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文本内容:
2019-2020年高中数学必修一教案2-1-1指数与指数幂的运算
(3)项目内容课题
2.
1.1指数与指数幂的运算(共3课时)修改与创新教学目标
1.通过与初中所学的知识进行类比理解分数指数幂的概念进而学习指数幂的性质.掌握分数指数幂和根式之间的互化掌握分数指数幂的运算性质.培养学生观察分析、抽象类比的能力.
2.掌握根式与分数指数幂的互化渗透“转化”的数学思想.通过运算训练养成学生严谨治学一丝不苟的学习习惯让学生了解数学来自生活数学又服务于生活的哲理.
3.能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简、求值培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力.
4.通过训练及点评让学生更能熟练掌握指数幂的运算性质.展示函数图象让学生通过观察进而研究指数函数的性质让学生体验数学的简洁美和统一美.教学重、难点教学重点1分数指数幂和根式概念的理解.2掌握并运用分数指数幂的运算性质.3运用有理指数幂性质进行化简、求值.教学难点:1分数指数幂及根式概念的理解.2有理指数幂性质的灵活应用.教学准备教学过程第3课时指数与指数幂的运算3同学们在初中我们学习了函数的知识对函数有了一个初步的了解到了高中我们又对函数的概念进行了进一步的学习有了更深的理解我们仅仅学了几种简单的函数如一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数、三角函数等这些远远不能满足我们的需要随着科学的发展社会的进步我们还要学习许多函数其中就有指数函数为了学习指数函数的知识我们必须学习实数指数幂的运算性质为此我们必须把指数幂从有理数指数幂扩充到实数指数幂因此我们本节课学习:指数与指数幂的运算3之无理数指数幂教师板书本堂课的课题.提出问题:
①我们知道=
1.41421356…那么
1.
411.
4141.
41421.41421…是的什么近似值?而
1.
421.
4151.
41431.41422…是的什么近似值?
②多媒体显示以下图表:同学们从上面的两个表中能发现什么样的规律的过剩近似值55的近似值
1.
511.
180339891.
429.
829353281.
4159.
7508518081.
41439.
739872621.
414229.
7386186431.
4142149.
7385246021.
41421369.
7385183321.
414213579.
7385178621.
4142135639.738177525的近似值的不足近似值
9.
5182696941.
49.
6726699731.
419.
7351710391.
4149.
7383051741.
41429.
7384619071.
4142139.
7385089281.
4142139.
7385167651.
41421359.
7385177051.
414213569.
7385177361.414213562
③你能给上述思想起个名字吗
④一个正数的无理数次幂到底是一个什么性质的数呢如5根据你学过的知识能作出判断并合理地解释吗
⑤借助上面的结论你能说出一般性的结论吗活动教师引导学生回忆教师提问学生回答积极交流及时评价学生学生有困惑时加以解释可用多媒体显示辅助内容:问题
①从近似值的分类来考虑一方面从大于的方向另一方面从小于的方向.问题
②对图表的观察一方面从上往下看再一方面从左向右看注意其关联.问题
③上述方法实际上是无限接近最后是逼近.问题
④对问题给予大胆猜测从数轴的观点加以解释.问题
⑤在
③④的基础上推广到一般的情形即由特殊到一般.讨论结果
①
1.
411.
4141.
41421.41421…这些数都小于称的不足近似值而
1.
421.
4151.
41431.41422…这些数都大于称的过剩近似值.
②第一个表:从大于的方向逼近时5就从
51.
551.
4251.
41551.
414351.41422…即大于52的方向逼近
5.第二个表:从小于2的方向逼近时5就从
51.
451.
4151.
41451.
414251.41421…即小于5的方向逼近
5.从另一角度来看这个问题在数轴上近似地表示这些点数轴上的数字表明一方面5从
51.
451.
4151.
41451.
414251.41421…即小于5的方向接近5而另一方面5从
51.
551.
4251.
41551.
414351.41422…即大于5的方向接近5可以说从两个方向无限地接近5即逼近5所以5是一串有理数指数幂
51.
451.
4151.
41451.
414251.41421…和另一串有理数指数幂
51.
551.
4251.
41551.
414351.41422…按上述变化规律变化的结果事实上表示这些数的点从两个方向向表示5的点靠近但这个点一定在数轴上由此我们可得到的结论是5一定是一个实数即
51.
451.
4151.
41451.
414251.41421…5…
51.
4142251.
414351.
41551.
4251.
5.充分表明5是一个实数.
③逼近思想事实上里面含有极限的思想这是以后要学的知识.
④根据
②③我们可以推断5是一个实数猜测一个正数的无理数次幂是一个实数.
