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2019-2020年高中数学苏教版选修2-2教学案第3章3-2第一课时复数的加减与乘法运算第一课时 复数的加减与乘法运算复数的加减法已知复数z1=a+bi,z2=c+dia,b,c,d∈R.问题1多项式的加减实质是合并同类项,类比想一想复数如何加减?提示两个复数相加减就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加减.问题2复数的加法满足交换律和结合律吗?提示满足.1.复数的加法、减法法则设z1=a+bi,z2=c+dia,b,c,d∈R,则z1+z2=a+bi+c+di=a+c+b+di,z1-z2=a+bi-c+di=a-c+b-di.即两个复数相加减就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加减.2.复数加法的运算律1交换律z1+z2=z2+z1;2结合律z1+z2+z3=z1+z2+z
3.复数的乘法设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R问题1如何规定两复数相乘?提示两个复数相乘,类似于两个多项式相乘,只要在所得的结果中把i2换成-1,并且把实部与虚部分别合并即可.即z1z2=a+bic+di=ac+bci+adi+bdi2=ac-bd+bc+adi.问题2试验复数乘法的交换律.提示z1z2=a+bic+di=ac-bd+bc+adi,z2z1=c+dia+bi=ac-bd+bc+adi.故z1z2=z2z
1.1.复数的乘法设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数,那么它们的积a+bic+di=ac+bci+adi+bdi2=ac-bd+ad+bcia,b,c,d∈R.2.复数乘法的运算律对于任意z
1、z
2、z3∈C,有交换律z1·z2=z2·z1结合律z1·z2·z3=z1·z2·z3乘法对加法的分配律z1z2+z3=z1z2+z1z3共轭复数问题复数3+4i与3-4i,a+bi与a-bia,b∈R有什么特点?提示两复数的实部相等,虚部互为相反数.1.把实部相等,虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数.2.复数z=a+bi的共轭复数记作,即=a-bi.3.当复数z=a+bi的虚部b=0时,z=,也就是说,实数的共轭复数仍是它本身.1.复数加、减法的规定实部与实部相加减、虚部与虚部相加减.两个复数的和或差仍是一个复数.2.复数的乘法与多项式的乘法是类似的,有一点不同即必须在所得结果中把i2换成-1,再把实部,虚部分别合并、两个复数的积仍是一个复数,可推广到任意多个复数,任意多个复数的积仍然是一个复数.复数的加减运算[例1] 计算13+5i+3-4i;2-3+2i-4-5i;35-5i+-2-2i-3+3i.[思路点拨] 解答本题可根据复数加减运算的法则进行.[精解详析] 13+5i+3-4i=3+3+5-4i=6+i.2-3+2i-4-5i=-3-4+[2--5]i=-7+7i.35-5i+-2-2i-3+3i=5-2-3+[-5+-2-3]i=-10i.[一点通] 复数加减运算法则的记忆方法1复数的实部与实部相加减,虚部与虚部相加减.2把i看作一个字母,类比多项式加减中的合并同类项.1.3-5i+-4-i-3+4i=________.解析3-5i+-4-i-3+4i=3-4-3+-5-1-4i=-4-10i.答案-4-10i2.若-7i+5-9-8i+x+yi=2,则x+y=________.解析-7i+5-9-8i+x+yi=5-9+x+-7+8+yi=x-4+y+1i.∴x-4+y+1i=2,即x-4=2,y+1=
0.∴x=6,y=-
1.∴x+y=
5.答案53.计算11+2i+3-4i-5+6i;25i-[3+4i--1+3i].解1原式=4-2i-5+6i=-1-8i;2原式=5i-4+i=-4+4i.复数的乘法[例2] 计算11-i1+i+-1+i;22-i-1+5i3-4i+2i.[思路点拨] 应用复数的乘法法则及乘法运算律来解.[精解详析] 11-i1+i+-1+i=1-i2-1+i=1+i.22-i-1+5i3-4i+2i=-2+10i+i-5i23-4i+2i=-2+11i+53-4i+2i=3+11i3-4i+2i=9-12i+33i-44i2+2i=53+21i+2i=53+23i.[一点通] 1三个或三个以上的复数相乘,可按从左向右的顺序运算,或利用结合律运算.混合运算的顺序与实数的运算顺序一样.2平方差公式,完全平方公式等在复数范围内仍然成立.一些常见的结论要熟悉i2=-1,1±i2=±2i.4.浙江高考改编已知i是虚数单位,则-1+i2-i=________.解析-1+i2-i=-2+i+2i-i2=-1+3i.答案-1+3i5.若1+i2+i=a+bi,其中a,b∈R,i为虚数单位,则a+b=________.解析∵1+i2+i=1+3i=a+bi,∴a=1,b=3,故a+b=
