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2019-2020年高中数学苏教版选修4-2教学案2-42-4-2 二阶矩阵与二元一次方程组1.把称为二阶行列式,它的运算结果是一个数值,记为detA==ad-bc.2.方程组写成矩阵形式为AZ=B,其中A=,称为系数矩阵,Z=,B=,当A可逆时,方程组有唯一解,当A不可逆时,方程组无解或有无数组解.3.对于方程组,令D=,Dx=,Dy=,当D≠0时,方程组有唯一组解,为x=,y=.4.对于方程组,令D=,当D=0时,此方程组有非零解.5.二阶矩阵A=可逆的充要条件是detA≠0且A-1=.求行列式的值[例1] 求的最大值其中λ∈R.[思路点拨] 利用行列式的运算转化为二次函数求最值.[精解详析] =λ-25λ+8-2λ-23λ+5=-λ2-6λ-6=-λ+32+3≤3,∴的最大值为
3.1矩阵A=与它的行列式detA=的意义是不同的.矩阵A不是一个数,而是4个数按顺序排列成的一个数表,行列式detA是由矩阵A算出来的一个数,不同的矩阵可以有相同的行列式的值.2=ad-bc,它是位于两条对角线上的元素的乘积之差.1.计算下列行列式的值1;2解1=6×-3--5×2=-8;2=cos2θ--sin2θ=
1.2.若=,求x+y的值.解x2+y2=-2xy⇒x+y=
0.利用行列式求可逆矩阵的逆矩阵[例2] 已知A=,B=,判断AB是否可逆,若可逆求出逆矩阵.[思路点拨] 利用矩阵可逆的充要条件求解.[精解详析] AB==.因detAB==-1+9=8≠0,故AB可逆,∴AB-1=.已知矩阵A=,利用行列式求矩阵A的逆矩阵的步骤如下1首先计算detA==ad-bc,当detA≠0时,逆矩阵存在.2利用A-1=,求出逆矩阵A-
1.3.判断下列矩阵是否可逆,若可逆,求出逆矩阵.1;2;
3.解1二阶行列式=-1-1=-2≠0,所以矩阵可逆,逆矩阵为.2二阶行列式=1≠0,所以矩阵可逆,逆矩阵为.3二阶行列式=a,当a=0时,矩阵不可逆,当a≠0时,矩阵可逆,逆矩阵为.4.若矩阵A=存在逆矩阵,求x的取值范围.解据题意detA≠0,即≠
0.∴3x2-54≠
0.∴x≠±
3.故x的取值范围是{x|x∈R且x≠±3}.二元一次方程组的行列式解法及矩阵解法 [例3] 分别利用行列式及逆矩阵解二元一次方程组[思路点拨] 求出相应行列式的值,利用x=,y=求解,或求出方程组对应的逆矩阵,利用逆矩阵法求解.[精解详析] 法一行列式解法D==12-2=10,Dx==4+6=10,Dy==9+1=10,故方程组的解为法二逆矩阵解法已知方程组可以写成矩阵形式=.令M=,则其行列式detM==3×4--1×-2=10≠0,所以矩阵M存在逆矩阵M-1,且M-1==,这样=M-1==.即方程组的解为利用逆矩阵解二元一次方程组的步骤为1将二元一次方程组化成标准形式并写成矩阵形式.2判定系数矩阵是否可逆,即看是否为零.若可逆则二元一次方程组有唯一解,若不可逆,方程组无解或解不唯一.3若可逆,求逆矩阵4利用矩阵乘法求解即计算.5.利用行列式解下列方程组12解1因为D==3×4--3×-1=9≠0,此方程组存在唯一解.又Dx==1×4--3×3=13,Dy==3×3-1×-1=
10.所以x==,y==.故该方程组的解为2先将方程组改写成一般形式因为D==-2≠0,此方程组存在唯一解.又Dx==-6,Dy==4,所以x==3,y==-
2.故该方程组的解为含参的齐次线性方程组解的讨论[例4] m为何值时,二元一次方程组=m有非零解?[思路点拨] 先求出方程组对应行列式,利用行列式值为0时方程组有非零解求解.[精解详析] 二元一次方程组=m,即为=,∴即即=.∴当=0,即-3-m4+m+2=0时,方程组有非零解.∴当m=时,方程有非零解.齐次线性方程组有非零解的充要条件为对应系数成比例,即=,此时,该齐次线性方程组的一组非零解为.6.齐次线性方程组存在非零解吗?如果存在,求出一组非零解.解因D==-4+4=0,所以存在非零解.其中一组非零解为.7.若关于x,y的二元一次方程组有非零解,求m的值.解D==-33-4m,令D=0,则得m=-.1.求下列行列式的值1;
2.解1=3×5--1×2=15+2=
17.2=28--72=28+72=
100.2.已知矩阵不可逆,求函数fx=ax2-7x+4的最小值.解∵矩阵不可逆,∴=ax·-3×1=a-3=0,即a=3,∴fx=3x2-7x+4=3x2-x++4-×3=3x-2-.∴当x=时,函数fx有最小值-.3.已知矩阵A=,X=,B=,解方程AX=B.解因为|A|==1≠0,所以A的逆矩阵存在,且A-1=,所以X=A-1B==.4.已知二元一次方程组AZ=B,其中A是可逆矩阵,B=,试证明该方程组的解只能是.证明因为A是可逆矩阵,则原方程组的解为Z=A-1B=A-1,因为A-1是唯一存在的,所以Z=是原方程组唯一的解.5.分别利用行列式法及逆矩阵法解方程组.解法一方程组可化为,D==4-6=-2,Dx==20-12=8,Dy==6-15=-9,故方程组的解为法二方程组用矩阵表示为=.故==-=6.试写出齐次线性方程组的矩阵形式及该方程组的一组非零解.解齐次线性方程组改写成矩阵形式为=,∵=2×6-3×4=0,∴此齐次线性方程组有非零解如就是它的一组非零解.7.当λ为何值时,二元一次方程组=λ有非零解?解由题意知二元一次方程组为即D==2-λ3-λ-2=λ2-5λ+4,当D=0即λ=1或4时,二元一次方程组=λ有非零解.8.如果建立如下字母与数字的对应关系 a b c … y z↔↔↔…↔↔123 …2526并且发送方按可逆矩阵A=进行加密.1若要发出信息workhard,试写出所要发送的密码;2将密码933660211596011043恢复成原来的信息.解1若要发出信息workhard,则其编码为
2315181181184.把上述编码按顺序分成四组并写成列向量,,,,计算它们在矩阵A对应的变换下的象,可得A==,A==,A==,A==,于是,得到所要发送的密码为
1606112347431710240.2因为detA==5×1-2×3=-1,所以A的逆矩阵A-1=.把接受到的密码按顺序分成四组并写成列向量,计算它们在矩阵A-1对应的变换作用下的象,可得A-1==,A-1==,A-1==,A-1==.于是密码恢复成编码1563152118195,再根据已知的对应关系,即得到原来的信息ofcourse.。