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2019-2020年高中数学必修4教案1-2-1任意角的三角函数
(1)
一、教学目标重点:任意角三角函数的定义.难点用角终边上的点刻画三角函数.知识点三角函数的定义、三角函数的定义域、三角函数值在各个象限内的符号以及诱导公式一.能力点通过对定义域,三角函数值的符号,诱导公式一的推导,提高学生分析、探究、解决问题的能力和运用数形结合思想、化归与转化思想能力.教育点经历知识的“发现”过程,获得“发现”的经验,体会“发现”的乐趣,培养学生严谨治学精神.自主探究点三角函数的定义域及其确定方法;三角函数值在各个象限内的符号.考试点利用三角函数的定义求值、三角函数值的符号判定、利用诱导公式一求值.易错易混点已知角终边上一点的坐标,求角的三角函数值,含字母参数时,符号的确定问题.拓展点观察课本图
1.2-7,能否用线段表示三角函数值.
二、引入新课思考我们已经学过锐角三角函数,知道它们都是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?【师生活动】教师引导请同学们把给定锐角放在直角坐标系中,研究其正弦、余弦、正切(给出投影,见课本图
1.2-1)学生求解观察课本图
1.2-1,在锐角的终边上任取一点,根据锐角三角函数定义写出锐角三角函数的正弦、余弦、正切.,,教师提出探究性问题锐角三角函数的这些坐标表示,形式上与点的坐标值有关,点的位置不同,表示式中的,不同,但实际上作为锐角三角函数的值与终边上点的坐标值有关吗?请同学们交流、讨论.学生探究:利用相似三角形的知识,不难得出、、的值与终边上点的坐标值无关的结论.教师引导为了表示角的三角函数的值,可在终边上取一个“比较好”的特殊点,同学们认为哪个点比较好?师生共同分析得出将的终边与单位圆的交点作为这个特殊点来表示三角函数值比较好,形式简单(介绍单位圆)!,,【设计意图】由直角坐标系中角的终边与单位圆的交点来表示锐角三角函数,为任意角三角函数的定义做好准备.【设计说明】教师以问题引导,让学生自主探究和合作交流,经历知识的形成过程.
三、探究新知师到目前为止,我们在角和函数方面做了两方面的工作,一是推广了角的概念,二是给出了锐角三角函数的坐标表示,那么,将这两个工作结果结合起来,你能给任意角定义各三角函数吗?请交流讨论给出你们的观点.生同桌之间交流、讨论、思考、探究,多数学生能猜测出任意角的三角函数的坐标表示.师生总结通过让学生发表各自观点,总结出任意角三角函数的定义如图设是一个任意角它的终边与单位圆交于点那么:1叫做的正弦sine记做即;
(2)叫做的余弦cossine记做即;
(3)叫做的正切tangent记做即.说明:1当时,的终边在轴上,终边上任意一点的横坐标都等于,所以无意义除此情况外,对于确定的值,上述三各值都是唯一确定的实数.2当是锐角时,此定义与初中定义相同;当不是锐角时,也能够找出三角函数,因为,既然有角,就必然有终边,终边就必然与单位圆有交点,从而就必然能够最终算出三角函数值.3正弦余弦正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们将这种函数统称为三角函数.【设计意图】由锐角三角函数的坐标表示,学生猜测、总结任意角三角函数的定义,让学生积极参与知识的形成过程,培养合情猜测能力.
四、理解新知在弧度制下,三角函数以角为自变量,就是以实数(弧度数)为自变量;以角终边与单位圆交点的坐标或坐标的比值为函数值,就是以实数为函数值,因此三角函数是函数的一种,是一种特殊的函数.【设计意图】准确把握三角函数定义,清楚自变量是什么,对应关系有什么特点函数值是什么.
