文本内容:
2019-2020年高中数学选修1-22-2-2反证法教案教学目标
1、知识与技能结合已经学过的数学实例,了解间接证明的一种基本方法──反证法;了解 反证法的思考过程、特点
2、过程与方法:培养学生的辨析能力和分析问题、解决问题的能力;
3、情感、态度与价值观通过学生的参与,激发学生学习数学的兴趣教学重点会用反证法证明问题;了解反证法的思考过程.教学难点:根据问题的特点,选择适当的证明方法.教学过程
一、复习准备
1.讨论三枚正面朝上的硬币,每次翻转2枚,你能使三枚反面都朝上吗?(原因偶次)
2.提出问题平面几何中,我们知道这样一个命题“过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆”.讨论如何证明这个命题?
3.给出证法先假设可以作一个⊙O过A、B、C三点,则O在AB的中垂线l上,O又在BC的中垂线m上,即O是l与m的交点但∵A、B、C共线,∴l∥m矛盾∴过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆.
二、讲授新课
1.教学反证法概念及步骤
①练习仿照以上方法,证明如果ab0,那么错误!未找到引用源
②提出反证法一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立.证明基本步骤假设原命题的结论不成立→从假设出发,经推理论证得到矛盾→矛盾的原因是假设不成立,从而原命题的结论成立应用关键在正确的推理下得出矛盾(与已知条件矛盾,或与假设矛盾,或与定义、公理、定理、事实矛盾等).方法实质反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的,即由一个命题与其逆否命题同真假,通过证明一个命题的逆否命题的正确,从而肯定原命题真实.注结合准备题分析以上知识.
2.教学例题
①出示例1求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.分析如何否定结论?→如何从假设出发进行推理?→得到怎样的矛盾?与教材不同的证法反设AB、CD被P平分,∵P不是圆心,连结OP,则由垂径定理OPAB,OPCD,则过P有两条直线与OP垂直(矛盾),∴不被P平分.
②出示例2求证错误!未找到引用源是无理数.(同上分析→板演证明,提示有理数可表示为错误!未找到引用源)证假设错误!未找到引用源是有理数,则不妨设错误!未找到引用源(mn为互质正整数),从而错误!未找到引用源,错误!未找到引用源,可见m是3的倍数.设m=3p(p是正整数),则错误!未找到引用源,可见n也是3的倍数.这样,mn就不是互质的正整数(矛盾).∴错误!未找到引用源不可能,∴错误!未找到引用源是无理数.
③练习如果错误!未找到引用源为无理数,求证错误!未找到引用源是无理数.提示假设错误!未找到引用源为有理数,则错误!未找到引用源可表示为错误!未找到引用源(错误!未找到引用源为整数),即错误!未找到引用源.由错误!未找到引用源,则错误!未找到引用源也是有理数,这与已知矛盾.∴错误!未找到引用源是无理数.
3.小结反证法是从否定结论入手,经过一系列的逻辑推理,导出矛盾,从而说明原结论正确.注意证明步骤和适应范围(“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的问题)
三、巩固练习练习教材P
431、2题
四、作业教材P44A组3题。