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文本内容:
2019-2020年高中数学必修二教案2-3《空间两点间的距离公式》
一、教学分析平面直角坐标系中两点之间的距离公式是学生已学的知识不难把平面上的知识推广到空间遵循从易到难、从特殊到一般的认识过程利用类比的思想方法借助勾股定理得到空间任意一点到原点的距离;从平面直角坐标系中的方程x2+y2=r2表示以原点为圆心r为半径的圆推广到空间直角坐标系中的方程x2+y2+z2=r2表示以原点为球心r为半径的球面.学生是不难接受的这不仅不增加学生负担还会提高学生学习的兴趣.
二、三维目标
1.掌握空间两点间的距离公式会用空间两点间的距离公式解决问题.
2.通过探究空间两点间的距离公式灵活运用公式初步意识到将空间问题转化为平面问题是解决问题的基本思想方法培养类比、迁移和化归的能力.
3.通过棱与坐标轴平行的特殊长方体的顶点的坐标类比平面中两点之间的距离的求法探索并得出空间两点间的距离公式充分体会数形结合的思想培养积极参与、大胆探索的精神.
三、重点难点教学重点空间两点间的距离公式.教学难点:一般情况下空间两点间的距离公式的推导.
四、课时安排1课时
五、教学过程导入新课思路
1.距离是几何中的基本度量几何问题和一些实际问题经常涉及距离如飞机和轮船的航线的设计它虽不是直线距离但也涉及两点之间的距离一些建筑设计也要计算空间两点之间的距离那么如何计算空间两点之间的距离呢这就是我们本堂课的主要内容.思路
2.我们知道数轴上两点间的距离是两点的坐标之差的绝对值即d=|x1-x2|;平面直角坐标系中两点之间的距离是d=.同学们想在空间直角坐标系中两点之间的距离应怎样计算呢?又有什么样的公式呢?因此我们学习空间两点间的距离公式.提出问题
①平面直角坐标系中两点之间的距离公式是什么?它是如何推导的?
②设Axyz是空间任意一点它到原点的距离是多少?应怎样计算?
③给你一块砖你如何量出它的对角线长说明你的依据.
④同学们想在空间直角坐标系中你猜想空间两点之间的距离应怎样计算?
⑤平面直角坐标系中的方程x2+y2=r2表示什么图形?在空间中方程x2+y2+z2=r2表示什么图形?
⑥试根据
②③推导两点之间的距离公式.活动学生回忆教师引导教师提问学生回答学生之间可以相互交流讨论学生有困难教师点拨.教师引导学生考虑解决问题的思路要全面考虑大胆猜想发散思维.
①学生回忆学过的数学知识回想当时的推导过程;
②解决这一问题可以采取转化的方法转化成我们学习的立体几何知识来解;
③首先考虑问题的实际意义直接度量显然是不可以的我们可以转化为立体几何的方法也就是求长方体的对角线长.
④回顾平面直角坐标系中两点之间的距离公式可类比猜想相应的公式;
⑤学生回忆刚刚学过的知识大胆类比和猜想;
⑥利用
③的道理结合空间直角坐标系和立体几何知识进行推导.讨论结果
①平面直角坐标系中两点之间的距离公式是d=它是利用直角三角形和勾股定理来推导的.图1
②如图1设Axyz是空间任意一点过A作AB⊥xOy平面垂足为B过B分别作BD⊥x轴BE⊥y轴垂足分别为DE.根据坐标的含义知AB=zBD=xBE=OD=y由于三角形ABO、BOD是直角三角形所以BO2=BD2+OD2AO2=AB2+BO2=AB2+BD2+OD2=z2+x2+y2因此A到原点的距离是d=.
③利用求长方体的对角线长的方法分别量出这块砖的三条棱长然后根据对角线长的平方等于三条边长的平方的和来算.
④由于平面直角坐标系中两点之间的距离公式是d=是同名坐标的差的平方的和再开方所以我们猜想空间两点之间的距离公式是d=即在原来的基础上加上纵坐标差的平方.
⑤平面直角坐标系中的方程x2+y2=r2表示以原点为圆心r为半径的圆;在空间x2+y2+z2=r2表示以原点为球心r为半径的球面;后者正是前者的推广.图2
⑥如图2设P1x1y1z1P2x2y2z2是空间中任意两点我们来计算这两点之间的距离.我们分别过P1P2作xOy平面的垂线垂足是MN则Mx1y10Nx2y20于是可以求出|MN|=.再过点P1作P1H⊥P2N垂足为H则|MP1|=|z1||NP2|=|z2|所以|HP2|=|z2-z1|.在Rt△P1HP2中|P1H|=|MN|=根据勾股定理得|P1P2|==.因此空间中点P1x1y1z1P2x2y2z2之间的距离为|P1P2|=.于是空间两点之间的距离公式是d=.它是同名坐标的差的平方的和的算术平方根.应用示例例1已知A331B105求1线段AB的中点坐标和长度;2到AB两点的距离相等的点Pxyz的坐标满足的条件.活动学生审题教师引导学生分析解题思路已知的两点A、B都是空间直角坐标系中的点我们直接利用空间两点间的距离公式求解即可.知识本身不难但是我们计算的时候必须认真决不能因为粗心导致结果错误.解:1设Mxyz是线段AB的中点则根据中点坐标公式得x==2y==z==
3.所以AB的中点坐标为
23.根据两点间距离公式得dAB=所以AB的长度为.2因为点Pxyz到AB的距离相等所以有下面等式.化简得4x+6y-8z+7=0因此到AB两点的距离相等的点Pxyz的坐标满足的条件是4x+6y-8z+7=
0.点评:通过本题我们可以得出以下两点
①空间两点连成的线段中点坐标公式和两点间的距离公式是平面上中点坐标公式和两点间的距离公式的推广而平面上中点坐标公式和两点间的距离公式又可看成空间中点坐标公式和两点间的距离公式的特例.
②到AB两点的距离相等的点Pxyz构成的集合就是线段AB的中垂面.变式训练在z轴上求一点M使点M到点A102B1-31的距离相等.解:设M00z由题意得|MA|=|MB|整理并化简得z=-3所以M00-
3.例2证明以A431B712C523为顶点的△ABC是一等腰三角形.活动学生审题教师引导学生分析解题思路证明△ABC是一等腰三角形只需求出|AB||BC||CA|的长根据边长来确定.证明由两点间距离公式得|AB|=|BC|=|CA|=.由于|BC|=|CA|=所以△ABC是一等腰三角形.点评:判断三角形的形状一般是根据边长来实现的因此解决问题的关键是通过两点间的距离公式求出边长.变式训练三角形△ABC的三个顶点坐标为A1-2-3B-1-1-1C00-5试证明△ABC是一直角三角形.活动学生先思考或交流然后解答教师及时提示引导要判定△ABC是一直角三角形只需求出|AB||BC||CA|的长利用勾股定理的逆定理来判定.解:因为三个顶点坐标为A1-2-3B-1-1-1C00-5所以|AB|==3|BC|=|CA|==
3.又因为|AB|2+|CA|2=|BC|2所以△ABC是直角三角形.例3已知Ax5-x2x-1B1x+22-x则|AB|的最小值为A.0B.C.D.活动学生阅读题目思考解决问题的方法教师提示要求|AB|的最小值首先我们需要根据空间两点间的距离公式表示出|AB|然后再根据一元二次方程求最值的方法得出|AB|的最小值.解析:|AB|===.当x=时|AB|的最小值为.故正确选项为B.答案B点评:利用空间两点间的距离公式转化为关于x的二次函数求最值是常用的方法.。