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2019-2020年高中数学必修一教案2-1-2指数函数及其性质
(1)项目内容课题
2.
1.2指数函数及其性质(共3课时)修改与创新教学目标
1.通过实际问题了解指数函数的实际背景理解指数函数的概念和意义根据图象理解和掌握指数函数的性质体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想.
2.让学生了解数学来自生活数学又服务于生活的哲理.培养学生观察问题、分析问题的能力培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力.
3.通过训练点评让学生更能熟练指数幂运算性质.展示函数图象让学生通过观察进而研究指数函数的性质让学生体验数学的简洁美和统一美.教学重、难点教学重点指数函数的概念和性质及其应用.教学难点指数函数性质的归纳、概括及其应用.教学准备教学过程第1课时指数函数及其性质1教师复习提问指数幂的运算性质并要求学生计算23202-
2162749.再提问怎样画函数的图象学生思考分组交流写出自己的答案8129先建立平面直角坐标系再描点最后连线.点出本节课题.思路
3.在本章的开头问题
(2)中时间t和碳14含量P的对应关系P=[]t如果我们用x表示时间y表示碳14的含量则上述关系可表示为y=[]x这是我们习惯上的函数形式像这种自变量在指数的位置上的函数我们称为指数函数下面我们给出指数函数的确切概念从而引出课题.提出问题
1.一种放射性物质不断衰减为其他物质每经过一年剩留量约是原来的84%求出这种物质经过x年后的剩留量y与x的关系式是_________.y=
0.84x
2.某种细胞分裂时由一个分裂成两个两个分裂成四个四个分裂成十六个依次类推一个这样的细胞分裂x次后得到的细胞个数y与x的关系式是_________.y=2x提出问题1你能说出函数y=
0.84x与函数y=2x的共同特征吗2你是否能根据上面两个函数关系式给出一个一般性的概念3为什么指数函数的概念中明确规定a0a≠14为什么指数函数的定义域是实数集5如何根据指数函数的定义判断一个函数是否是一个指数函数?请你说出它的步骤.活动先让学生仔细观察交流讨论然后回答教师提示点拨及时鼓励表扬给出正确结论的学生引导学生在不断探索中提高自己的应用知识的能力教师巡视个别辅导针对学生共性的问题集中解决.问题1看这两个函数的共同特征主要是看底数和自变量以及函数值.问题2一般性的概念是指用字母表示不变化的量即常量.问题3为了使运算有意义同时也为了问题研究的必要性.问题4在3的规定下我们可以把ax看成一个幂值一个正数的任何次幂都有意义.问题5使学生回想指数函数的定义根据指数函数的定义判断一个函数是否是一个指数函数紧扣指数函数的形式.讨论结果1对于两个解析式我们看到每给自变量x一个值y都有唯一确定的值和它对应再就是它们的自变量x都在指数的位置上它们的底数都大于0但一个大于1一个小于
1.
0.84与2虽然不同但它们是两个函数关系中的常量因为变量只有x和y.2对于两个解析式y=
0.84x和y=2x我们把两个函数关系中的常量用一个字母a来表示这样我们得到指数函数的定义:一般地函数y=axa0a≠1叫做指数函数其中x叫自变量函数的定义域是实数集R.3a=0时x0时ax总为0;x≤0时ax没有意义.a0时如a=-2x=ax=-2=显然是没有意义的.a=1时ax恒等于1没有研究的必要.因此规定a0a≠
1.此解释只要能说明即可不要深化.4因为a0x可以取任意的实数所以指数函数的定义域是实数集R.5判断一个函数是否是一个指数函数一是看底数是否是一个常数再就是看自变量是否是一个x且在指数位置上满足这两个条件的函数才是指数函数.提出问题1前面我们学习函数的时候根据什么思路研究函数的性质对指数函数呢2前面我们学习函数的时候如何作函数的图象说明它的步骤.3利用上面的步骤作函数y=2x的图象.4利用上面的步骤作函数y=x的图象.5观察上面两个函数的图象各有什么特点再画几个类似的函数图象看是否也有类似的特点6根据上述几个函数图象的特点你能归纳出指数函数的性质吗7把y=2x和y=x的图象放在同一坐标系中你能发现这两个图象的关系吗8你能证明上述结论吗9能否用y=2x的图象画y=x的图象请说明画法的理由.活动教师引导学生回顾需要研究的函数的那些性质共同讨论研究指数函数的性质的方法强调数形结合强调函数图象在研究函数性质中的作用注意从具体到一般的思想方法的运用渗透概括能力的培养进行课堂巡视个别辅导投影展示画得好的部分学生的图象同时投影展示课本表2122及图
2.
