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2019-2020年高中数学苏教版选修2-2教学案第1章1-11-1-1平均变化率1.
1.1 平均变化率假设下图是一座山的剖面示意图,并在上面建立平面直角坐标系.A是出发点,H是山顶.爬山路线用函数y=fx表示.自变量x表示某旅游者的水平位置,函数值y=fx表示此时旅游者所在的高度.设点A的坐标为x0,y0,点B的坐标为x1,y1.问题1若旅游者从A点爬到B点,则自变量x和函数值y的改变量Δx,Δy分别是多少?提示Δx=x1-x0,Δy=y1-y
0.问题2如何用Δx和Δy来刻画山路的陡峭程度?提示对于山坡AB,可用来近似刻画山路的陡峭程度.问题3试想=的几何意义是什么?提示=表示直线AB的斜率.问题4从A到B,从A到C,两者的相同吗?的值与山路的陡峭程度有什么关系?提示不相同.的值越大,山路越陡峭.1.一般地,函数fx在区间[x1,x2]上的平均变化率为.2.平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”,或者说,曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”.在函数平均变化率的定义中,应注意以下几点1函数在[x1,x2]上有意义;2在式子中,x2-x10,而fx2-fx1的值可正、可负、可为
0.3在平均变化率中,当x1取定值后,x2取不同的数值时,函数的平均变化率不一定相同;同样的,当x2取定值后,x1取不同的数值时,函数的平均变化率也不一定相同.求函数在某区间的平均变化率[例1] 1求函数fx=3x2+2在区间[
22.1]上的平均变化率;2求函数gx=3x-2在区间[-2,-1]上的平均变化率.[思路点拨] 求出所给区间内自变量的改变量及函数值的改变量,从而求出平均变化率.[精解详析] 1函数fx=3x2+2在区间[
22.1]上的平均变化率为==
12.
3.2函数gx=3x-2在区间[-2,-1]上的平均变化率为===
3.[一点通] 求函数平均变化率的步骤为第一步求自变量的改变量x2-x1;第二步求函数值的改变量fx2-fx1;第三步求平均变化率.1.函数gx=-3x在
[24]上的平均变化率是________.解析函数gx=-3x在
[24]上的平均变化率为===-
3.答案-
32.如图是函数y=fx的图象,则1函数fx在区间[-11]上的平均变化率为________;2函数fx在区间
[02]上的平均变化率为________.解析1函数fx在区间[-11]上的平均变化率为==.2由函数fx的图象知,fx=所以,函数fx在区间
[02]上的平均变化率为==.答案1 23.本例条件不变,分别计算fx与gx在区间
[12]上的平均变化率,并比较变化率的大小.解1==
9.2==
3.fx比gx在
[12]上的平均变化率大.实际问题中的平均变化率[例2] 物体的运动方程为S=位移单位m;时间单位s,求物体在t=1s到t=1+Δts这段时间内的平均速度.[思路点拨] 求物体在某段时间内的平均速度,就是求位移的改变量与时间的改变量的比值.[精解详析] 物体在[11+Δt]内的平均速度为====m/s.即物体在t=1s到t=1+Δts这段时间内的平均速度为m/s.[一点通] 平均变化率问题在生活中随处可见,常见的有求某段时间内的平均速度、加速度、膨胀率、经济效益等.分清自变量和因变量是解决此类问题的关键.4.圆的半径r从
0.1变化到
0.3时,圆的面积S的平均变化率为________.解析∵S=πr2,∴圆的半径r从
0.1变化到
0.3时,圆的面积S的平均变化率为==
0.4π.答案
0.4π5.在F1赛车中,赛车位移单位m与比赛时间t单位s存在函数关系S=10t+5t2,则赛车在[
2020.1]上的平均速度是多少?解赛车在[
2020.1]上的平均速度为===
210.5m/s.函数平均变化率的应用[例3] 甲、乙两人走过的路程s1t,s2t与时间t的关系如图所示,试比较两人的速度哪个大?[思路点拨] 要比较两人的速度,其实就是比较两人走过的路程对时间的平均变化率,通过平均变化率的大小关系得出结论.[精解详析] 在t0处s1t0=s2t0,但,所以在单位时间内乙的速度比甲的速度大,因此,在如图所示的整个运动状态中乙的速度比甲的速度大.[一点通] 平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢,平均变化率的绝对值越大,函数在区间上的变化率越快;平均变化率的绝对值越小,函数在区间上的变化率越慢.