五、运用新知例1求的正弦、余弦和正切值分析关键是作角,进而写出与单位圆交点坐标,利用定义求解.解在直角坐标系中,作,易知的终边与单位圆的交点坐标为.所以,变式若把角改为呢答案【设计意图】让学生学习如何利用定义求不同情况下函数值的问题,进而加深对定义的理解,加强定义应用中与图形的联系,体会数形结合的思想.例2已知角的终边经过点,求角的正弦、余弦和正切值.分析利用相似三角形将任意点转化到单位圆上点,然后利用定义求值.解:由已知可得设角的终边与单位圆交于分别过点、作轴的垂线、,则,,∽,于是;【设计意图】将任意点转化到单位圆上的点,应用定义解题,巩固对定义的理解,培养转化思想和数形结合思想.思考1一般的,设角终边上任意一点的坐标为(xy)它与原点的距离为r则,你能自己给出证明吗?【设计意图】让学生掌握三角函数的另一种定义,可由角终边上任一点确定三角函数值.思考2如果将题目中的坐标改为题目又应该怎么做?【设计意图】让学生应用三角函数另一种定义求三角函数值,注意对参数的讨论探究请根据上述任意角的三角函数定义,先将正弦,余弦和正切函数在弧度制下的定义域填入下表,再将这三种函数的值再各象限的符号填入下表三角函数定义域【设计意图】通过定义的应用,让学生了解三种定义域及函数值在各象限的符号的变化规律,并从中进一步理解三角函数的概念,体会数形结合的思想.例3求证当下列不等式组成立时,角为第三象限角,反之也对分析从两方面证明,应用“一全正,二正弦,三正切,四余弦”符号记忆规律.证明我们证明如果
①②式都成立,那么角为第三象限角.因为
①成立,那么角的终边可能位于第三或第四象限,也可能与轴的非负半轴重合;又因为
②,所以角的终边可能位于第一或第三象限因为
①②式都成立,所以角的终边只能位于第三象限,于是角为第三象限角反过来,请同学们自己证明【设计意图】通过问题的解决,熟悉和记忆函数值在各象限的符号的变化规律,并进一步理解三角函数的概念.探究:根据三角函数的定义终边相同的角的同一三角函数值有何关系【设计意图】引出公式一,,,突出函数周期变化的特点,以及数形结合的思想.例
4.确定下列三角函数值的符号
(1)
(2)
(3)
(4)分析角绝对值较大时,先用公式一化大角为小角,再根据角所在的象限确定三角函数值符号.解:
(1)因为是第三象限角,所以;2因为是第四象限角,所以;3因为,而是第一象限角,所以
(4)巩固练习P
155.
(2)、
(4)、
(6)【设计意图】将确定函数值的符号与公式一结合,让学生熟悉和记忆函数值在各象限的符号的变化规律和公式一.例5求下列三角函数值:1;2;3分析先用公式一化大角的三角函数为小角()的三角函数,然后利用定义求值.解
(1)
(2)
(3)巩固练习P
157.
(2)、
(4)【设计意图】综合应用三角函数定义和公式一求值,培养学生问题转化意识,巩固三角函数概念理解.
六、课堂小结让学生回顾讨论,总结本节课学习内容1.知识任意角的三角函数的定义;三角函数的定义域及三角函数值的符号;公式一.2.思想数形结合的思想、分类讨论的思想、转化思想.教师总结:任意角的三角函数是由角的终边与单位圆交点的坐标定义的,三角函数值的符号是利用三角函数的定义来推导的,诱导公式一的作用可以把大角的三角函数转化为小角的三角函数.【设计意图】培养学生及时梳理,系统总结新知的习惯,掌握知识点的联系和思想方法的灵活运用.
七、布置作业1.阅读教材P11—14;
2.书面作业必做题P20习题
1.2A组
1.
(1)、
(2),4,
8.
(1)
(2)选做题
1.判断下列各式的符号
122.求下列各式的值123.课外思考观察课本图
1.2-7,能否用线段表示三角函数值.【设计意图】通过学生阅读和书面作业让学生进一步理解三角函数的概念,锻炼学生综合应用三角函数定义、公式一解决问题能力;课外思考的安排,是引起学生能否“以形示数”的思考,为下一节三角函数线的学习做好准备.
八、教后反思
1.本教案的亮点是新知引入.为了突破任意角三角函数定义这一难点,教学中在直角坐标系中考察锐角三角函数,先用锐角的终边上任一点坐标表示三角函数,再特殊化到用角终边与单位圆的交点来表示锐角三角函数,在此基础上定义任意角三角函数从初中锐角三角函数的定义向任意角的三角函数过渡,揭示了新旧知识的内在联系,符合学生的认知特点.
2.本教案有的题目需用到计算器,各校根据具体情况取舍.
3.本节课的弱项是知识点多,例题多,没能留给学生较多时间练习,在课上及时查找不足.
九、板书设计
1.
2.1任意角的三角函数
一、引入新课锐角三角函数坐标化
二、探究新知任意角三角函数的定义
三、运用新知
1.利用定义求三角函数值例1变式例2思考一思考二
2.探究三角函数定义域和三角函数值符号并填表例
33.探究公式一例4例5
四、课堂小结
五、布置作业 +(.)
①②。