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2019-2020年高中数学苏教版选修4-2教学案2-12-1-1 矩阵的概念1.矩阵在数学中,把形如,,这样的矩形数字或字母阵列称作矩阵,一般地,我们用大写黑体拉丁字母A,B,…或者aij来表示矩阵,其中i,j分别表示元素所在的行和列.同一横排中按原来次序排列的一行数或字母叫做矩阵的行,同一竖排中按原来次序排列的一列数或字母叫做矩阵的列,组成矩阵的每一个数或字母称为矩阵的元素,所有元素都为0的矩阵称为零矩阵,记为
0.2.行矩阵,列矩阵一般地,我们把像[a11 a12]这样只有一行的矩阵称为行矩阵,而把像这样只有一列的矩阵称为列矩阵,并用希腊字母α,β,…来表示.平面上向量α=x,y的坐标和平面上的点Px,y都可以看做是行矩阵[x,y],也可以看做是列矩阵.因此,我们又称[x y]为行向量,称为列向量,在本书中,我们把平面向量x,y的坐标写成的形式.3.矩阵相等对于两个矩阵A,B,只有当A,B的行数与列数分别相等,并且对应位置的元素也分别相等时,A和B才相等,此时记作A=B.用矩阵表示平面图形[例1] 画出矩阵所表示的三角形,并求该三角形的面积.[思路点拨] 写出平面图形顶点的坐标即可.[精解详析] 矩阵所表示的三角形的三个顶点分别为-11,4,-1,31.所求三角形的面积为
4.1.矩阵可以表示点A-11,B4,-1,C31或由它们构成的三角形;2.表示同一个三角形的矩阵不唯一,如本例三角形,可用矩阵等表示;3.空间图形也可以用矩阵表示,不过需注意空间中点的坐标是由3个实数构成的有序数组.1.在平面直角坐标系内,分别画出矩阵,,,所表示的以坐标原点为起点的向量.解矩阵,,,所表示的以坐标原点为起点的向量对应的坐标分别为12,-12,1,-2,0,-2.按要求画出相应向量即可.2.已知A00,B23,C63,D40,写出表示四边形ABCD的一个矩阵.解表示四边形ABCD的矩阵可以为或等.矩阵在实际生活中的应用[例2] 已知甲、乙、丙三人中,甲与乙相识,甲与丙不相识,乙与丙相识.用0表示两人之间不相识,用1表示两人之间相识,请用一个矩阵表示他们之间的相识关系规定每个人和自己相识.[思路点拨] 先列出一个表格表示他们之间的相识关系,然后利用表格再用矩阵表示即可.[精解详析] 将他们之间的相识关系列表如下甲乙丙甲110乙111丙011故用矩阵表示为.用矩阵表示实际问题时,要注意元素的次序,矩阵中元素的次序不一样,表示的实际问题可能就不一样.3.某物流公司负责从两个矿区向三个企业配送煤从甲矿区向企业A,B,C送的煤分别是100万吨、200万吨、150万吨;从乙矿区向企业A,B,C送的煤分别是150万吨、150万吨、300万吨.试用矩阵表示上述数据关系.解列表如下单位万吨企业A企业B企业C甲矿区100200150乙矿区150150300记M=,则矩阵M就是上述数据关系的一个表示.4.两类药片有效成分如下表所示成分药品 阿司匹林mg小苏打mg可待因mgA1片251B1片176试用矩阵表示A、B两种药品每片中三种成分所含的质量.解表示A、B两种药品成分的矩阵为.矩阵相等[例3] 已知矩阵A=,B=,若A=B,试求a,b,c,d的值.[思路点拨] 我们说两个矩阵是相等的,是指两个矩阵的行数和列数相同,并且相应位置的元素也分别相等,本题考查对矩阵相等定义的理解.[精解详析] 因为A=B,即=,由矩阵相等的意义可知由此解得a=2,b=0,c=1,d=
4.两个同行同列的矩阵,只要有一个对应位置上的元素不一样,这两个矩阵就不相等,如≠两个不同行或者不同列的矩阵一定是不相等的,如以零矩阵为例
[00]和,尽管两个矩阵的元素均为0,但两者不相等.这好比,现在有甲、乙两支球队进行足球比赛,前一个零矩阵可表示他们之间进行了一场比赛,比赛结果为0∶0,而后者可表示他们之间进行了两场比赛,两场比赛的结果均为0∶
0.5.已知A=,B=,若A=B,求x与y的值.解∵A=B,∴解得6.已知A=,B=,且A=B,求x,y,m,n的值.解由矩阵相等的充要条件得解得1.设A为二阶矩阵,且规定元素aij=i+ji=12,j=12,试求A.解由题意可知a11=2,a12=3,a21=3,a22=4,∴A=.2.矩阵M=表示平面中三角形ABC的顶点坐标,问三角形是什么三角形?解由A11,B13,C31,画图可得△ABC是等腰直角三角形.3.已知二元一次方程组的系数矩阵为,方程组右边的常数项矩阵为,试写出该方程组.解4.营养配餐中心为学生准备了各种菜肴,每份中能量、脂肪、蛋白质的含量各不相同.“红烧肉”中所含上述三种营养成分分别为649千卡1千卡=4187焦耳、30g、10g;“青椒肉丝”中所含上述三种营养成分分别为258千卡、20g、19g;“韭菜豆芽”中所含上述三种营养成分分别为131千卡、15g、3g,试将上述结果用矩阵表示出来.解每千克各种菜肴中各种营养成分的含量如下表能量千卡脂肪g蛋白质g红烧肉6493010青椒肉丝2582019韭菜豆芽131153所以可用矩阵M表示为M=.5.已知平面上正方形ABCD顺时针的四个顶点可以用矩阵表示为,求a,b,c,d的值及正方形ABCD的面积.解由题意知正方形ABCD的四个顶点的坐标依次为A
00、Ba,c、C
04、Db,d,从而可求得a=-2,b=2,c=d=
2.∴|AB|=2,正方形ABCD的面积为
8.6.已知A=,B=,若A=B,试求x,y,m,n的值.解由于A=B,则和解得x=1,y=2,m=3,n=
4.7.已知A=,B=,若A=B,求α、β.解由矩阵相等的充要条件得∴∴8.设M是一个3×3的矩阵,且规定其元素aij=2i+j,i=1,23,j=123,试求M.解由题意可知,a11=3,a12=4,a13=5,a21=5,a22=6,a23=7,a31=7,a32=8,a33=
9.故矩阵M=.。