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2019-2020年高中数学苏教版必修3教学案第2章2-32-3-1平均数及其估计含解析1.什么叫一组数据的平均数?
2.平均数有哪些计算方法?1.平均数的概念一组数据的总和除以数据的个数所得的商就是这组数据的平均数或均值,一般记为=.[点睛]1平均数反映了一组数据的集中趋势,它是一组数据的“重心”,是度量一组数据波动大小的基准.2用样本平均数可估计总体平均数.3用平均数可以比较两组数据的总体情况,如成绩、产量等.2.平均数的计算1定义法已知x1,x2,x3,…,xn为某样本的n个数据,则这n个数据的平均数为=.2利用平均数性质如果x1,x2,…,xn的平均数为,那么mx1+a,mx2+a,…,mxn+a的平均数是m+a.3加减常数法数据x1,x2,…,xn都比较大或比较小,且x1,x2,…,xn在固定常数a附近波动,将原数据变化为x1±a,x2±a,…,xn±a,新数据的平均数为′,则所求原数据的平均数为′±a.4加权平均数法样本中,数据x1有m1个,x2有m2个,…,xk有mk个,则=.5频率法一般地,若取值为x1,x2,…,xn的频率分别为p1,p2,…,pn,则其平均数=p1x1+p2x2+…+pnxn.6组中值法若样本为n组连续型数据,则样本的平均数=组中值与对应频率之积的和.1.江苏高考已知一组数据465876,那么这组数据的平均数为________.解析==
6.答案62.若数据x1,x2,x3,…,xn的平均数为2,则数据2x1-12x2-12x3-1,…,2xn-1的平均数为________.答案33.数据22,-4,-4,-43333的平均数为________.答案[典例] 1某班45名同学的年龄单位岁如下14 15 14 16 15 17 16 15 16 16 15 1517 13 14 15 16 16 15 14 15 15 14 1516 17 16 15 15 15 16 15 13 16 15 1517 14 15 16 16 15 14 15 15,求全班的平均年龄.2从高三年级中抽出50名学生参加数学竞赛,由成绩得到如图所示的频率分布直方图.试利用频率分布直方图估计高三年级学生的平均成绩.[解] 1法一利用平均数的公式计算.=×14+15+…+15=×684=
15.2岁.法二利用平均数的简化公式计算.取a=15,将已知各数减去15,得-1 0 -1 1 0 2 1 0 1 1 0 0 2 -2-1 0 1 1 0 -1 0 0 -1 0 1 2 1 00 0 1 0 -2 1 0 0 2 -1 0 1 1 0-1 0 0′=×-1+0+…+0=×9=
0.2岁.=′+a=
0.2+15=
15.2岁.法三利用加权平均数公式计算.=×13×2+14×7+15×20+16×12+17×4=×684=
15.2岁.即全班的平均年龄是
15.2岁.2样本平均数是频率分布直方图的“重心”,即所有数据的平均数,取每个小矩形底边的中点值乘以每个小矩形的面积再求和即可.故平均成绩为45×
0.004×10+55×
0.006×10+65×
0.02×10+75×
0.03×10+85×
0.024×10+95×
0.016×10=
76.
2.1给定一组数据,要求其平均数可直接套用公式.若这组数据都在某一数据附近波动,可用平均数的简化公式计算,若这组数据某些数多次出现,可用加权平均数公式计算.2在频率分布表中,平均数可用各组区间的组中值与对应频率之积进行估计.3若一组数据的个数未知,但每一数据所占比例已知,可用频率平均数公式. [活学活用]1.某医院的急诊中心的记录表明以往到这个中心就诊的病人需等待的时间的分布如下等待时间/min[05[510[1015[1520
[2025]频率
0.
200.
400.
250.
100.05则到这个中心就诊的病人平均需要等待的时间估计为________.解析=
2.5×
0.2+
7.5×
0.4+
12.5×
0.25+
17.5×
0.1+
22.5×
0.05=
9.
