2019-2020年高中数学必修一教案2-1-2指数函数及其性质（3）

2019-2020年高中数学必修一教案2-1-2指数函数及其性质

（3）项目内容课题

2.

1.2指数函数及其性质（共3课时）修改与创新教学目标

1.通过实际问题了解指数函数的实际背景理解指数函数的概念和意义根据图象理解和掌握指数函数的性质体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想.

2.让学生了解数学来自生活数学又服务于生活的哲理.培养学生观察问题、分析问题的能力培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力.

3.通过训练点评让学生更能熟练指数幂运算性质.展示函数图象让学生通过观察进而研究指数函数的性质让学生体验数学的简洁美和统一美.教学重、难点教学重点指数函数的概念和性质及其应用.教学难点指数函数性质的归纳、概括及其应用.教学准备教学过程我们在第一章中已学习了函数的性质特别是单调性和奇偶性是某些函数的重要特点我们刚刚学习的指数函数严格地证明了指数函数的单调性便于我们在解题时应用这些性质在实际生活中往往遇到的不单单是指数函数还有其他形式的函数有的是指数函数的复合函数我们需要研究它的单调性和奇偶性这是我们面临的问题也是我们本堂课要解决的问题——指数函数及其性质

（3）.提出问题1指数函数有哪些性质2利用单调性的定义证明函数单调性的步骤有哪些3对复合函数如何证明函数的单调性4如何判断函数的奇偶性有哪些方法活动教师引导学生回忆教师提问学生回答积极交流及时评价学生学生有困惑时加以解释可用多媒体显示辅助内容.讨论结果1指数函数的图象和性质一般地指数函数y=ax在底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示a10a1图象图象特征图象特征图象分布在

一、二象限与y轴相交落在x轴的上方都过点

（01）第一象限的点的纵坐标都大于1;第二象限的点的纵坐标都大于0且小于1第一象限的点的纵坐标都大于0且小于1;第二象限的点的纵坐标都大于1从左向右图象逐渐上升从左向右图象逐渐下降性质1定义域R

（2）值域（0+∞）

（3）过定点

（01）即x=0时y=14x0时y1;x0时0y14x0时0y1;x0时y1

（5）在R上是增函数

（5）在R上是减函数2依据函数单调性的定义证明函数单调性的步骤是

①取值.即设x

1、x2是该区间内的任意两个值且x1＜x

2.

②作差变形.即求f（x2）－f（x1）通过因式分解、配方、有理化等方法向有利于判断差的符号的方向变形.

③定号.根据给定的区间和x2－x1的符号确定f（x2）－f（x1）的符号当符号不确定时可以进行分类讨论.

④判断.根据单调性定义作出结论.3对于复合函数y=fgx可以总结为:当函数fx和gx的单调性相同时复合函数y=fgx是增函数;当函数fx和gx的单调性相异即不同时复合函数y=fgx是减函数;又简称为口诀“同增异减”.4判断函数的奇偶性:一是利用定义法即首先是定义域关于原点对称再次是考察式子fx与f-x的关系最后确定函数的奇偶性;二是作出函数图象或从已知图象观察若图象关于原点或y轴对称则函数具有奇偶性.例1在同一坐标系下作出下列函数的图象并指出它们与指数函数y=2x的图象的关系.1y=2x+1与y=2x+2;2y=2x-1与y=2x-

2.活动教师适当时候点拨学生回想作图的方法和步骤特别是指数函数图象的作法学生回答并到黑板上作图教师指点学生列出对应值表抓住关键点特别是01点或用计算机作图.解1列出函数数据表作出图象如图2-1-2-

12.x-3-2-101232x

0.

1250.

250.512482x+

10.

250.51248162x+

20.512481632图2-1-2-12比较可知函数y=2x+

1、y=2x+2与y=2x的图象的关系为将指数函数y=2x的图象向左平行移动1个单位长度就得到函数y=2x+1的图象;将指数函数y=2x的图象向左平行移动2个单位长度就得到函数y=2x+2的图象.2列出函数数据表作出图象如图2-1-2-13x-3-2-101232x

0.

1250.

250.512482x-

10.

6250.

1250.

250.51242x-

20.

31250.

6250.

1250.

250.512图2-1-2-13比较可知函数y=2x-

1、y=2x-2与y=2x的图象的关系为将指数函数y=2x的图象向右平行移动1个单位长度就得到函数y=2x-1的图象;将指数函数y=2x的图象向右平行移动2个单位长度就得到函数y=2x-2的图象.点评类似地我们得到y=ax与y=ax+ma0a≠1m∈R之间的关系:y=ax+ma0m∈R的图象可以由y=ax的图象变化而来.当m0时y=ax的图象向左移动m个单位得到y=ax+m的图象;当m0时y=ax的图象向右移动|m|个单位得到y=ax+m的图象.上述规律也简称为“左加右减”.变式训练为了得到函数y=2x-3-1的图象只需把函数y=2x的图象A.向右平移3个单位长度再向下平移1个单位长度B.向左平移3个单位长度再向下平移1个单位长度C.向右平移3个单位长度再向上平移1个单位长度D.向左平移3个单位长度再向上平移1个单位长度答案B点评对于有些复合函数的图象常用变换方法作出.例2已知定义域为R的函数fx=是奇函数.

