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2019-2020年高考数学
8.4直线与圆、圆与圆的位置关系练习25分钟 50分
一、选择题每小题5分共35分
1.直线y=kx+2与圆x2+y2=1没有公共点的充要条件是 A.k∈-B.k∈-∞-∪+∞C.k∈-D.k∈-∞-∪+∞【解题提示】直线与圆没有公共点等价于直线与圆相离.【解析】选C.由直线y=kx+2与圆x2+y2=1没有公共点可知圆心00到直线y=kx+2的距离大于圆的半径即由此解得-k因此直线y=kx+2与圆x2+y2=1没有公共点的充要条件是k∈-.
2.xx·合肥模拟已知圆C:x-12+y2=1与直线l:x-2y+1=0相交于AB两点则|AB|= A.B.C.D.【解析】选A.圆C:x-12+y2=1的圆心为C10半径为1因为C10到直线l:x-2y+1=0的距离为所以|AB|=故选A.
3.两个圆C1:x2+y2+2ax+a2-4=0a∈R与C2:x2+y2-2by-1+b2=0b∈R恰有三条公切线则a+b的最小值为 A.-6B.-3C.-3D.3【解题提示】两圆有三条公切线等价于两圆外离.【解析】选C.圆C1:x+a2+y2=4C2:x2+y-b2=1所以圆C1的圆心C1-a0半径r1=2圆C2的圆心C20b半径r2=
1.已知两圆恰有三条公切线则两圆相外切圆心距等于两圆半径之和所以=3则|a+b|==3所以-3≤a+b≤3故a+b的最小值为-
3.【加固训练】两圆x2+y2=m与x2+y2+6x-8y-11=0有公共点则实数m的取值范围是 A.m1B.1≤m≤121C.m121D.1m121【解析】选B.若两圆有公共点则两圆的位置关系为相切或相交将m=1代入验证符合题意.
4.xx·威海模拟若直线y=kx与圆x-22+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称则kb的值分别为 A.k=b=-4B.k=-b=4C.k=b=4D.k=-b=-4【解析】选A.因为直线y=kx与圆x-22+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称所以y=kx与直线2x+y+b=0垂直且2x+y+b=0过圆心解得k=b=-
4.【加固训练】若直线ax+2by-2=0a0b0始终平分圆x2+y2-4x-2y-8=0的周长则的最小值为 A.1B.5C.4D.3+2【解析】由题意知圆心C21在直线ax+2by-2=0上所以2a+2b-2=0整理得a+b=1所以=a+b当且仅当即b=2-a=-1时等号成立.所以的最小值为3+2故选D.
5.xx·郑州模拟若直线y=x+t被圆x2+y2=8截得的弦长大于等于则t的取值范围是 A.-B.-∞C.[+∞D.[-]【解析】选D.由题意知圆心到直线y=x+t的距离d=设弦长为l则2+d2=8可解得l2=32-2t2≥解得-≤t≤.
6.xx·舟山模拟已知圆C:x+12+y-12=1与x轴切于A点与y轴切于B点设劣弧的中点为M则过点M的圆C的切线方程是 A.y=x+2-B.y=x+1-C.y=x-2+D.y=x+1-【解析】选A.由题意M为直线y=-x与圆的一个交点代入圆的方程可得:x+12+-x-12=
1.因为劣弧的中点为M所以x=-1所以y=1-因为过点M的圆C的切线的斜率为1所以过点M的圆C的切线方程是y-1+=x-+1即y=x+2-.
7.xx·烟台模拟如果函数y=|x|-2的图象与曲线C:x2+y2=λ恰好有两个不同的公共点则实数λ的取值范围是 A.{2}∪4+∞B.2+∞C.{24}D.4+∞【解析】选A.根据题意画出函数y=|x|-2与曲线C:x2+y2=λ的图象如图所示当AB与圆O相切时两函数图象恰好有两个不同的公共点过O作OC⊥AB因为OA=OB=2∠AOB=90°所以根据勾股定理得:AB=2所以OC=AB=此时λ=OC2=2;当圆O半径大于2即λ4时两函数图象恰好有两个不同的公共点综上实数λ的取值范围是{2}∪4+∞.