4.答案46.计算下列各题.11+i2;2-1+3i3-4i;31-i1+i.解11+i2=1+2i+i2=2i.2-1+3i3-4i=-3+4i+9i-12i2=9+13i.3法一1-i1+i=1+i=1+i=+i+i+i2=-1+i.法二原式=1-i1+i=1-i2=2=-1+i.共轭复数的概念 [例3] 已知z∈C,为z的共轭复数,若z·-3i=1+3i,求z.[思路点拨] ―→―→.[精解详析] 设z=a+bia,b∈R,则=a-bia,b∈R,由题意得a+bia-bi-3ia-bi=1+3i,即a2+b2-3b-3ai=1+3i,则有解得或所以z=-1或z=-1+3i.[一点通] 1实数的共轭复数是它本身,即z∈R⇔z=,利用此性质可以证明一个复数是实数.2若≠0且z+=0,则z为纯虚数,利用此性质可证明一个复数是纯虚数.7.已知复数z=1+i,为z的共轭复数,则z·-z-1=________. 解析∵z=1+i,∴=1-i,∴z·=1+i1-i=2,∴z·-z-1=2-1+i-1=2-1-i-1=-i.答案-i8.复数z满足1+2i=4+3i,则z=________.解析设z=a+bi,则=a-bi.∴1+2ia-bi=4+3i,∴a-bi+2ai+2b=4+3i,即a+2b+2a-bi=4+3i,∴解之得a=2,b=
1.∴z=2+i.答案2+i9.已知复数z=1+i,求实数a,b使az+2b=a+2z2成立.解∵z=1+i,∴az+2b=a+2b+a-2bi,a+2z2=a+22-4+4a+2i=a2+4a+4a+2i.∵a,b都是实数,∴由az+2b=a+2z2,得两式相加,整理得a2+6a+8=
0.解得a1=-2,a2=-4,对应得b1=-1,b2=
2.∴所求实数为a=-2,b=-1或a=-4,b=
2.1.复数的加减运算把复数的代数形式z=a+bi看作关于“i”的多项式,则复数的加法、减法运算,类似于多项式的加法、减法,只需要“合并同类项”就行,不需要记加、减法法则.2.复数的乘法运算复数的乘法可以把虚数单位i看作字母,按多项式乘法的法则进行,注意要把i2化为-1,进行最后结果的化简.
一、填空题1.计算-i+3--2+5i的结果为________.解析-i+3--2+5i=-i+3+2-5i=-6i+
5.答案5-6i2.若复数z=1-2i,i为虚数单位则z·+z的实部是________.解析∵z=1-2i,∴=1+2i,∴z·=1-2i1+2i=5,∴z·+z=5+1-2i=6-2i.答案63.已知3+i-4+3i=z-6+7i,则z=________.解析∵3+i-4+3i=z-6+7i∴z=3+i-4+3i+6+7i=3-4+6+1-3+7i=5+5i.答案5+5i4.北京高考若x+ii=-1+2ix∈R,则x=________. 解析x+ii=-1+xi=-1+2i,由复数相等的定义知x=
2.答案25.已知z1=3+4i,z2=t+i,且z1·2是实数,则实数t=________.解析∵z2=t+i,∴2=t-i,∴z1·2=3+4it-i=3t-3i+4ti-4i2=3t+4+4t-3i,又∵z1·2是实数,∴4t-3=0,即t=.答案
二、解答题6.计算1+;23+2i+-2i;36-3i+3+2i-3-4i--2+i.解1原式=-i=-i;33+2i+-2i=3+2+-2i=3+i;36-3i+3+2i-3-4i--2+i=[6+3-3--2]+[-3+2--4-1]i=8+2i.7.计算14i-6+2+i;21+i.解4i-6+2+i=2i+6i2-3-9i+2+i=-7-6i.21+i=1+i=1+i=+i=-+i.8.江西高考改编是z的共轭复数.若z+=2,z-i=2i为虚数单位,求z.解法一设z=a+bia,b∈R,则=a-bi,∵z+=2a=2,∴a=
1.又z-i=2bi2=-2b=
2.∴b=-
1.故z=1-i.法二∵z-i=2,∴z-==-2i又z+=
2.∴z-+z+=-2i+2,∴2z=-2i+2,∴z=1-i.。