（1）求ab的值；

（2）若对任意的t∈R不等式ft2-2t+f2t2-k0恒成立求k的取值范围.活动学生审题考虑解题思路.求值一般是构建方程求取值范围一般要转化为不等式如果有困难教师可以提示

（1）从条件出发充分利用奇函数的性质由于定义域为R所以f0=0f-1=-f1

（2）在

（1）的基础上求出fx转化为关于k的不等式利用恒成立问题再转化.

（1）解因为fx是奇函数所以f0=0即=0b=1所以fx=;又由f

（1）=-f（-1）知=a=

2.

（2）解法一由

（1）知fx==+易知fx在-∞+∞上为减函数.又因fx是奇函数从而不等式ft2-2t+f2t2-k0等价于ft2-2t-f2t2-k=fk-2t2因fx为减函数由上式推得t2-2tk-2t2即对一切t∈R有3t2-2t-k0从而判别式Δ=4+12k0∴k.解法二由

（1）知fx=.又由题设条件得0即

0.整理得1因底数21故3t2-2t-k0上式对一切t∈R均成立从而判别式Δ=4+12k0即k-.点评记住下列函数的增减性对解题是十分有用的若fx为增减函数则为减增函数.例3设a0fx=在R上满足f-x=fx.1求a的值;2证明fx在0+∞上是增函数.活动学生先思考或讨论如果有困难教师提示引导.1求单独一个字母的值一般是转化为方程利用f-x=fx可建立方程.2证明增减性一般用定义法回忆定义法证明增减性的步骤规范书写的格式.1解依题意对一切x∈R有f-x=fx成立即+aex=.所以=0对一切x∈R成立.由此可得=0即a2=

1.又因为a0所以a=

1.2证明:设0x1x2fx1-fx2===·.由x10x20x2-x10得x2+x10010所以fx1-fx20即fx在（0+∞）上是增函数.点评在已知等式f-x=fx成立的条件下对应系数相等求出a也可用特殊值求解.证明函数的单调性严格按定义写出步骤判断过程尽量明显直观.例4已知函数fx=3x且x=a+2时fx=18gx=3的定义域为［01］.1求gx的解析式;2求gx的单调区间确定其增减性并试用定义证明;3求gx的值域.解1因为fx=3x且x=a+2时fx=18所以fa+2=3a+2=

18.所以3a=

2.所以gx=3ax-4x=3ax-4x.所以gx=2x-4x.2因为函数gx的定义域为［01］令t=2x因为x∈［01］时函数t=2x在区间［01］上单调递增所以t∈［12］则gt=t-t2=-t2-t=-t-2+t∈［12］.因为函数t=2x在区间［01］上单调递增函数gt=t-t2在t∈［12］上单调递减所以函数gx在区间［01］上单调递减.证明:设x1和x2是区间［01］上任意两个值且x1x2gx2-gx1===因为0≤x1≤x2≤1所以且1≤21≤

2.所以

24.所以-31--1可知

0.所以gx2gx

1.所以函数gx在区间［01］上单调递减.3因为函数gx在区间［01］上单调递减所以x∈［01］时有g1≤gxg

0.因为g1=21-41=-2g0=20-40=0所以-2≤gx≤

0.故函数gx的值域为［-20］.点评此题是一道有关函数的概念、函数性质的应用、推理、证明综合题要通盘考虑.知能训练求函数y=|1+2x|+|x-2|的单调区间.活动教师提示因为指数含有两个绝对值要去绝对值要分段讨论同时注意底数的大小分析出指数的单调区间再确定函数的单调区间利用复合函数的单调性学生思考讨论然后解答.解由题意可知2与是区间的分界点.当x时因为y=-1-2x-x+2=1-3x=23x-1=8x所以此时函数为增函数.当≤x2时因为y=1+2x-x+2=3+x=2-3-x=x所以此时函数为减函数.当x≥2时因为y=1+2x+x-2=3x-1=21-3x=2x所以此时函数为减函数.当x1∈［2）x2∈［2+∞）时因为2x2-x1==又因为1-3x2--3-x1=4-3x2+x1=4+x1-3x20所以1-3x2-3-x1即2x2x

1.所以此时函数为减函数.综上所述函数fx在（-∞］上单调递增在［+∞）上单调递减.课堂小结本节课复习了指数函数的性质借助指数函数的性质的运用我们对函数的单调性和奇偶性又进行了复习巩固利用单调性和奇偶性解决了一些问题对常考的函数图象的变换进行了学习要高度重视在不断学习中升华提高.作业课本P59习题

2.1A组

5.板书设计教学反思。