5.答案
9.52.某班进行一次考核,满分5分,3分包括3分以上为合格,得1分,2分,3分,4分,5分的人数占该班人数的比例分别为5%10%35%40%和10%,试求该班的平均得分.解由于本题没有给出该班同学的人数,故无法用定义法求解.而题中给出了相应分数及所占比例,故可用频率平均数公式计算.=1×
0.05+2×
0.10+3×
0.35+4×
0.40+5×
0.10=
3.4,故该班的平均分数为
3.4分.[典例] 若x1,x2,…,xn的平均数为,数据y1,y2,…,yn的平均数为,求下列几组数据的平均数.12x12x2,…,2xn;2kx1+a,kx2+a,…,kxn+a;3x1+y1,x2+y2,…,xn+yn.[解] 据题意=x1+x2+x3+…+xn,=y1+y2+…+yn,设第一组数据平均数为,第二组数据平均数为,第三组数据平均数为.1=2x1+2x2+…+2xn=2·x1+x2+…+xn=2,2=[kx1+a+kx2+a+…+kxn+a]=[kx1+x2+…+xn+na]=k·x1+x2+…+xn+a=k+a.3=[x1+y1+x2+y2+…+xn+yn]=[x1+x2+…+xn+y1+y2+…+yn]=x1+x2+…+xn+y1+y2+…+yn=+.若x1,x2,…,xn的平均数为,y1,y2,…,yn的平均数为,则ax1,ax2,…,axn的平均数为a,kx1+a,kx2+a,…,kxn+a的平均数为k+a;x1+y1,x2+y2,…,xn+yn的平均数为+,以上反映了平均数的性质,利用这些性质,可方便进行一些计算.[活学活用]已知数据x1,x2,…,xn的平均数为,数据y1,y2,y3,…,yn的平均数为2,则数据2x1+32x2+3,…,2xn+3的平均数为________,数据ax1+by1,ax2+by2,…,axn+byn的平均数为________.答案4 a+2b层级一 学业水平达标1.已知1234,a,b,c的平均数是8,则a+b+c=________.解析据题意1+2+3+4+a+b+c=8,∴a+b+c=
46.答案462.已知242x4y四个数的平均数是5,而574x6y四个数的平均数是9,则xy的值是________.解析据题意解之得∴xy=
6.答案63.在一次知识竞赛中,抽取40名选手,成绩分布如下成绩678910人员分布2571115则选手的平均成绩是________.解析=6×2+7×5+8×7+9×11+10×15=
8.
8.答案
8.81.一位同学种了甲、乙两种树苗各1株,分别观察了9次、10次后,得到树苗高度的数据的茎叶图如图单位厘米.则甲种树苗高度平均为________;乙种树苗的高度平均为________;甲、乙两种树苗高度平均为________.解析根据茎叶图可得,观察甲树苗9次得到的树苗高度分别为142021232430323337;观察乙树苗10次得到的树苗高度分别为10111424263044464647,易得甲树苗高度平均为=26,乙树苗高度平均为=
29.8,甲、乙两种树苗高度平均为234+298=
28.答案26
29.8 285.50名同学参加数学竞赛,成绩的分组及各组的频数如下单位分[4050,2;[5060,3;[6070,10;[7080,15;[8090,12;
[90100],
8.列出样本的频率分布表并求这50名同学的平均分.解频率分布表如下成绩分组频数频率[
405020.04[
506030.06[
6070100.2[
7080150.3[
8090120.24
[90100]
80.16合计
501.00法一总成绩约为45×2+55×3+65×10+75×15+85×12+95×8=3810分,故50名同学的数学平均分约为3810÷50=
76.2分.法二求组中值与对应频率之积的和.45×
0.04+55×
0.06+65×
0.2+75×
0.3+85×
0.24+95×
0.16=
76.2分.层级二 应试能力达标1.某同学使用计算器求30个数据的平均数时,错将其中一个数据105输入为15,那么由此求出的平均数与实际平均数的差是________.答案-32.若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示,则这组数据的中位数和平均数分别是________.答案
91.
