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2019-2020年高考数学一轮复习12-3推理与证明、算法初步、复数课时作业理(含解析)
一、填空题1.已知fn=+++…+,给出以下说法
①fn中共有n项,当n=2时,f2=+;
②fn中共有n+1项,当n=2时,f2=++;
③fn中共有n2-n项,当n=2时,f2=+;
④fn中共有n2-n+1项,当n=2时,f2=++.则上述说法正确的序号是________.答案
④2.数列{an}中,已知a1=1,当n≥2时,an-an-1=2n-1,依次计算a2,a3,a4后,猜想an的表达式是________.解析 计算出a1=1,a2=4,a3=9,a4=
16.可猜an=n
2.答案 an=n23.用数学归纳法证明不等式++…+n2的过程中,由n=k到n=k+1时,不等式的左边________填序号.
①增加了一项;
②增加了两项,;
③增加了两项,,又减少了一项;
④增加了一项,又减少了一项.解析 当n=k时,左边=++…+,n=k+1时,左边=++…+++.答案
③4.在数列{an}中,a1=,且Sn=n2n-1an,通过求a2,a3,a4,猜想an的表达式为________.解析 当n=2时,+a2=2×3a2,∴a2=.当n=3时,++a3=3×5a3,∴a3=.故猜想an=.答案 an=5.某个命题与正整数有关,如果当n=kk∈N*时该命题成立,那么可以推出n=k+1时该命题也成立.给出以下说法
①n=4时该命题成立;
②n=4时该命题不成立;
③n≥5,n∈N*时该命题都成立;
④可能n取某个大于5的整数时该命题不成立.现已知n=5时该命题成立,那么上述说法正确的序号是________.解析 显然
①,
②错误,由数学归纳法原理知
③正确,
④错.答案
③6.用数学归纳法证明“1+++…+nn∈N*,n1”时,由n=kk1不等式成立,推理n=k+1时,左边应增加的项数是________.解析 当n=k时,要证的式子为1+++…+k;当n=k+1时,要证的式子为1+++…++++…+k+
1.左边增加了2k项.答案 2k7.用数学归纳法证明“n3+n+13+n+23n∈N*能被9整除”,利用归纳法假设证明n=k+1时,只需展开________填“k+
33、k+
23、k+
13、k+13+k+23”中的其中一个.解析 假设n=k时,原式k3+k+13+k+23能被9整除,当n=k+1时,k+13+k+23+k+33为了能用上面的归纳假设,只须将k+33展开,让其出现k3即可.答案 k+338.xx·九江模拟已知fn=1+++…+n∈N*,经计算得f42,f8,f163,f32,则其一般结论为________.解析 因为f22,f23,f24,f25,所以当n≥2时,有f2n.故填f2nn≥2,n∈N*.答案 f2nn≥2,n∈N*
二、解答题9.xx·陕西卷改编设函数fx=ln1+x,gx=xf′x,x≥0,其中f′x是fx的导函数.令g1x=gx,gn+1x=ggnx,n∈N+,求gnx的表达式.解 由题设得,gx=x≥0.由已知得,g1x=,g2x=gg1x==,g3x=,…,可得gnx=.下面用数学归纳法证明.
①当n=1时,g1x=,结论成立.
②假设n=kk≥2且k∈N*时结论成立,即gkx=.那么,当n=k+1时,gk+1x=ggkx===,即结论成立.由
①②可知,结论对n∈N+成立.10.xx·徐州模拟已知数列{an}的各项均为正整数,且a1=1,a2=4,an=,n≥2,n∈N*1求a3,a4的值;2求证对一切正整数n2anan+1+1是完全平方数.1解 由a2=得a3=15,由a3=得a4=
56.2证明 2a1a2+1=9=a2-a12,2a2a3+1=121=a3-a22,2a3a4+1=1681=a4-a32,猜想2anan+1+1=an+1-an
2.下面用数学归纳法证明.
①当n=12时,已证;
②假设当n=kk≥2,k∈N*时,2akak+1+1=ak+1-ak2成立,那么,当n=k+1时,由ak+1=知,a-1=akak+2,即ak+2=,又由2akak+1+1=ak+1-ak2知,a-1=4akak+1-a,所以ak+2==4ak+1-ak,所以a=4ak+1ak+2-akak+2=4ak+1ak+2-a+1,所以ak+2-ak+12=2ak+1ak+2+1,即当n=k+1时,命题也成立.综上可得,对一切正整数n2anan+1+1是完全平方数.能力提升题组建议用时25分钟1.用数学归纳法证明2n2n+1,n的第一个取值应是________.解析 ∵n=1时,21=22×1+1=32n2n+1不成立;n=2时,22=42×2+1=52n2n+1不成立;n=3时,23=82×3+1=72n2n+1成立.∴n的第一个取值应是
3.答案 32.设fx是定义在正整数集上的函数,且fx满足“当fk≥k2成立时,总可推出fk+1≥k+12成立”.那么,下列命题总成立的序号是________.
①若f11成立,则f10100成立;
②若f24成立,则f1≥1成立;
③若f3≥9成立,则当k≥1时,均有fk≥k2成立;
④若f4≥16成立,则当k≥4时,均有fk≥k2成立.解析
①,
②的答案与题设中不等号方向不同,故
①,
②错;
③中,应该是k≥3时,均有fk≥k2成立;
④符合题意.答案
④3.设平面内有n条直线n≥3,其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用fn表示这n条直线交点的个数,则f4=________;当n4时,fn=________用n表示.解析 f3=2,f4=f3+3=2+3,f5=f4+4=2+3+4,f6=f5+5=2+3+4+5,猜想fn=2+3+4+…+n-1=n4.答案 5 n+1n-24.xx·镇江模拟已知数列{an}的首项a1=
1.1若an+an+1=3×2n-1,试计算a2,a3,a4,a5的值,猜想数列{an}的通项公式,并证明你的猜想;2若存在常数p,r,t其中r≠0,使得an+an+1=r·2n-1与an+1=pan-pt对任意正整数n都成立,试求数列{an}的通项公式.解 1计算得a2=2,a3=4,a4=8,a5=16,猜想数列{an}的通项公式为an=2n-1n∈N*.用数学归纳法证明以上猜想
①当n=1时,21-1=1,又a1=1,∴n=1时,猜想正确.
②设n=k时,ak=2k-1k∈N*,则ak+1=3×2k-1-ak=3×2k-1-2k-1=2k.∴n=k+1时,猜想正确.由
①和
②知,以上猜想成立.2∵an+1=pan-pt对任意正整数n都成立,∴an+2=pan+1-pt对任意正整数n也成立,两式相加得an+1+an+2=pan+an+1-2pt对任意正整数n都成立,又an+an+1=r·2n-1,所以r·2n=pr·2n-1-2pt对任意整数n都成立,即r·2n-1p-2-2pt=0对任意正整数n都成立,又r≠0,故即p=2,t=0,∴an+1=2an对任意正整数n都成立,故数列{an}为首项a1=1,公比q=2的等比数列,通项公式为an=2n-1n∈N*.。