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2019-2020年高中数学必修一教案2-1-2指数函数及其性质
(2)项目内容课题
2.
1.2指数函数及其性质(共3课时)修改与创新教学目标
1.通过实际问题了解指数函数的实际背景理解指数函数的概念和意义根据图象理解和掌握指数函数的性质体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想.
2.让学生了解数学来自生活数学又服务于生活的哲理.培养学生观察问题、分析问题的能力培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力.
3.通过训练点评让学生更能熟练指数幂运算性质.展示函数图象让学生通过观察进而研究指数函数的性质让学生体验数学的简洁美和统一美.教学重、难点教学重点指数函数的概念和性质及其应用.教学难点指数函数性质的归纳、概括及其应用.教学准备教学过程第2课时指数函数及其性质2我们在学习指数函数的性质时利用了指数函数的图象的特点并且是用类比和归纳的方法得出在理论上我们能否严格的证明特别是指数函数的单调性以便于我们在解题时应用这些性质本堂课我们要解决这个问题.教师板书课题:指数函数及其性质
2.例1已知指数函数fx=ax(a>0且a≠1)的图象过点(3π)求f0f1f-3的值.活动学生审题把握题意教师适时提问点拨求值的关键是确定a一般用待定系数法构建一个方程来处理函数图象过已知点说明点在图象上意味着已知点的坐标满足曲线的方程转化为将已知点的坐标代入指数函数fx=ax(a>0且a≠1)求a的值进而求出f0f1f-3的值请学生上黑板板书及时评价.解因为图象过点(3π)所以f3=a3=π即a=πfx=πx.再把013分别代入得f0=π0=1f1=π1=πf-3=π-1=.点评根据待定系数的多少来确定构建方程的个数是解题的关键这是方程思想的运用.例2用函数单调性的定义证明指数函数的单调性.活动教师点拨提示定义法判断函数单调性的步骤单调性的定义证明函数的单调性要按规定的格式书写.证法一设x1x2∈R且x1<x2则y2-y1=ax2-ax1=ax1(ax2-x1-1).因为a>1x2-x1>0,所以ax2-x1>1即ax2-x1-1>
0.又因为ax1>0所以y2-y1>0即y1y
2.所以当a>1时y=axx∈R是增函数.同理可证当0<a<1时y=ax是减函数.证法二设x1x2∈R且x1<x2则y2与y1都大于0则==a.因为a>1x2-x1>0所以a>1即1y1y
2.所以当a>1时y=axx∈R是增函数.同理可证当0<a<1时y=ax是减函数.变式训练若指数函数y=(2a-1)x是减函数则a的范围是多少?答案<a<
1.例3截止到1999年底我国人口约13亿如果今后能将人口年平均增长率控制在1%那么经过20年后我国人口数最多为多少(精确到亿)?活动师生共同讨论将实际问题转化为数学表达式建立目标函数常采用特殊到一般的方式教师引导学生注意题目中自变量的取值范围可以先考虑一年一年增长的情况再从中发现规律最后解决问题1999年底人口约为13亿;经过1年人口约为13(1+1%)亿;经过2年人口约为13(1+1%)(1+1%)=131+1%2亿;经过3年人口约为131+1%21+1%=131+1%3亿;经过x年人口约为131+1%x亿;经过20年人口约为131+1%20亿.解设今后人口年平均增长率为1%经过x年后我国人口数为y亿则y=131+1%x当x=20时y=131+1%20≈16亿.答经过20年后我国人口数最多为16亿.点评类似此题设原值为N平均增长率为P则对于经过时间x后总量y=N1+px像y=N1+px等形如y=kaxk∈Ra>0且a≠1)的函数称为指数型函数.例3求下列函数的定义域、值域1y=
0.4;2y=3;3y=2x+1;4y=.解
(1)由x-1≠0得x≠1所以所求函数定义域为{x|x≠1}.由x≠得y≠1即函数值域为{y|y0且y≠1}.
(2)由5x-1≥0得x≥所以所求函数定义域为{x|x≥}.由≥0得y≥1所以函数值域为{y|y≥1}.