591.53.一个企业,30%的员工年收入为1万元,65%的员工年收入为3万元,5%的员工年收入为11万元,则这个企业员工的年平均收入是________万元,年收入的中位数是________万元.解析年平均收入为1×
0.3+3×
0.65+11×
0.05=
2.8,中位数为
3.答案
2.8 34.已知是x1,x2,…,x100的平均数,a是x1,x2,…,x40的平均数,b是x41,x42,…,x100的平均数,则下列各式正确的是________.填序号
①=;
②=;
③=a+b;
④=.答案
①5.已知数据x1,x2,…,x8的平均数为6,则数据2x1-62x2-6,…,2x8-6的平均数为________.答案66.已知样本数据x1,x2,…,xn的平均数为h,y1,y2,…,ym的平均数为k,则把两组数据合并成一组以后,这组样本的平均数为____________.答案7.一个高中研究性学习小组对本地区xx年至xx年快餐公司发展情况进行了调查,制成了该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图如图,根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭________万盒.解析xx年30×
1.0=30万,xx年45×
2.0=90万,xx年90×
1.5=135万,=30+90+135=85万.答案858.某餐厅共有7名员工,所有员工的工资情况如下表人员经理厨师甲厨师乙会计服务员甲服务员乙勤杂工人数1111111工资3000700500450360340320解答下列问题1餐厅所有员工的平均工资是________.2所有员工工资的中位数是________.3用平均数还是用中位数描述该餐厅员工工资的一般水平比较恰当?________.4去掉经理的工资后,其他员工的平均工资是________,是否也能反映该餐厅员工工资的一般水平?________.填“能”或“不能”解析1平均工资为3000+700+500+450+360+340+320÷7=
810.2由表格可知中位数为
450.3用中位数描述该餐厅员工工资的一般水平比较恰当.4去掉经理的工资后,其他员工的平均工资为700+500+450+360+340+320÷6=
445.平均工资能反映该餐厅员工工资的一般水平.答案1810 2450 3中位数 4445 能9.为了比较两种治疗失眠症的药分别称为A药,B药的疗效,随机地选取20位患者服用A药,20位患者服用B药,这40位患者在服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间单位h.试验的观测结果如下服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间0.6
1.2
2.7
1.5
2.8
1.8
2.2
2.3
3.2
3.52.5
2.6
1.2
2.7
1.5
2.9
3.0
3.1
2.3
2.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间3.2
1.7
1.9
0.8
0.9
2.4
1.2
2.6
1.3
1.41.6
0.5
1.8
0.6
2.1
1.1
2.5
1.2
2.7
0.51分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好?2根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好?解1设A药观测数据的平均数为,B药观测数据的平均数为.由观测结果可得=×
0.6+
1.2+
1.2+
1.5+
1.5+
1.8+
2.2+
2.3+
2.3+
2.4+
2.5+
2.6+
2.7+
2.7+
2.8+
2.9+
3.0+
3.1+
3.2+
3.5=
2.3,=×
0.5+
0.5+
0.6+
0.8+
0.9+
1.1+
1.2+
1.2+
1.3+
1.4+
1.6+
1.7+
1.8+
1.9+
2.1+
2.4+
2.5+
2.6+
2.7+
3.2=
1.
6.由以上计算结果可得,因此可看出A药的疗效更好.2由观测结果可绘制如下茎叶图以上茎叶图可以看出,A药疗效的试验结果有的叶集中在茎23上,而B药疗效的试验结果有的叶集中在茎01上,由此可看出A药的疗效更好.10.有一组数据x1,x2,…,xnx1x2…xn的算术平均数为10,若去掉其中最大的一个,余下数据的算术平均数为9;若去掉其中最小的一个,余下数据的算术平均数为
11.1求出第一个数x1关于n的表达式及第n个数xn关于n的表达式;2若x1,x2,…,xn都是正整数,试求第n个数xn的最大值,并举出满足题目要求且xn取到最大值的一组数据.解1依条件得由
①-
②得xn=n+
9.又由
①-
③得x1=11-n.2由于x1是正整数,故x1=11-n≥1⇒1≤n≤10,故xn=n+9≤
19.当n=10时,x1=1,x10=19,x2+x3+…+x9=80,此时,x2=6,x3=7,x4=8,x5=9,x6=11,x7=12,x8=13,x9=
14.预习课本P65~68,思考并完成以下问题平均数的计算平均数的性质。