当与反向时,特别地
④⑤3.演练反馈(投影)(通过练习熟练掌握性质)判断下列各题是否正确
(1)若,则对任意向量,有(√)
(2)若,则对任意非零量,有(×)
(3)若,且,则(×)
(4)若,则或(×)
(5)对任意向量有(√)
(6)若,且,则(×)4.总结提炼(l)向量的数量的物理模型是力的做功.
(2)的结果是个实数(标量)
(3)利用,可以求两向量夹角,尤其是判定垂直
(4)二向量夹角范围.
(5)五条属性要掌握.
五、板书设计【补充例题】例1判断正误,并简要说明理由.
①a·0=0;
②0·a=0;
③0-=;
④|a·b|=|a||b|;
⑤若a≠0,则对任一非零b有a·b≠0;
⑥a·b=0,则a与b中至少有一个为0;
⑦对任意向量a,b,с都有(a·b)с=a(b·с);
⑧a与b是两个单位向量,则a2=b2.解上述8个命题中只有
③⑧正确;对于
①两个向量的数量积是一个实数,应有0·a=0;对于
②应有0·a=0;对于
④由数量积定义有|a·b|=|a|·|b|·|cosθ|≤|a||b|,这里θ是a与b的夹角,只有θ=0或θ=π时,才有|a·b|=|a|·|b|;对于
⑤若非零向量a、b垂直,有a·b=0;对于
⑥由a·b=0可知a⊥b可以都非零;对于
⑦若a与с共线,记a=λс.则a·b=(λс)·b=λ(с·b)=λ(b·с),∴(a·b)·с=λ(b·с)с=(b·с)λс=(b·с)a若a与с不共线,则a·bс≠(b·с)a.评述这一类型题,要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.例2已知|a|=3,|b|=6,当
①a∥b,
②a⊥b,
③a与b的夹角是60°时,分别求a·b.解
①当a∥b时,若a与b同向,则它们的夹角θ=0°,∴a·b=|a|·|b|cos0°=3×6×1=18;若a与b反向,则它们的夹角θ=180°,∴a·b=|a||b|cos180°=3×6×(-1)=-18;
②当a⊥b时,它们的夹角θ=90°,∴a·b=0;
③当a与b的夹角是60°时,有a·b=|a||b|cos60°=3×6×=9评述两个向量的数量积与它们的夹角有关,其范围是[0°,180°],因此,当a∥b时,有0°或180°两种可能.。