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2019-2020年高中数学必修四第2章第9课时习题
一、选择题1.若a·c=b·cc≠0,则 A.a=bB.a≠bC.|a|=|b|D.a=b或a-b⊥c【答案】D【解析】由a·c=b·c,得a-b·c=
0.∵c≠0,∴a-b=0或a-b⊥c.故选D.2.已知|a|=3,|b|=5且a·b=12,则向量a在向量b上的投影为 A. B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】a在向量b上的投影为=.故选A.3.已知a·b=0,|a|=2,|b|=3,若3a+2b与ka-b垂直,则实数k的值为 A. B.- C.± D.1【答案】A【解析】∵3a+2b与ka-b垂直,∴3a+2b·ka-b=0,即3ka2+2k-3a·b-2b2=0,∴12k-18=0,解得k=.故选A.4.在△ABC中,=a,=b,且a·b0,则△ABC的形状是 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定【答案】C【解析】a·b=|a||b|cosπ-B=-|a||b|cosB0,∴cosB0,∴∠B为钝角.∴△ABC的形状是钝角三角形.故选C.
二、填空题5.已知|a|=a,|b|=b,a与b的夹角为θ,则|a-b|=__________.【答案】 【解析】a-b2=a2-2a·b+b2=a2+b2-2abcosθ,∴|a-b|=.6.已知|a|=2|b|≠0且关于x的方程x2+|a|x+a·b=0有实根,则a与b的夹角的取值范围是____________.【答案】,π【解析】由题意|a|2-4a·b≥0,设向量a与b的夹角为θ,则cosθ=≤=.∵0≤θ≤π,∴θ∈,π.
三、解答题7.设n和m是两个单位向量,其夹角为60°,设a=2m+n,b=2n-3m,求a与b的夹角.【解析】∵|n|=|m|=1,n和m夹角为60°,∴m·n=.∴|a|=|2m+n|===,|b|=|2n-3m|===.又a·b=2m+n·2n-3m=-6m2+m·n+2n2=-.设a与b的夹角为θ,则cosθ===-.∵θ∈[0°,180°],∴θ=120°.8.如图,设i,j是平面直角坐标系内x轴,y轴正方向上的单位向量且=4i+2j,=3i+4j.证明△ABC是直角三角形,并求它的面积.【解析】=-=4i+2j-3i+4j=i-2j,∵·=4i+2ji-2j=4i2-6i·j-4j2=4-6|i||j|cos90°-4=0,∴⊥,∴△ABC是直角三角形.||===,||===,∴S△ABC=||||=×=
5.。