还剩3页未读,继续阅读
文本内容:
2019-2020年高中数学必修一教案3-1-2《指数函数》教学目标
1.了解指数函数的实际背景,理解指数函数的概念;
2.掌握指数函数的图象及性质;
3.初步学会运用指数函数来解决问题.
4.通过了解指数函数的实际背景,认识数学与现实生活及其他学科的联系;通过展示函数图象,用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质.教学重难点
1.指数函数的定义:一般地,函数y=axa0,a≠1,x∈R叫做指数函数.
2.指数函数y=axa0,a≠1的图象过定点0,
1.
3.指数函数y=axa0,a≠1,x∈R,当a1时,在-∞,+∞上是单调增函数当0a1时在-∞,+∞上是单调减函数.教学过程[问题情境]印度的舍罕国王打算重赏国际象棋的发明人.这位聪明的大臣说:“陛下,请你在这张棋盘的第一个小格内,赏给我一粒麦子,在第二个小格内给两粒,在第三个小格内给四粒,照这样下去,每一小格内都比前一小格加一倍.直到摆满棋盘上64格”,国王说:“你的要求不高,会如愿以偿的”.于是,下令把一袋麦子拿到宝座前,计算麦粒的工作开始了.还没到第二十小格,袋子已经空了,一袋又一袋的麦子被扛到国王面前来,但是,麦粒数一格接一格地增长得那样迅速,很快看出,即使拿出来全印度的粮食,国王也兑现不了他对象棋发明人许下的诺言.想一想,共需要多少粒麦子?探究点一 指数函数的概念问题1某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,4个分裂成8个,…,一个细胞分裂x次后,得到细胞的个数为y,则y与x的函数关系是什么呢?答x=0,y=1;x=1,y=2;x=2,y=2×2=4;x=3,y=22×2=8,…,y=2x.问题2 一种放射性物质不断衰变为其他物质,每经过1年剩留的质量约是原来的84%.这种物质的剩留量随时间单位:年变化的函数关系是怎样的?答设最初的质量为1,时间变化量用x表示,剩留量用y表示,则经过x年,y=
0.84x.问题3 在上述两问题关系式中,如果用字母a代替2和
0.84,那么以上两个函数的解析式都可以表示成什么形式?答表示成y=ax的形式.小结指数函数的定义:一般地,函数y=axa0,a≠1,x∈R叫做指数函数.问题4 指数函数的定义中为什么规定了a0且a≠1答将a如数轴所示分为:a0,a=0,0a1,a=1和a1五部分进行讨论:1如果a0,比如y=-4x,这时对于x=,x=等,在实数范围内函数值不存在;2如果a=0,3如果a=1,y=1x=1,是个常值函数,没有研究的必要;4如果0a1或a1即a0且a≠1,x可以是任意实数.例1 在下列的关系式中,哪些是指数函数,为什么?1y=2x+2;2y=-2x;3y=-2x;4y=πx;5y=x2;6y=a-1xa1,且a≠
2.解只有4,6是指数函数,因为它们满足指数函数的定义;1中解析式可变形为y=2x·22=4·2x,不满足指数函数的形式;2中底数为负,所以不是;3中解析式多一负号,所以不是;5中指数为常数,所以不是;6中令b=a-1,则y=bx,b0且b≠1,所以是.小结根据指数函数的定义,a是一个常数,ax的系数为1,且a>0,a≠
1.指数位置是x,其系数也为1,凡是不符合这些要求的都不是指数函数.跟踪训练1 指出下列函数哪些是指数函数:1y=4x;2y=x4;3y=-4x;4y=xx;5y=2a-1x.解
1、5为指数函数;2自变量在底数上,所以不是;3底数-40,所以不是;4底数x不是常数,所以不是.探究点二 指数函数的图象与性质导引为了研究指数函数的图象,我们来看下面两组指数函数的图象,第一组y=2x,y=x的图象;第二组y=3x,y=x的图象.问题1 图象分别在哪几个象限?这说明了什么?答图象分布在第