⑤无理数指数幂的意义:一般地无理数指数幂aα(a0α是无理数)是一个确定的实数.也就是说无理数可以作为指数并且它的结果是一个实数这样指数概念又一次得到推广在数的扩充过程中我们知道有理数和无理数统称为实数.我们规定了无理数指数幂的意义知道它是一个确定的实数结合前面的有理数指数幂那么指数幂就从有理数指数幂扩充到实数指数幂.提出问题:
(1)为什么在规定无理数指数幂的意义时必须规定底数是正数
(2)无理数指数幂的运算法则是怎样的是否与有理数指数幂的运算法则相通呢
(3)你能给出实数指数幂的运算法则吗活动教师组织学生互助合作交流探讨引导他们用反例说明问题注意类比归纳.对问题
(1)回顾我们学习分数指数幂的意义时对底数的规定举例说明.对问题
(2)结合有理数指数幂的运算法则既然无理数指数幂aα(a0α是无理数)是一个确定的实数那么无理数指数幂的运算法则应当与有理数指数幂的运算法则类似并且相通.对问题
(3)有了有理数指数幂的运算法则和无理数指数幂的运算法则实数的运算法则自然就得到了.讨论结果
(1)底数大于零的必要性若a=-1那么aα是+1还是-1就无法确定了这样就造成混乱规定了底数是正数后无理数指数幂aα是一个确定的实数就不会再造成混乱.
(2)因为无理数指数幂是一个确定的实数所以能进行指数的运算也能进行幂的运算有理数指数幂的运算性质同样也适用于无理数指数幂.类比有理数指数幂的运算性质可以得到无理数指数幂的运算法则:
①ar·as=ar+sa0rs都是无理数.
②ars=arsa0rs都是无理数.
③a·br=arbra0b0r是无理数.
(3)指数幂扩充到实数后指数幂的运算性质也就推广到了实数指数幂.实数指数幂的运算性质:对任意的实数rs均有下面的运算性质:
①ar·as=ar+sa0rs∈R.
②ars=arsa0rs∈R.
③a·br=arbra0b0r∈R.例1利用函数计算器计算.(精确到
0.001)
(1)
0.
32.1;
(2)
3.14-3;
(3)
3.1;
(4).活动教师教会学生利用函数计算器计算熟悉计算器的各键的功能正确输入各类数算出数值对于
(1)可先按底数
0.3再按键再按幂指数
2.1最后按即可求得它的值;对于
(2)先按底数
3.14再按键再按负号键再按3最后按即可;对于3先按底数
3.1再按键再按34最后按即可;对于
(4)这种无理指数幂可先按底数3其次按键再按键再按3最后按键.有时也可按或键使用键上面的功能去运算.学生可以相互交流挖掘计算器的用途.答案
(1)
0.
32.1≈
0.080;
(2)
3.14-3≈
0.032;
(3)
3.1≈
2.336;
(4)≈
6.
705.点评熟练掌握用计算器计算幂的值的方法与步骤感受现代技术的威力逐步把自己融入现代信息社会;用四舍五入法求近似值若保留小数点后n位只需看第(n+1)位能否进位即可.例2求值或化简.1a0b0;2a0b0;
3.活动学生观察思考所谓化简即若能化为常数则化为常数若不能化为常数则应使所化式子达到最简对既有分数指数幂又有根式的式子应该把根式统一化为分数指数幂的形式便于运算教师有针对性地提示引导对1由里向外把根式化成分数指数幂要紧扣分数指数幂的意义和运算性质对2既有分数指数幂又有根式应当统一起来化为分数指数幂对3有多重根号的式子应先去根号这里是二次根式被开方数应凑完全平方这样把576拆成2+222+222+2并对学生作及时的评价注意总结解题的方法和规律.解1=ab=a-2bab=ab=.点评根式的运算常常化成幂的运算进行计算结果如没有特殊要求就用根式的形式来表示.2=aabb=a0b0=.点评化简这类式子一般有两种办法一是首先用负指数幂的定义把负指数化成正指数另一个方法是采用分式的基本性质把负指数化成正指数.3==-+2--2+=
0.点评考虑根号里面的数是一个完全平方数千万注意方根的性质的运用.例3已知x=5-5n∈N*求x+n的值.活动学生思考观察题目的特点从整体上看应先化简然后再求值要有预见性5与5具有对称性它们的积是常数1为我们解题提供了思路教师引导学生考虑问题的思路必要时给予提示.x2=5-52=5-2·50+5=5+2+5-4=5+52-
1.这时应看到1+x2=1+-52=5+52这样先算出1+x2再算出带入即可.解将x=5-5代入1+x2,得1+x2=1+5-52=5+5n所以x+n=[5-5+]n=[5-5+5+5]n=5n=
5.点评运用整体思想和完全平方公式是解决本题的关键要深刻理解这种做法.课堂小结:1无理指数幂的意义.一般地无理数指数幂aα(a0α是无理数)是一个确定的实数.2实数指数幂的运算性质:对任意的实数rs均有下面的运算性质:
①ar·as=ar+sa0rs∈R.
②ars=arsa0rs∈R.
③a·br=arbra0b0r∈R.3逼近的思想体会无限接近的含义.作业:课本P60习题
2.1B组
2.板书设计教学反思。