2019-2020年高中数学苏教版选修2-2教学案：第1章1-31-3-2极大值与极小值

2019-2020年高中数学苏教版选修2-2教学案第1章1-31-3-2极大值与极小值[对应学生用书P16]极　值已知y＝fx的图象如图．问题1当x＝a时，函数值fa有何特点？提示在x＝a的附近，fa最小，fa并不一定是y＝fx的最小值．问题2当x＝b时，函数值fb有何特点？提示在x＝b的附近，fb最大，fb并不一定是y＝fx的最大值．1．观察下图中的函数图象，发现函数图象在点P处从左侧到右侧由“上升”变为“下降”函数由单调递增变为单调递减，这时在点P附近，点P的位置最高，亦即fx1比它附近点的函数值都要大，我们称fx1为函数fx的一个极大值．2．类似地，上图中fx2为函数的一个极小值．3．函数的极大值、极小值统称为函数的极值．极值与导数的关系观察图Ⅰ．问题1试分析在函数取得极大值的x1的附近左右两侧导数的符号有什么变化？提示左侧导数大于0，右侧导数小于

0.问题2试分析在函数取得极小值的x2的附近左右两侧导数的符号有什么变化？提示左侧导数小于0，右侧导数大于

0.1．极大值与导数之间的关系如下表xx1左侧x1x1右侧f′xf′x0f′x＝0f′x0fx增极大值fx1减2．极小值与导数之间的关系如下表xx2左侧x2x2右侧f′xf′x0f′x＝0f′x0fx减极小值fx2增1．极值是一个局部概念，它只是某个点的函数值与它附近的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在整个定义域内是最大或最小．2．函数的极值并不惟一如图所示．3．极大值和极小值之间没有确定的大小关系，如图所示，fx1是极大值，fx4是极小值，而fx4fx1．求函数的极值[例1]　求下列函数的极值1fx＝x3－3x2－9x＋5；2fx＝.[思路点拨]　按求函数极值的步骤求解，要注意函数的定义域．[精解详析]　1函数fx＝x3－3x2－9x＋5的定义域为R，且f′x＝3x2－6x－

9.解方程3x2－6x－9＝0，得x1＝－1，x2＝

3.当x变化时，f′x与fx的变化情况如下表x－∞，－1－1－1333，＋∞f′x＋0－0＋fx极大值10极小值－22因此，函数fx的极大值为f－1＝10；极小值为f3＝－

22.2函数fx＝的定义域为0，＋∞，且f′x＝.令f′x＝0，解得x＝e.当x变化时，f′x与fx的变化情况如下表x0，eee，＋∞f′x＋0－fx极大值因此函数fx的极大值为fe＝，没有极小值．[一点通]　1求可导函数极值的步骤

①求导数f′x；

②求方程f′x＝0的根；

③检查f′x的值在方程f′x＝0的根左右的符号，如果左正右负，那么fx在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么fx在这个根处取得极小值．2注意事项

①不要忽视函数的定义域；

②要正确地列出表格，不要遗漏区间和分界点．1．函数fx的定义域为开区间a，b，导函数f′x在a，b内的图象如图所示，则函数fx在开区间a，b内有________个极小值．解析由图可知，在区间a，x1，x20，0，x3内f′x0；在区间x1，x2，x3，b内f′x

0.即fx在a，x1内单调递增，在x1，x2内单调递减，在x2，x3内单调递增，在x3，b内单调递减．所以，函数fx在开区间a，b内只有一个极小值，极小值为fx2．答案12．关于函数fx＝x3－3x2有下列命题，其中正确命题的序号是________．

①fx是增函数；

②fx是减函数，无极值；

③fx的增区间是－∞，0和2，＋∞，减区间为02；

④f0＝0是极大值，f2＝－4是极小值．解析f′x＝3x2－6x，令f′x＝0，则x＝0或x＝

2.易知当x∈－∞，0时，f′x0；当x∈02时，f′x0；当x∈2，＋∞时，f′x

0.所以fx的单调增区间是－∞，0和2，＋∞，减区间是02；极大值为f0，极小值为f2．答案

③④3．设fx＝alnx＋＋x＋1，其中a∈R，曲线y＝fx在点1，f1处的切线垂直于y轴．1求a的值；2求函数fx的极值．解1因fx＝alnx＋＋x＋1，故f′x＝－＋.由于曲线y＝fx在点1，f1处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0，即f′1＝0，从而a－＋＝0，解得a＝－

1.2由1知fx＝－lnx＋＋x＋1x0，f′x＝－－＋＝＝.令f′x＝0，解得x1＝1，x2＝－因x2＝－不在定义域内，舍去．当x∈01时，f′x0，故fx在01上为减函数；当x∈1，＋∞时，f′x0，故fx在1，＋∞上为增函数．故fx在x＝1处取得极小值f1＝