一、二象限,说明值域为{y|y0}.问题2 图象有什么特征?猜想图象的上升、下降与底数a有怎样的关系?对应的函数的单调性如何?答它们的图象都在x轴上方,向上无限伸展,向下无限接近于x轴;当底数大于1时图象上升,为增函数;当底数大于0小于1时图象下降,为减函数.问题3 图象过哪些特殊的点?这与底数的大小有关系吗?答不论底数a1还是0a1,图象都过定点0,
1.问题4 函数图象有什么关系?可否利用y=2x或y=3x的图象画出y=x或y=x的图象?答通过图象看出y=2x与y=x的图象关于y轴对称,y=3x与y=x的图象也关于y轴对称.所以能利用y=2x或y=3x的图象通过对称性画出y=x或y=x的图象.问题5 你能根据具体函数的图象抽象出指数函数y=ax的哪些性质?定义域、值域、特殊点、单调性、最大小值、奇偶性答定义域为R,值域为{y|y0},过0,1点,a1时为增函数,0a1时为减函数,没有最值,既不是奇函数也不是偶函数.小结指数函数的图象与性质:a10a1图象性质1定义域:R2值域:0,+∞3过点0,1,即x=0时,y=14在R上是增函数4在R上是减函数例2 已知指数函数fx=axa0且a≠1的图象过点3,π,求f0,f1,f-3的值.解将点3,π,代入fx=ax,得到f3=π,即a3=π,解得:a=π ,于是fx=π,所以f0=π0=1,f1=π=,f-3=π-1=.小结要求指数函数fx=axa0且a≠1的解析式,只需要求出a的值,要求a的值,只需一个已知条件即可.跟踪训练2 已知指数函数y=2b-3ax经过点1,2,求a,b的值.解由于函数y=2b-3ax是指数函数,所以2b-3=1,即b=
2.将点1,2代入y=ax,得a=
2.例3 求下列函数的定义域与值域:1y=2;2y=-|x|;3y=4x+2x+1+
1.解1令x-4≠0,得x≠
4.∴定义域为{x|x∈R,且x≠4}.∵≠0,∴2≠1,∴y=2的值域为{y|y0,且y≠1}.2定义域为x∈R.∵|x|≥0,∴y=-|x|=|x|≥0=1,故y=-|x|的值域为{y|y≥1}.3定义域为x∈R.由y=4x+2x+1+1=2x2+2·2x+1=2x+12,且2x0,∴y
1.故y=4x+2x+1+1的值域为{y|y1}.小结函数y=afxa0且a≠1与函数fx的定义域相同.求与指数函数有关的函数的值域时,要利用指数函数本身的要求,并利用好指数函数的单调性.跟踪训练3 求下列函数的定义域、值域:1y=
0.3;2y=
3.解1由x-1≠0得x≠1,所以函数定义域为{x|x≠1}.由≠0得y≠1,所以函数值域为{y|y0且y≠1}.2由5x-1≥0得x≥,所以函数定义域为{x|x≥}.由≥0得y≥1,所以函数值域为{y|y≥1}.练一练当堂检测、目标达成落实处
1.下列各函数中,是指数函数的是 D A.y=-3xB.y=-3xC.y=3x-1D.y=x解析只有y=x符合指数函数y=axa>0且a≠1的形式.
2.函数fx=的定义域是 A A.-∞,0]B.[0,+∞C.-∞,0D.-∞,+∞解析由1-2x≥0得2x≤1,根据y=2x的图象可得x≤0,选A.
3.函数fx=a1的图象的大致形状是 解析当x0时,fx=ax,由于a1,函数是增函数;当x0时,fx=-ax,与fx=axx0关于x轴对称,只有选项C符合.课堂小结
1.判断一个函数是否是指数函数,关键是看解析式是否符合y=axa0且a≠1这一结构形式,即ax的系数是1,指数是x且系数为
1.
2.指数函数y=axa0且a≠1的性质分底数a1,0a1两种情况,但不论哪种情况,指数函数都是单调的.
3.由于指数函数y=axa0且a≠1的定义域是R,即x∈R,所以函数y=afxa0且a≠1与函数fx的定义域相同.
4.求函数y=afxa0且a≠1的值域的方法如下:1换元,令t=fx,并求出函数t=fx的定义域;2求t=fx的值域t∈M;3利用y=at的单调性求y=at在t∈M上的值域.。