6.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示.在时间段[t0,t1],[t1,t2],[t2,t3]上的平均速度分别为,,,则三者的大小关系是________.解析==kOA,==kAB,==kBC,由图象知kOAkABkBC,所以.答案7.A、B两机关开展节能活动,活动开始后,两机关每天的用电情况如图所示,其中W1t、W2t分别表示A、B两机关的用电量与时间第t天的关系,则下列说法一定正确的是________.填序号
①两机关节能效果一样好;
②A机关比B机关节能效果好;
③A机关在[0,t0]上的用电平均变化率比B机关在[0,t0]上的用电平均变化率大;
④A机关与B机关自节能以来用电量总是一样大.解析由图可知,在t=0时,W10W20,当t=t0时,W1t0=W2t0,所以,且.故只有
②正确.答案
②1.求函数在指定区间上的平均变化率应注意的问题1平均变化率的公式中,分子是区间两端点间的函数值的差,分母是区间两端点间的自变量的差.2平均变化率公式中,分子、分母中被减数同时为右端点,减数同为左端点.2.一次函数的平均变化率一次函数y=kx+bk≠0在区间[m,n]上的平均变化率为==k.由上述计算可知,一次函数y=kx+b,在区间[m,n]上的变化率与m,n的值无关,只与一次项系数有关,且其平均变化率等于一次项的系数.3.平均变化率的几何意义1平均变化率表示点x1,fx1,x2,fx2连线的斜率,是曲线陡峭程度的“数量化”.2平均变化率的大小类似函数的单调性,可说明函数图象的陡峭程度.[对应课时跟踪训练一]
一、填空题1.函数fx=x2-1在区间[
11.1]上的平均变化率为________.解析===
2.
1.答案
2.12.函数fx=2x+4在区间[a,b]上的平均变化率为________.解析===
2.答案23.某人服药后,人吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度c单位mg/mL来表示,它是时间t单位min的函数,表示为c=ct,下表给出了ct的一些函数值t/min0102030405060708090ct/mg/mL
0.
840.
890.
940.
981.
001.
000.
970.
900.
790.63服药后30~70min这段时间内,药物浓度的平均变化率为________.解析==-
0.
002.答案-
0.
0024.如图所示物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况,则在0到t0范围内甲的平均速度________乙的平均速度,在t0到t1范围内甲的平均速度________乙的平均速度填“等于”、“大于”或“小于”.解析由图可知,在[0,t0]上,甲的平均速度与乙的平均速度相同;在[t0,t1]上,甲的平均速度大于乙的平均速度.答案等于 大于5.函数y=x3+2在区间[1,a]上的平均变化率为21,则a=________.解析==a2+a+1=
21.解之得a=4或a=-
5.又∵a1,∴a=
4.答案4
二、解答题6.已知函数fx=2x2+
1.求函数fx在区间[
22.01]上的平均变化率.解函数fx在区间[
22.01]上的平均变化率为=
8.
02.7.求函数y=sinx在0到之间和到之间的平均变化率,并比较它们的大小.解在0到之间的平均变化率为=;在到之间的平均变化率为=.∵2-1,∴,∴函数y=sinx在0到之间的平均变化率为,在到之间的平均变化率为,故在0到之间的平均变化率较大.8.已知气球的表面积S单位cm2与半径r单位cm之间的函数关系是Sr=4πr
2.求1气球表面积S由10cm2膨胀到20cm2时的平均膨胀率即气球膨胀过程中半径的增量与表面积增量的比值;2气球表面积S由30cm2膨胀到40cm2时的平均膨胀率.解根据函数的增量来证明.由Sr=4πr2,r0,把r表示成表面积S的函数rS=.1当S由10cm2膨胀到20cm2时,气球表面积的增量ΔS=20-10=10cm2,气球半径的增量Δr=r20-r10=-≈
0.37cm.所以气球的平均膨胀率为≈=
0.
037.2当S由30cm2膨胀到40cm2时,气球表面积的增量ΔS=-≈
0.239cm2.所以气球的平均膨胀率为≈=
0.
0239.。