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2019-2020年高中数学选修1-1教案2-3-1抛物线及其标准方程课题
2.
4.1抛物线及其标准方程教学目标知识与技能1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.会求简单的抛物线的方程.过程与方法通过观察抛物线的形成过程,得出抛物线定义,建系得出抛物线标准方程.通过抛物线及其标准方程的应用,体会抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.情感态度价值观通过自己亲自动手尝试画图,发现抛物线的形成过程进而归纳出抛物线的定义,培养观察、辨析、归纳问题的能力.重点抛物线及其标准方程难点抛物线及其标准方程教学计教学内容教学环节与活动设计探究点一 抛物线定义问题1 画出的曲线是什么形状?答案 抛物线.问题2 |DA|是点D到直线EF的距离吗?为什么?答案 是.AB是直角三角形的一条直角边.问题3 点D在移动过程中,满足什么条件?答案 |DA|=|DC|.结论平面内与一个定点F和一条定直线ll不经过点F距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.问题4 在抛物线定义中,条件“l不经过点F”去掉是否可以?答案 在抛物线的定义中,定点F不能在直线l上,否则,动点M的轨迹就不是抛物线,而是过点F垂直于直线l的一条直线.如到点F10与到直线l x+y-1=0的距离相等的点的轨迹方程为x-y-1=0,轨迹为过点F且与直线l垂直的一条直线例1 方程=|x-y+3|表示的曲线是D A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线教师引导,学生思考教师活动请同学们观察它是什么曲线?学生活动抛物线教师活动在这一过程中,动点d点都满足什么条件?(拖着三角板移动)学生活动思考作答教师活动根据刚才的作图过程我们来归纳一下抛物线的定义学生活动学生自己归纳教学内容教学环节与活动设计探究点二 抛物线的标准方程问题1 结合求曲线方程的步骤,怎样求抛物线的标准方程?答案 1建系建立直角坐标系如图所示,设|KF|=pp0,那么焦点F的坐标为p2,0,准线l的方程为x=-p
2.2设点设抛物线上的任一点Mx,y.3列式由|MF|=|MH|得x-p22+y2=x+p
2.4化简得y2=2pxp0
①就是抛物线的标准方程问题2 抛物线方程中p有何意义?标准方程有几种类型?答案 p是抛物线的焦点到准线的距离.抛物线的标准方程有四种类型
①焦点在x轴的正半轴上,其标准方程为y2=2pxp0;
②焦点在x轴的负半轴上,其标准方程为y2=-2pxp0;
③焦点在y轴的正半轴上,其标准方程为x2=2pyp0;
④焦点在y轴的负半轴上,其标准方程为x2=-2pyp0.例2 已知抛物线的方程如下,求其焦点坐标和准线方程.1y2=-6x;23x2+5y=0;3y=4x2;4y2=a2xa≠0.小结 如果已知抛物线的标准方程,求它的焦点坐标、准线方程时,首先要判断抛物线的对称轴和开口方向.一次项的变量若为x或y,则x轴或y轴是抛物线的对称轴,一次项系数的符号决定开口方向.教师活动要求轨迹方程就要设点的坐标,点的坐标是在坐标系的前提下才成立的,如何来建立坐标系呢?学生活动思考教师活动因此,建系是关键,类比椭圆与双曲线的建系的方法,可以看出我们要让尽可能多的点落在坐标轴上,尽可能多的应用到对称关系教师活动提出问题设焦点到准线的距离为p(p0)你认为应该如何选择坐标系求抛物线的方程,才能使所得的方程形式比较简单呢?学生活动分组讨论,最后由每个小组推荐一人发言小结 如果事件A与事件B互斥,则PA∪B=PA+PB.学设计教学内容教学环节与活动设计探究点三 抛物线定义的应用例4 已知点A32,点M到F的距离比它到y轴的距离大.1求点M的轨迹方程;2是否存在M,使|MA|+|MF|取得最小值?若存在,求此时点M的坐标;若不存在,请说明理由.小结 1抛物线定义具有判定和性质的双重作用.本题利用抛物线的定义求出点的轨迹方程,又利用抛物线的定义,“化曲折为平直”,将两点间的距离的和转化为点到直线的距离求得最小值,这是平面几何性质的典型运用.2通过利用抛物线的定义,将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离进行转化,从而简化问题的求解过程.在解决抛物线问题时,一定要善于利用其定义解题.跟踪训练4 1抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是B A.B.C.D.02已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点02的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值是 A A.B.3C.D.【小结】1.坐标系建立的不同,同一曲线的方程也不相同.2.一般地,求哪个点的轨迹方程,就设哪个点的坐标是x,y,而不要设成x1,y1或x′,y′等.3.方程化简到什么程度,课本上没有给出明确的规定,一般指将方程fx,y=0化成x,y的整式.如果化简过程破坏了同解性,就需要剔除不属于轨迹上的点,找回属于轨迹而遗漏的点.求轨迹时需要说明所表示的是什么曲线,求轨迹方程则不必说明.4.“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念求轨迹方程只要求出方程即可;而求轨迹则应先求出轨迹方程,再说明轨迹的形状.教师活动通过刚才分析得到的一些结论,我们来试试下面的题目注意一定要先把抛物线化为标准形式后再确定焦点、开口及准线教师活动通过本节课的学习,我们来回忆一下,学到了些什么?学生活动抛物线的定义,标准方程(可由几个学生补充)教师活动类比前面学习椭圆和双曲线,我们知道,学了定义了方程之后,我们就要进一步学习他的几何性质了,大家可以课后去先思考一下教学小结【小结】1.抛物线的定义中不要忽略条件点F不在直线l上.2.确定抛物线的标准方程,从形式上看,只需求一个参数p,但由于标准方程有四种类型,因此,还应确定开口方向,当开口方向不确定时,应进行分类讨论.有时也可设标准方程的统一形式,避免讨论,如焦点在x轴上的抛物线标准方程可设为y2=2mxm≠0,焦点在y轴上的抛物线标准方程可设为x2=2mym≠0.课后反思通过观察抛物线的形成过程,得出抛物线定义,建系得出抛物线标准方程.通过抛物线及其标准方程的应用,体会抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.学生对于抛物线定义,建系得出抛物线标准方程基本掌握对于灵活应用还需练习。