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2019-2020年高中数学苏教版选修2-2教学案第1章1-51-5-3 微积分基本定理[对应学生用书P28]已知函数fx=2x+1,Fx=x2+x.问题1fx和Fx有何关系?提示F′x=fx.问题2利用定积分的几何意义求2x+1dx的值.提示2x+1dx=
6.问题3求F2-F0的值.提示F2-F0=4+2=
6.问题4你得出什么结论?提示fxdx=F2-F0,且F′x=fx.问题5已知fx=x3,Fx=x4,试探究fxdx与F1-F0的关系.提示因fxdx=x3dx=.F1-F0=,有fx=F1-F0且F′x=fx.微积分基本定理对于被积函数fx,如果F′x=fx,那么fxdx=Fb-Fa,即F′xdx=Fb-Fa.1.微积分基本定理表明,计算定积分fxdx的关键是找到满足F′x=fx的函数Fx.通常,我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出Fx.2.微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的内在联系,最重要的是它也提供了计算定积分的一种有效方法.求简单函数的定积分[例1] 求下列定积分1x2+2x+3dx;2sinx-cosxdx;3cosx-exdx.[思路点拨] 先求被积函数的原函数,然后利用微积分基本定理求解.[精解详析] 1取Fx=+x2+3x,则F′x=x2+2x+3,从而x2+2x+3dx=F′xdx=F2-F1=.2取Fx=-cosx-sinx,则F′x=sinx-cosx,从而sinx-cosxdx=F′xdx=Fπ-F0=
2.3取Fx=sinx-ex,则F′x=cosx-ex,从而cosx-exdx=F′dx=F0-F-π=-
1.[一点通] 求简单的定积分关键注意两点1掌握基本函数的导数以及导数的运算法则,正确求解被积函数的原函数,当原函数不易求时,可将被积函数适当变形后再求解;2精确定位积分区间,分清积分下限与积分上限.1.江西高考改编若fx=x2+2fxdx,则fxdx=____________.解析∵fx=x2+2fxdx,∴fxdx==+2fxdx.∴fxdx=-.答案=-
2.cosx+1dx=________.解析∵sinx+x′=cosx+1,∴cosx+1dx=sinx+x=sinπ+π-sin0+0=π.答案π3.求下列定积分1sin2dx;22-x23-xdx.解1sin2=-,而′=-cosx,所以sin2dx=dx==-=.2原式=6-2x-3x2+x3dx==-=-.求分段函数的定积分[例2] 1设fx=求fxdx;2求dxa0.[思路点拨] 按照函数fx的分段标准,求出每一段上的积分,然后求和.[精解详析] 1fxdx=x2dx+cosx-1dx=x3+sinx-x=sin1-.2由=得dx=xdx+-xdx=x2-x2=a
2.[一点通] 1分段函数在区间[a,b]上的积分可分成几段积分的和的形式.2分段的标准是使每一段上的函数表达式确定,按照原函数分段的情况分即可,无需分得过细.
4.|x+2|dx=________.解析∵|x+2|=∴|x+2|dx=x+2dx+-x-2dx=+=.答案5.设fx=若ff1=1,则a=________.解析显然f1=lg1=0,故f0=0+3t2dt=t3=1,得a=
1.答案1求图形的面积[例3] 求由曲线y=x2-2x+3与直线y=x+3所围成的图形的面积.[思路点拨] →→.[精解详析] 画出草图,如图所示.解方程组得A03,B36.所以S=x+3dx-x2-2x+3dx,取Fx=x2+3x,则F′x=x+3,取Hx=x3-x2+3x,则H′x=x2-2x+3,从而S=F3-F0-[H3-H0]=-0-=.[一点通] 利用定积分求曲线所围成的平面图形的面积的步骤1根据题意画出图形;2找出范围,定出积分上、下限;3确定被积函数;4写出相应的定积分表达式,即把曲边梯形面积表示成若干个定积分的和或差;5用微积分基本定理及其运算性质计算定积分,求出结果.6.曲线y=,直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积为________.解析所围成的图形如图阴影部分所示,点A0,-2,由得所以B42,因此所围成的图形的面积为dx==.答案7.设a0,若曲线y=与直线x=a,y=0所围成封闭图形的面积为a2,则a=________.解析由已知得S=dx=x=a=a2,所以a=,所以a=.答案1.求定积分的一些常用技巧1对被积函数,要先化简,再求积分.2求被积函数是分段函数的定积分,应分段求定积分再求和.3对于含有绝对值符号的被积函数,要去掉绝对值符号后才能积分.2.利用定积分求曲边梯形的面积1在利用定积分求平面图形的面积时,一般要先画出它的草图,再借助图形直观地确定出被积函数以及积分的上、下限.2要把定积分和用定积分计算平面图形的面积这两个概念区分开,定积分是一种积分和的极限,可为正,也可为负或零;而平面图形的面积在一般意义下总为正,因此当fx≤0时要通过绝对值处理为正,一般情况下是借助定积分求出两个曲边梯形的面积,然后相加起来.[对应课时跟踪训练十一]
一、填空题
1.dx=________.解析dx=lnx=lne-ln1=
1.答案
12.2sinx-3ex+2dx=________.解析2sinx-3ex+2dx=-2cosx-3ex+2x=7+2π-3eπ.答案7+2π-3eπ3.江西高考改编若S1=x2dx,S2=dx,S3=exdx,则S1,S2,S3的大小关系为________.解析S1=x3=-=,S2=lnx=ln2lne=1,S3=ex=e2-e≈
2.72-
2.7=
4.59,所以S2S1S
3.答案S2S1S34.设fx=则fxdx=________.解析fxdx=x2dx+2-xdx=x3+2x-x2=.答案5.福建高考如图,在边长为ee为自然对数的底数的正方形中随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分的概率为________.解析因为函数y=ex与函数y=lnx互为反函数,其图象关于直线y=x对称,又因为函数y=ex与直线y=e的交点坐标为1,e,所以阴影部分的面积为2e×1-exdx=2e-2ex=2e-2e-2=2,由几何概型的概率计算公式,得所求的概率P==.答案
二、解答题6.fx是一次函数,且fxdx=5,xfxdx=,求fx的解析式.解设fx=ax+ba≠0,则ax+bdx==a+b=
5.xax+bdx=ax2+bxdx==a+b=,所以由解得a=4,b=3,故fx=4x+
3.7.求由曲线y=x2与直线x+y=2围成的面积.解如图,先求出抛物线与直线的交点,解方程组得或即两个交点为11,-24.直线为y=2-x,则所求面积S为S=[2-x-x2]dx==.8.设fx是二次函数,其图象过点01,且在点-2,f-2处的切线方程为2x+y+3=
0.1求fx的表达式;2求fx的图象与两坐标轴所围成图形的面积;3若直线x=-t0<t<1把fx的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分,求t的值.解1设fx=ax2+bx+c,∵其图象过点01,∴c=1,又∵在点-2,f-2处的切线方程为2x+y+3=0,∴∵f′x=2ax+b,∴∴a=1,b=2,故fx=x2+2x+
1.2依题意,fx的图象与两坐标轴所围成的图形如图中阴影部分所示,故所求面积S=x2+2x+1dx==.3依题意,有S=x2+2x+1dx==,即t3-t2+t=,∴2t3-6t2+6t-1=0,∴2t-13=-1,∴t=1-.。