二、填空题每小题5分共15分
8.xx·南宁模拟直线y=kx+3与圆x-22+y-32=4相交于MN两点若|MN|≥2则k的取值范围是 .【解析】如图若|MN|=2则由圆与直线的位置关系可知圆心到直线的距离满足d2=22-2=
1.因为直线方程为y=kx+3所以d==1解得k=±.若|MN|≥2则-≤k≤.答案:[-]
9.xx·南充模拟已知直线x-y+m=0与圆x2+y2=4交于不同的两点ABO是坐标原点若圆周上存在一点C使得△ABC为等边三角形则实数m的值为 .【解析】根据题意画出图形连接OAOB作OD垂直于AB于D点因为△ABC为等边三角形所以∠AOB=120°由余弦定理知:AB2=OA2+OB2-2OA·OBcos120°=12所以AB=2故BD=所以OD=1所以O00到直线AB的距离=1解得m=±.答案:±
10.在平面直角坐标系xOy中已知圆O:x2+y2=4直线l:12x-5y+c=0其中c为常数下列有关直线l与圆O的命题:
①当c=0时圆O上有四个不同的点到直线l的距离为1;
②若圆O上有四个不同的点到直线l的距离为1则-13c13;
③若圆O上恰有三个不同的点到直线l的距离为1则c=13;
④若圆O上恰有两个不同的点到直线l的距离为1则13c39;
⑤当c=±39时圆O上只有一个点到直线l的距离为
1.其中正确命题是 .填上你认为正确的所有命题序号【解析】圆心O到直线l的距离为当1即-13c13时圆O上有四个不同的点到直线l的距离为1;当c=±13时圆O上恰有三个不同的点到直线l的距离为1;当13即13c39或-39c-13时圆O上恰有两个不同的点到直线l的距离为1;当c=±39时圆O上只有一个点到直线l的距离为
1.故
①②⑤正确.答案:
①②⑤20分钟 40分
1.5分xx·西城模拟过点P42作圆x2+y2=4的两条切线切点分别为ABO为坐标原点则△OAB的外接圆方程是 A.x-22+y-12=5 B.x-42+y-22=20C.x+22+y+12=5D.x+42+y+22=20【解析】选A.由圆x2+y2=4得到圆心O坐标为00所以△OAB的外接圆为四边形OAPB的外接圆又P42所以外接圆的直径为|OP|=半径为外接圆的圆心为线段OP的中点是21所以△OAB的外接圆方程是x-22+y-12=
5.
2.5分xx·济南模拟已知直线x+y+m=0与圆x2+y2=2交于不同的两点ABO是坐标原点|+|≥||那么实数m的取值范围是 .【解析】因为|+|≥||所以|+|≥|-|所以|+|2≥|-|2化简得·≥0所以夹角θ满足0°θ≤90°所以圆心到直线的距离d=∈[1其中θ=90°时d=1解得m∈-2-]∪[
2.答案:-2-]∪[
23.5分xx·湖北高考已知圆O:x2+y2=1和点A-20若定点Bb0b≠-2和常数λ满足:对圆O上任意一点M都有|MB|=λ|MA|则1b= .2λ= .【解析】设Mxy因为|MB|=λ|MA|所以x-b2+y2=λ2[x+22+y2]整理得λ2-1x2+λ2-1y2+4λ2+2bx-b2+4λ2=0因为圆O上的点M都有|MB|=λ|MA|成立所以答案:1-
24.12分已知圆C:x2+y2-6x-4y+4=0直线l1被圆所截得的弦的中点为P
53.1求直线l1的方程.2若直线l2:x+y+b=0与圆C相交求b的取值范围.3是否存在常数b使得直线l2被圆C所截得的弦的中点落在直线l1上若存在求出b的值;若不存在说明理由.【解析】1圆C的方程化标准方程为:x-32+y-22=9于是圆心C32半径r=
3.若设直线l1的斜率为k则:k==-
2.所以直线l1的方程为:y-3=-2x-5即2x+y-13=
0.2因为圆的半径r=3所以要使直线l2与圆C相交则须有:3所以|b+5|3于是b的取值范围是:-3-5b3-
5.3设直线l2被圆C截得的弦的中点为Mx0y0则直线l2与CM垂直于是有:=1整理可得:x0-y0-1=
0.又因为点Mx0y0在直线l2上所以x0+y0+b=
0.所以由解得:代入直线l1的方程得:1-b--13=0于是b=-∈-3-53-5故存在满足条件的常数b.
5.13分能力挑战题在平面直角坐标系xOy中已知圆C1:x+32+y-12=4和圆C2:x-42+y-52=
4.1若直线l过点A40且被圆C1截得的弦长为2求直线l的方程.2设P为平面上的点满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2它们分别与圆C1和C2相交且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等试求所有满足条件的点P的坐标.【解析】1由于直线x=4与圆C1不相交所以直线l的斜率存在.设直线l的方程为y=kx-4圆C1的圆心到直线l的距离为d因为直线l被圆C1截得的弦长为2所以d==
1.由点到直线的距离公式得d=从而k24k+7=0即k=0或k=所以直线l的方程为y=0或7x+24y-28=
0.2设点Pab满足条件不妨设直线l1的方程为y-b=kx-ak≠0则直线l2的方程为y-b=-x-a.因为圆C1和C2的半径相等且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等所以圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等即整理得|1+3k+ak-b|=|5k+4-a-bk|从而1+3k+ak-b=5k+4-a-bk或1+3k+ak-b=-5k-4+a+bk即a+b-2·k=b-a+3或a-b+8k=a+b-5因为k的取值有无穷多个所以这样点P只可能是点P1-或点P2(-)经检验点P1和P2满足题目条件.。