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2019-2020年高中数学选修1-22-2-2间接证明-反证法教案课题
2.
2.2间接证明--反证法课型新授课教学目标知识与技能结合已经学过的数学实例,了解间接证明的一种基本方法──反证法;了解反证法的思考过程、特点过程与方法:多让学生举命题的例子,培养他们的辨析能力;以及培养他们的分析问题和解决问题的能力;情感、态度与价值观通过学生的参与,激发学生学习数学的兴趣重点难点教学重点了解反证法的思考过程、特点教学难点反证法的思考过程、特点教具准备多媒体课时安排1教学过程与教学内容教学方法、教学手段与学法、学情教学过程
1、反证法 反证法是一种间接证法,它是先提出一个与命题的结论相反的假设,然后,从这个假设出发,经过正确的推理,导致矛盾,从而否定相反的假设,达到肯定原命题正确的一种方法反证法可以分为归谬反证法结论的反面只有一种与穷举反证法结论的反面不只一种用反证法证明一个命题的步骤,大体上分为1反设;2归谬;3结论 反设是反证法的基础,为了正确地作出反设,掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的,例如是/不是;存在/不存在;平行于/不平行于;垂直于/不垂直于;等于/不等于;大小于/不大小于;都是/不都是;至少有一个/一个也没有;至少有n个/至多有n一1个;至多有一个/至少有两个;唯一/至少有两个归谬是反证法的关键,导出矛盾的过程没有固定的模式,但必须从反设出发,否则推导将成为无源之水,无本之木推理必须严谨导出的矛盾有如下几种类型与已知条件矛盾;与已知的公理、定义、定理、公式矛盾;与反设矛盾;自相矛盾
2、例子例
1、求证不是有理数例
2、已知,求证(且)例
3、设,求证证明假设,则有,从而因为,所以,这与题设条件矛盾,所以,原不等式成立例
4、设二次函数,求证中至少有一个不小于.证明假设都小于,则
(1)另一方面,由绝对值不等式的性质,有
(2)
(1)、
(2)两式的结果矛盾,所以假设不成立,原来的结论正确注意诸如本例中的问题,当要证明几个代数式中,至少有一个满足某个不等式时,通常采用反证法进行议一议一般来说,利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果,通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式,以及与临时假定矛盾等各种情况试根据上述两例,讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点?例
5、设0abc1,求证1ab1bc1ca不可能同时大于证设1ab1bc1ca则三式相乘ab1ab•1bc•1ca
①又∵0abc1∴同理以上三式相乘1aa•1bb•1cc≤与
①矛盾∴原式成立例
6、已知a+b+c0,ab+bc+ca0,abc0,求证abc0证设a0∵abc0∴bc0又由a+b+c0则b+c=a0∴ab+bc+ca=ab+c+bc0与题设矛盾又若a=0,则与abc0矛盾,∴必有a0同理可证b0c0巩固练习第91页练习12课后作业第91页4利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果,通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式,以及与临时假定矛盾等各种情况板书教学反思。