2019-2020年高中数学（北师大版）选修1-1教案：第2章知识点拨：椭圆的简单性质

2019-2020年高中数学（北师大版）选修1-1教案第2章知识点拨椭圆的简单性质　　一．基础知识精讲　　

1.椭圆+=1a＞b＞0，范围椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形里，即｜x｜≤a，｜y｜≤b.　　

2.对称性椭圆关于x轴，y轴和原点都是对称的.坐标轴为椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，即为椭圆的中心.　　

3.顶点椭园与坐标轴的交点为椭圆的顶点为A1-a0，A2a0，B10，bB20-b　　

4.离心率e=o＜e＜1e越接近于1，则椭圆越扁；e越接近于0，椭圆就越接近于圆.　　

5.椭圆的第二定义平面内的点到定点的距离和它到定直线的距离的比为常数e0＜e＜1的点的轨迹.定点即为椭圆的焦点，定直线为椭圆的准线.　　

6.椭圆的焦半径公式设Px0y0是椭圆+=1a＞b＞0上的任意一点，F

1、F2分别是椭圆的左、右焦点，则｜PF1｜=a+ex0｜PF2｜=a-ex

0.　　

7.椭圆的参数方程　　二．命题趋势分析　　

1.熟练掌握椭圆的第二定义，两种形式的标准方程及几何性质，运用它们及参数间的关系解决相关问题.　　

2.必要时，椭圆方程可设为mx2+ny2=1m＞0，n＞0，这样计算简洁，还可避免对焦点位置的讨论.　　

3.遇到弦的中点问题时，常用点差法.　　三．重点难点例析　　通过“圆的方程”的学习我们知道，圆的几何性质问题用代数的方法解题简便，计算量小的特点，同样，椭圆也有类似的几何性质，那么在学习本节之前要复习椭圆的定义及标准方程，在此基础上来学习椭圆的几何性质，掌握椭圆的性质，标准方程，及椭圆的第二定义.　　例1P是椭圆方程为+=1上的任意一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，试求｜PF1｜·｜PF2｜的取值范围.　　解析设｜PF1｜=t则t∈［a-ca+c］，即t∈［4-，4+］且｜PF2｜=2a-t=8-t.　　∴｜PF1｜·｜PF2｜=t8-t=-t-42+16t∈［4-，4+］　　当t=4时，取最大值为16，　　当t=4±时，取最小值为

9.　　∴所求范围为［9，16］　　例2　F

1、F2是椭圆的两个焦点，过F2作一条直线交椭圆于P、Q两点，使PF1⊥PQ，且｜PF1｜=｜PQ｜，求椭圆的离心率e.　　解析如下图，设｜PF1｜=t，则｜PQ｜=t，｜F1Q｜=t，由椭圆定义有　　｜PF1｜+｜PF2｜=｜QF1｜+｜QF2｜=2a，　　∴｜PF1｜+｜PQ｜+｜F1Q｜=4a即+2t=4at=4-2a，　　∴｜PF2｜=2a-t=2-2a，　　在Rt△PF1F2中，｜F1F1｜2=2c2，　　∴［4-2a］2+［2-2a］2=2c2　　∴=9-6∴e==-，　　例3已知P是椭圆+=1a＞b＞0上的一点，F1F2为两焦点，且F1P⊥F2P，若P到两准线的距离分别为6和12，求此椭圆方程.　　解析利用椭圆第二定义求解　　∵点P到两准线的距离分别是6和12　　∴2·=6+12即a2=9c　　由椭圆第二定义知，e==　　∵d1=6d2=12∴｜PF1｜=6e｜PF2｜=12e　　又∵PF1⊥PF2∴｜PF1｜2+｜PF2｜2=｜F1F2｜2　　∴36e2+144e2=4c2∵e=∴a2=45　　又a2=9c∴c=5∴b2=a2-c2=20，　　∴所求椭圆的方程的+=1　　例4在椭圆3x2+4y2=12上，是否存在相异的两点A、B关于直线y=4x+m对称并说明理由.　　解析设Ax1y1Bx2y2AB的中点Mx0y0，　　直线AB y=-x+t将AB的方程代入椭圆的方程消去y得，13x2-8tx+16t2-48=0　　∴△=-8t2-4×13×16t2-48＞0，　　∴-＜t＜　　

①且x1+x2=t　　又AB的中点M在直线y=4x+m上，　　∴t=4×t+m∴t=-m　　代入

①式得-＜m＜　　解法二设Ax1y1Bx2y2是椭圆上关于直线l:y=4x+m对称的两点，则　　+=1　　

①+=1　　

②　　

①-

②得+=0　　∴=　　而KAB==-，　　故有=-，　　设AB的中点为xy，则有x1+x2=2xy1+y2=2y，　　代入即得AB中点的轨迹方程为y=3x.　　由　　由于AB的中点在椭圆内部　　∴+＜1m2＜，　　-＜m＜　　故当m∈-，时，椭圆C上有不同的两点关于直线对称.　　例5椭圆=1上不同三点Ax1y1B4Cx2y2与焦点F4，0的距离成等差数列.　　1求证x1+x2=8　　2若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T，求直线BT的斜率k.　　解析由题知a=5b=3c=

4.　　1由椭圆的第二定义知　　=｜AF｜=a-x1=5-x1　　同理有｜CF｜=5-x2　　∵｜AF｜+｜CF｜=2｜BF｜且｜BF｜=　　∴5-x1+5-x2=　　即x1+x2=8　　2∵线段AC的中点为4，，　　∴它的垂直平分线方程为y-=x-4，　　又点T在x轴上，设其坐标为x00，代入上式得，x0-4=　　

①　　点Ax1y1Bx2y2都在椭圆上　　∴y21=25-x21y22=25-x22，　　∴y21-y22=-x1+x2x1-x2，　　将此式代入

①并利用x1+x2=8得　　x0-4=-　　∴kBT==。