3.已知函数极值求参数[例2]　已知fx＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值

0.求a，b的值．[思路点拨]　解答本题可先求f′x，利用x＝－1时有极值0这一条件建立关于a，b的方程组．解方程组可得a，b的值，最后将a，b代入原函数验证极值情况．[精解详析]　∵fx在x＝－1时有极值0且f′x＝3x2＋6ax＋b，∴即解得或当a＝1，b＝3时，f′x＝3x2＋6x＋3＝3x＋12≥0，所以fx在R上为增函数，无极值，故舍去．当a＝2，b＝9时，f′x＝3x2＋12x＋9＝3x＋1x＋3．当x∈－∞，－3时，fx为增函数；当x∈－3，－1时，fx为减函数；当x∈－1，＋∞时，fx为增函数．所以fx在x＝－1时取得极小值，因此a＝2，b＝

9.[一点通]　已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式，进而研究函数性质时，注意两点1常根据取极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．2因为导数值等于零不是此点取极值的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．4．已知函数fx＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值为10，则ab＝________.解析f′x＝3x2＋2ax＋b，由题意可知即得或当a＝－3，b＝3时，f′x＝3x2－6x＋3＝3x－12，易知在x＝1的左右两侧都有f′x＞0，即函数fx在R上是单调递增的，因此fx在x＝1处并不存在极值，故ab＝－

44.答案－445．已知函数y＝3x－x3＋m的极大值为10，则m的值为________.解析y′＝3－3x2＝31＋x1－x，令y′＝0得x1＝－1，x2＝1，经判断知极大值为f1＝2＋m＝10，m＝

8.答案86．已知函数fx＝ax3＋bx2－3x在x＝±1处取得极值．讨论f1和f－1是函数fx的极大值还是极小值．解∵f′x＝3ax2＋2bx－3，依题意，f′1＝f′－1＝0，即解得a＝1，b＝0，∴fx＝x3－3x，∴f′x＝3x2－3＝3x＋1x－1，令f′x＝0，得x＝－1，x＝1，x－∞，－1－1－1111，＋∞f′x＋0－0＋fx极大值极小值所以f－1＝2是极大值，f1＝－2是极小值．极值的综合应用[例3]　已知a为实数，函数fx＝－x3＋3x＋a.1求函数fx的极值，并画出其图象草图；2当a为何值时，方程fx＝0恰好有两个实数根？[精解详析]　1由fx＝－x3＋3x＋a，得f′x＝－3x2＋3，令f′x＝0，得x＝－1或x＝

1.当x∈－∞，－1时，f′x0；当x∈－11时，f′x0；当x∈1，＋∞时，f′x

0.所以函数fx的极小值为f－1＝a－2；极大值为f1＝a＋

2.由单调性、极值可画出函数fx的大致图象，如图所示．这里，极大值a＋2大于极小值a－

2.2结合图象，当极大值a＋2＝0或极小值a－2＝0时，曲线fx与x轴恰有两个交点，即方程fx＝0恰有两个实数根．综上，当a＝±2时，方程恰有两个实数根．[一点通]　极值问题的综合应用主要涉及极值的正用和逆用，以及与单调性问题的综合，题目着重考查已知与未知的转化，以及函数与方程的思想、分类讨论的思想在解题中的应用，在解题过程中，熟练掌握单调区间问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合问题的关键．7．在例3中当a在什么范围内取值时，曲线y＝fx与x轴仅有一个交点？解函数fx的大致图象如图所示当函数fx的极大值a＋20或极小值a－20时，曲线y＝fx与x轴仅有一个交点，所以所求实数a的范围是a－2或a

2.8．已知x＝3是函数fx＝aln1＋x＋x2－10x的一个极值点．1求a；2求函数fx的单调区间；3若直线y＝b与函数y＝fx的图象有3个交点，求b的取值范围．解1因为f′x＝＋2x－10，所以f′3＝＋6－10＝0，因此a＝

16.2由1知，fx＝16ln1＋x＋x2－10x，x∈－1，＋∞．f′x＝，当x∈－11∪3，＋∞时，f′x0，当x∈13时，f′x0，所以fx的单调增区间是－11和3，＋∞，fx的单调减区间是13．3由2知，fx在－11内单调递增，在13内单调递减，在3，＋∞上单调递增，且当x＝1或x＝3时，f′x＝0，所以fx的极大值为f1＝16ln2－9，极小值为f3＝32ln2－21，所以要使直线y＝b与y＝fx的图象有3个交点，当且仅当f3bf1．因此b的取值范围为32ln2－2116ln2－9．根据可导函数极值的定义、方法、步骤，要弄清以下几点1极大小值未必是最大小值，可以有多个数值不同的极大小值；2极大小值是局部充分小的领域内的最大小值；3极大小值只能在区间的内点取得，常数函数没有极大值，也没有极小值；4f′x0＝0只是可导函数fx在x0取得极值的必要条件，不是充分条件．[对应课时跟踪训练七]　