(3)所求函数定义域为R,由2x0可得2x+
11.所以函数值域为{y|y1}.4由已知得函数的定义域是R且2x+1y=2x-2即y-12x=-y-
2.因为y≠1所以2x=.又x∈R所以2x
00.解之得-2y
1.因此函数的值域为{y|-2y1}.点评通过此例题的训练学会利用指数函数的定义域、值域去求解指数形式的复合函数的定义域、值域还应注意书写步骤与格式的规范性.变式训练求函数y=的定义域和值域.解要使函数有意义必须x+3≠0即x≠-3,即函数的定义域是{x|x≠-3}.因为≠0所以y=≠0=
1.又因为y0所以值域为01∪1+∞.例4
(1)求函数y=的单调区间并证明.
(2)设a是实数fx=ax∈R试证明对于任意afx为增函数.活动
(1)这个函数的单调区间由两个函数决定指数函数y=x与y=x2-2x的复合函数
(2)函数单调性的定义证明函数的单调性要按规定的格式书写.解法一设x1x2则=因为x1x2所以x2-x
10.当x1x2∈(-∞1]时x1+x2-20这时x2-x1x2+x1-20即1所以y2y1函数单调递增;当x1x2∈[1+∞)时x1+x2-20这时x2-x1x2+x1-20即1所以y2y1函数单调递减;所以函数y在(-∞1]上单调递增在[1+∞)上单调递减.解法二(用复合函数的单调性)设u=x2-2x则y=u对任意的1x1x2有u1u2又因为y=u是减函数所以y1y2所以y=在[1+∞)是减函数.对任意的x1x2≤1有u1u2又因为y=u是减函数所以y1y
2.所以y=在(-∞1]上是增函数.引申求函数y=的值域(0y≤2).点评1求复合函数的单调区间时利用口诀“同增异减”.
(2)此题虽形式较为复杂但应严格按照单调性的定义进行证明还应要求学生注意不同题型的解答方法.证明设x1x2∈R且x1x2则fx1-fx2===.由于指数函数y=2x在R上是增函数且x1x2所以2x12x2即2x1-2x
20.又由2x0得2x1+102x2+10所以fx1-fx20即fx1fx
2.因为此结论与a取值无关所以对于a取任意实数fx为增函数.点评上述证明过程中在对差式正负判断时利用了指数函数的值域及单调性.知能训练
1.函数y=a|x|(a>1)的图象是()图2-1-2-8分析当x≥0时y=a|x|=ax的图象过
(01)点在第一象限图象下凸是增函数.答案B
2.下列函数中值域为(0+∞)的函数是()A.y=2-xB.y=C.y=D.y=+1分析因为(2-x)∈R所以y=()2-x∈(0+∞);y=∈[01];y=∈[0+∞;y=+1∈[2+∞.答案A
3.已知函数f(x)的定义域是
(01)那么f(2x)的定义域是()A.
(01)B.
(1)C.(-∞0)D.(0+∞)分析由题意得0<2x<1即0<2x<20所以x<0即x∈(-∞0).答案C
4.若集合A={y|y=2xx∈R}B={y|y=x2x∈R}则()A.ABB.ABC.A=BD.A∩B=分析A={y|y>0}B={y|y≥0}所以AB.答案A
5.对于函数fx定义域中的任意的x
1、x2x1≠x2有如下的结论:
①fx1+x2=fx1·fx2;
②fx1·x2=fx1+fx2;
③0;
④.当fx=10x时上述结论中正确的是.分析:因为fx=10x且x1≠x2所以fx1+x2===fx1·fx2所以
①正确;因为fx1·x2=≠=fx1+fx2
②不正确;因为fx=10x是增函数所以fx1-fx2与x1-x2同号所以0所以
③正确.因为函数fx=10x图象如图2-1-2-9所示是上凹下凸的可解得
④正确.图2-1-2-9答案
①③④另解
④∵10x1010x20x1≠x2∴∴即∴.课堂小结思考我们本堂课主要学习了哪些知识你有什么收获把你的收获写在笔记本上.活动教师用多媒体显示以下内容学生互相交流学习心得看是否与多媒体显示的内容一致.本节课在复习旧知识的基础上学习了数形结合的思想、函数与方程的思想加深了对问题的分析能力形成了一定的能力与方法.作业课本P59习题
2.1B组
1、
3、
4.板书设计教学反思。