122.13及
2.14及时评价学生补充学生回答中的不足.学生独立思考提出研究指数函数性质的思路独立画图观察图象及表格表述自己的发现同学们相互交流形成对指数函数性质的认识推荐代表发表本组的集体的认识.讨论结果1我们研究函数时根据图象研究函数的性质由具体到一般一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性有时也通过画函数图象从图象的变化情况来看函数的性质.2一般是列表描点连线借助多媒体手段画出图象用计算机作函数的图象.3列表.x-
3.00-
2.50-
2.00-
1.50-
1.
000.
000.
501.
001.
502.00y=2x124作图如图2-1-2-1图2-1-2-14列表.x-
2.50-
2.00-
1.50-
1.
000.
001.
001.
502.
002.50y=x124作图如图2-1-2-2图2-1-2-25通过观察图2121可知图象左右延伸无止境说明定义域是实数.图象自左至右是上升的说明是增函数图象位于x轴上方说明值域大于
0.图象经过点
(01)且y值分布有以下特点x0时0y1x0时y
1.图象不关于x轴对称也不关于y轴对称说明函数既不是奇函数也不是偶函数.通过观察图2122可知图象左右延伸无止境说明定义域是实数.图象自左至右是下降的说明是减函数图象位于x轴上方说明值域大于
0.图象经过点
(01)x0时y1x0时0y
1.图象不关于x轴对称也不关于y轴对称说明函数既不是奇函数也不是偶函数.可以再画下列函数的图象以作比较y=3xy=6xy=xy=x.重新观察函数图象的特点推广到一般的情形.
(6)一般地指数函数y=ax在a1和0a1的情况下它的图象特征和函数性质如下表所示.图象特征函数性质a>10<a<1a>10<a<1向x轴正负方向无限延伸函数的定义域为R图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数函数图象都在x轴上方函数的值域为R+函数图象都过定点
(01)a0=1自左向右图象逐渐上升自左向右图象逐渐下降增函数减函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1在第一象限内的图象纵坐标都小于1x>0ax>1x>0ax<1在第二象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都大于1x<0ax<1x<0ax>1一般地指数函数y=ax在底数a>1及0<a<1这两种情况下的图象和性质如下表所示a>10<a<1图象性质
①定义域R
②值域(0+∞)
③过点
(01)即x=0时y=1
④在R上是增函数当x<0时0<y<1;当x>0时y>1
④在R上是减函数当x<0时y>1;当x>0时0<y<1
(7)在同一坐标系中作出y=2x和y=x两个函数的图象如图2-1-2-
3.经过仔细研究发现它们的图象关于y轴对称.图2-1-2-38证明:设点px1y1是y=2x上的任意一点它关于y轴的对称点是p1-x1y1它满足方程y=x=2-x即点p1-x1y1在y=x的图象上反之亦然所以y=2x和y=x两个函数的图象关于y轴对称.9因为y=2x和y=x两个函数的图象关于y轴对称所以可以先画其中一个函数的图象利用轴对称的性质可以得到另一个函数的图象同学们一定要掌握这种作图的方法对以后的学习非常有好处.例1判断下列函数是否是一个指数函数?y=x2y=8xy=2·4xy=2a-1xaa≠1y=-4xy=πxy=6x3+
2.活动学生观察小组讨论尝试解决以上题目学生紧扣指数函数的定义解题因为y=x2y=2·4xy=6x3+2都不符合y=ax的形式教师强调y=ax的形式的重要性即a前面的系数为1a是一个正常数(也可是一个表示正常数的代数式)指数必须是x的形式或通过转化后能化为x的形式.解y=8xy=2a-1xaa≠1y=-4xy=πx是指数函数;y=x2y=2·4xy=6x3+2不是指数函数.变式训练函数y=23xy=ax+ky=a-xy=-2xa0a≠1中是指数函数的有哪些答案y=23x=23xy=a-x=xy=-2x=[-2]x是指数函数.例2比较下列各题中的两个值的大小:
(1)
1.