一、填空题1．已知函数fx的定义域为a，b，导函数f′x在区间a，b上的图象如图所示，则函数y＝fx在a，b上极大值点的个数为________．解析极大值点在导函数f′x0＝0处，且满足x0左侧为正，右侧为负，由图象知有3个．答案32．新课标全国卷Ⅰ改编函数fx在x＝x0处导数存在．若p f′x0＝0；q x＝x0是fx的极值点，则p是q的________条件．解析设fx＝x3，f′0＝0，但是fx是单调增函数，在x＝0处不存在极值，故若p则q是一个假命题，由极值的定义可得若q则p是一个真命题．故p是q的必要不充分条件．答案必要不充分3．若函数fx＝x·2x在x0处有极小值，则x0＝________.解析f′x＝2x＋x·2xln2，令f′x＝0，得x＝－.答案－4．设a∈R，若函数y＝eax＋3x，x∈R取极值的点大于0，则a的取值范围是________．解析令x＝fx，则f′x＝aeax＋3，函数fx取极值的点大于0，即f′x＝aeax＋3＝0有正根．当f′x＝aeax＋3＝0成立时，显然有a＜0，此时x＝ln，由x＞0可得a＜－

3.答案－∞，－35．福建高考改编设函数fx的定义域为R，x0x0≠0是fx的极大值点，以下结论一定正确的是________．

①∀x∈R，fx≤fx0；

②－x0是f－x的极小值点；

③－x0是－fx的极小值点；

④－x0是－f－x的极小值点．解析不妨取函数fx＝x3－x，则x＝－为fx的极大值点，但f3f，∴排除

①；取函数fx＝－x－12，则x＝1是fx的极大值点，但－1不是f－x的极小值点，∴排除

②；－fx＝x－12，－1不是－fx的极小值点，∴排除

③，∵－f－x的图象与fx的图象关于原点对称，由函数图象的对称性可得－x0应为函数－f－x的极小值点，∴填

④.答案

④

二、解答题6．已知函数fx＝x3－4x＋4，求函数的极值，并画出函数的大致图象．解1f′x＝x2－

4.解方程x2－4＝0，得x1＝－2，x2＝

2.当x变化时，f′x、fx的变化情况如下表x－∞，－2－2－2222，＋∞f′x＋0－0＋fx－从上表看出，当x＝－2时，函数有极大值，且极大值为f－2＝；而当x＝2时，函数有极小值，且极小值为f2＝－.函数fx＝x3－4x＋4的图象如图所示．7．已知函数fx＝x3－3ax－1，a≠

0.1求fx的单调区间；2若fx在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝fx的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．解1∵f′x＝3x2－3a＝3x2－a．当a0时，对x∈R，有f′x0，∴当a0时，fx的单调增区间为－∞，＋∞；当a0时，由f′x0解得x－，或x，由f′x0解得－x，∴当a0时，fx的单调增区间为－∞，－，，＋∞，fx的单调减区间为－，．2∵fx在x＝－1处取得极值，f′－1＝3×－12－3a＝

0.∴a＝

1.∴fx＝x3－3x－1，f′x＝3x2－

3.由f′x＝0解得x1＝－1，x2＝1，由1中fx的单调性可知，fx在x＝－1处取得极大值f－1＝1，在x＝1处取得极小值f1＝－

3.∵直线y＝m与函数y＝fx的图象有三个不同的交点，结合fx的单调性可知m的取值范围是－31．8．重庆高考已知函数fx＝ae2x－be－2x－cxa，b，c∈R的导函数f′x为偶函数，且曲线y＝fx在点0，f0处的切线的斜率为4－c.1确定a，b的值；2若c＝3，判断fx的单调性；3若fx有极值，求c的取值范围．解1对fx求导得f′x＝2ae2x＋2be－2x－c，由f′x为偶函数，知f′－x＝f′x，即2a－be2x－e－2x＝0，所以a＝b.又f′0＝2a＋2b－c＝4－c，故a＝1，b＝

1.2当c＝3时，fx＝e2x－e－2x－3x，那么f′x＝2e2x＋2e－2x－3≥2－3＝10，故fx在R上为增函数．3由1知f′x＝2e2x＋2e－2x－c，而2e2x＋2e－2x≥2＝4，当x＝0时等号成立．下面分三种情况进行讨论．当c4时，对任意x∈R，f′x＝2e2x＋2e－2x－c0，此时fx无极值；当c＝4时，对任意x≠0，f′x＝2e2x＋2e－2x－40，此时fx无极值；当c4时，令e2x＝t，注意到方程2t＋－c＝0有两根t12＝0，即f′x＝0有两个根x1＝lnt1或x2＝lnt

2.当x1xx2时f′x0；又当xx2时，f′x0，从而fx在x＝x2处取得极小值．综上，若fx有极值，则c的取值范围为4，＋∞．。