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2019-2020年高中数学选修2-21-4生活中的优化问题举例(第1课时)教案课题
1.4生活中的优化问题举例(第1课时)课型新授课教学目标使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作用;
2.提高将实际问题转化为数学问题的能力重点难点教学重点利用导数解决生活中的一些优化问题.教学难点利用导数解决生活中的一些优化问题.教具准备多媒体课时安排1教学过程与教学内容教学方法、教学手段与学法、学情教学过程一.创设情景生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题.通过前面的学习,我们知道,导数是求函数最大(小)值的有力工具.这一节,我们利用导数,解决一些生活中的优化问题.二.新课讲授导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题,主要有以下几个方面
1、与几何有关的最值问题;
2、与物理学有关的最值问题;
3、与利润及其成本有关的最值问题;
4、效率最值问题解决优化问题的方法首先是需要分析问题中各个变量之间的关系,建立适当的函数关系,并确定函数的定义域,通过创造在闭区间内求函数取值的情境,即核心问题是建立适当的函数关系再通过研究相应函数的性质,提出优化方案,使问题得以解决,在这个过程中,导数是一个有力的工具.利用导数解决优化问题的基本思路三.典例分析例1.海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动,通常需要张贴海报进行宣传现让你设计一张如图
1.4-1所示的竖向张贴的海报,要求版心面积为128dm2上、下两边各空2dm左、右两边各空1dm如何设计海报的尺寸,才能使四周空心面积最小?解设版心的高为xdm,则版心的宽为dm此时四周空白面积为求导数,得令,解得舍去)于是宽为当时,0;当时,
0.因此,是函数的极小值,也是最小值点所以,当版心高为16dm,宽为8dm时,能使四周空白面积最小答当版心高为16dm,宽为8dm时,海报四周空白面积最小例2.饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
(1)你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些?
(2)是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大?【背景知识】某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是分,其中是瓶子的半径,单位是厘米已知每出售1mL的饮料,制造商可获利
0.2分且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm问题(1)瓶子的半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大? (2)瓶子的半径多大时,每瓶的利润最小?解由于瓶子的半径为,所以每瓶饮料的利润是令解得(舍去)当时,;当时,.当半径时,它表示单调递增,即半径越大,利润越高;当半径时,它表示单调递减,即半径越大,利润越低.
(1)半径为cm时,利润最小,这时,表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本,此时利润是负值.
(2)半径为cm时,利润最大.换一个角度如果我们不用导数工具,直接从函数的图像上观察,会有什么发现?有图像知当时,,即瓶子的半径为3cm时,饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等;当时,利润才为正值.当时,,为减函数,其实际意义为瓶子的半径小于2cm时,瓶子的半径越大,利润越小,半径为cm时,利润最小.例3.磁盘的最大存储量问题计算机把数据存储在磁盘上磁盘是带有磁性介质的圆盘,并有操作系统将其格式化成磁道和扇区磁道是指不同半径所构成的同心轨道,扇区是指被同心角分割所成的扇形区域磁道上的定长弧段可作为基本存储单元,根据其磁化与否可分别记录数据0或1,这个基本单元通常被称为比特(bit)为了保障磁盘的分辨率,磁道之间的宽度必需大于,每比特所占用的磁道长度不得小于为了数据检索便利,磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数问题现有一张半径为的磁盘,它的存储区是半径介于与之间的环形区域.是不是越小,磁盘的存储量越大?为多少时,磁盘具有最大存储量(最外面的磁道不存储任何信息)?解由题意知存储量=磁道数×每磁道的比特数设存储区的半径介于与R之间,由于磁道之间的宽度必需大于,且最外面的磁道不存储任何信息,故磁道数最多可达由于每条磁道上的比特数相同,为获得最大存储量,最内一条磁道必须装满,即每条磁道上的比特数可达所以,磁盘总存储量×
(1)它是一个关于的二次函数,从函数解析式上可以判断,不是越小,磁盘的存储量越大.
(2)为求的最大值,计算.令,解得当时,;当时,.因此时,磁盘具有最大存储量此时最大存储量为四.课堂练习练习一书店预计一年内要销售某种书15万册,欲分几次订货,如果每次订货要付手续费30元,每千册书存放一年要耗库费40元,并假设该书均匀投放市场,问此书店分几次进货、每次进多少册,可使所付的手续费与库存费之和最少?【解】假设每次进书x千册,手续费与库存费之和为y元,由于该书均匀投放市场,则平均库存量为批量之半,即,故有y=×30+×40,y′=-+20,令y′=0,得x=15,且y″=,f″15>0,所以当x=15时,y取得极小值,且极小值唯一,故当x=15时,y取得最小值,此时进货次数为=10(次).即该书店分10次进货,每次进15000册书,所付手续费与库存费之和最少.五.回顾总结1.利用导数解决优化问题的基本思路2.解决优化问题的方法通过搜集大量的统计数据,建立与其相应的数学模型,再通过研究相应函数的性质,提出优化方案,使问题得到解决.在这个过程中,导数往往是一个有利的工具六.布置作业板书教学反思建立数学模型解决数学模型作答用函数表示的数学问题优化问题用导数解决数学问题优化问题的答案建立数学模型解决数学模型作答用函数表示的数学问题优化问题用导数解决数学问题优化问题的答案。