72.5与
1.73;
20.8-
0.1与
0.8-
0.2;
31.
70.3与
0.
93.
1.活动学生自己思考或讨论回忆比较数的大小的方法结合题目实际选择合理的再写出(最好用实物投影仪展示写得正确的答案)比较数的大小一是作差看两个数差的符号若为正则前面的数大;二是作商但必须是同号数看商与1的大小再决定两个数的大小;三是计算出每个数的值再比较大小;四是利用图象;五是利用函数的单调性.教师在学生中巡视其他学生的解答发现问题及时纠正并及时评价.解法一用数形结合的方法如第
(1)小题用图形计算器或计算机画出y=
1.7x的图象如图2-1-2-
4.图2-1-2-4在图象上找出横坐标分别为
2.
5、3的点显然图象上横坐标为3的点在横坐标为
2.5的点的上方所以
1.
72.
51.73同理
0.8-
0.
10.8-
0.
21.
70.
30.
93.
1.解法二用计算器直接计算
1.
72.5≈
3.
771.73≈
4.91所以
1.
72.
51.
73.同理
0.8-
0.
10.8-
0.
21.
70.
30.
93.
1.解法三利用函数单调性
①
1.
72.5与
1.73的底数是
1.7它们可以看成函数y=
1.7x当x=
2.5和3时的函数值;因为
1.71所以函数y=
1.7x在R上是增函数而
2.53所以
1.
72.
51.73;
②
0.8-
0.1与
0.8-
0.2的底数是
0.8它们可以看成函数y=
0.8x当x=-
0.1和-
0.2时的函数值;因为
00.81所以函数y=
0.8x在R上是减函数而-
0.1-
0.2所以
0.8-
0.
10.8-
0.2;
③因为
1.
70.
310.
93.11所以
1.
70.
30.
93.
1.点评在第
(3)小题中可以用解法
一、解法二解决但解法三不适合.由于
1.
70.3与
0.
93.1不能直接看成某个函数的两个值因此在这两个数值间找到1把这两数值分别与1比较大小进而比较
1.
70.3与
0.
93.1的大小这里的1是中间值.思考在上面的解法中你认为哪种方法更实用活动学生对上面的三种解法作比较解题有法但无定法我们要采取多种解法在多种解法中选择最优解法这要通过反复练习强化来实现.变式训练
1.已知a=
0.
80.7b=
0.
80.9c=
1.
20.8按大小顺序排列abc.答案baca、b可利用指数函数的性质比较而c是大于1的.
2.比较a与a的大小(a>0且a≠0).答案分a>1和0a1两种情况讨论.当0a1时aa;当a1时aa.例3求下列函数的定义域和值域:1y=2;2y=;3y=
10.活动学生先思考再回答由于指数函数y=axa>0且a≠1的定义域是R所以这类类似指数函数的函数的定义域要借助指数函数的定义域来求教师适时点拨和提示求定义域只需使指数有意义即可转化为解不等式.解1令x-4≠0则x≠4所以函数y=2的定义域是{x∈R∣x≠4}又因为≠0所以2≠1即函数y=2的值域是{y|y0且y≠1}.2因为-|x|≥0所以只有x=
0.因此函数y=的定义域是{x∣x=0}.而y==0=1即函数y=的值域是{y∣y=1}.3令≥0得≥0即≥0解得x-1或x≥1因此函数y=10的定义域是{x∣x-1或x≥1}.由于-1≥0且≠2所以≥0且≠
1.故函数y=10的值域是{y∣y≥1y≠10}.变式训练求下列函数的定义域和值域:1y=;2y=;3y=ax-1a0a≠
1.答案1函数y=的定义域是R值域是[+∞);2函数y=的定义域是[+∞)值域是[0+∞);3当a1时定义域是{x|x≥0}当0a1时定义域是{x|x≤0}值域是[0+∞).课堂小结
1.指数函数的定义.
2.指数函数的图象和性质.
3.利用函数的图象说出函数的性质即数形结合的思想方法它是一种非常重要的数学思想和研究方法.
4.利用指数函数的单调性比较几个数的大小特别是中间变量法.作业课本P59习题
2.1A组
5、
6、
8、
10.板书设计教学反思。