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2019-2020年高考数学一轮复习
6.4合情推理与演绎推理课时跟踪训练文
一、选择题1.已知数列{an}的前n项和Sn=n2ann≥2,而a1=1,通过计算a2,a3,a4,猜想an= A.B.C.D.解析由a1=1可得a1+a2=4a2,即a2=,同理可得a3=,a4=,所以选B.答案B2.下列推理是演绎推理的是 A.由于fx=ccosx满足f-x=-fx对∀x∈R都成立,推断fx=ccosx为奇函数B.由a1=1,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜出数列{an}的前n项和的表达式C.由圆x2+y2=1的面积S=πr2,推断椭圆+=1的面积S=πabD.由平面三角形的性质推测空间四面体的性质解析由特殊到一般的推理过程,符合归纳推理的定义;由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程,符合类比推理的定义;由一般到特殊的推理符合演绎推理的定义.A是演绎推理,B是归纳推理,C和D为类比推理,故选A.答案A3.xx·焦作模拟给出下面类比推理命题其中Q为有理数集,R为实数集,C为复数集
①“若a,b∈R,则a-b=0⇒a=b”类比推出“若a,b∈C,则a-b=0⇒a=b”;
②“若a,b,c,d∈R,则复数a+bi=c+di⇒a=c,b=d”类比推出“若a,b,c,d∈Q,则a+b=c+d⇒a=c,b=d”;
③若“a,b∈R,则a-b0⇒ab”类比推出“若a,b∈C,则a-b0⇒ab”.其中类比得到的结论正确的个数是 A.0B.1C.2D.3解析若a,b∈C,a-b=0,则a=b,故
①的结论成立;若a,b,c,d∈Q,a+b=c+d,则a=c,b=d;故
②的结论成立;由3+i-2+i0不能得出3+i2+i,故
③的结论不正确.选C.答案C4.如图所示,面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为aii=1234,此四边形内任一点P到第i条边的距离记为hii=1234,若====k,则1×h1+2×h2+3×h3+4×h4=.类比以上性质,体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Sii=1234,此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为Hii=1234,若====k,则H1+2H2+3H3+4H4值为 A.B.C.D.解析∵V=S1H1+S2H2+S3H3+S4H4=kH1+2kH2+3kH3+4kH4∴H1+2H2+3H3+4H4=.答案B5.如图,椭圆中心在坐标原点,F为左焦点,当⊥时,其离心率为,此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于 A. B. C.-1 D.+1解析B0,b,F-c0,Aa0.在“黄金双曲线”中,∵⊥,∴·=
0.∴b2=ac.而b2=c2-a2,∴c2-a2=ac.在等号两边同除以a2得e=.答案A6.xx·武汉调研下列推理中属于归纳推理且结论正确的是 A.设数列{an}的前n项和为Sn,由an=2n-1,求出S1=12,S2=22,S3=32,…,推断Sn=n2B.由fx=xcosx满足f-x=-fx对∀x∈R都成立,推断fx=xcosx为奇函数C.由圆x2+y2=r2的面积S=πr2,推断椭圆+=1ab0的面积S=πabD.由1+1221,2+1222,3+1223,…,推断对一切n∈N*,n+122n解析注意到,选项A由一些特殊事例得出一般性结论,且注意到数列{an}是等差数列,其前n项和等于Sn==n2;选项B为演绎推理;选项C为类比推理;选项D中的推理属于归纳推理,但结论不正确.故选A.答案A
二、填空题7.xx·新课标全国卷Ⅰ甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说我没去过C城市;丙说我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为________.解析由题意可推断甲没去过B城市,但比乙去的城市多,而丙说“三人去过同一城市”,说明甲去过A,C城市,而乙“没去过C城市”,说明乙去过城市A,由此可知,乙去过的城市为A.答案A8.在平面几何中有如下结论若正三角形ABC的内切圆面积为S1,外接圆面积为S2,则=.推广到空间几何中可以得到类似结论若正四面体A-BCD的内切球体积为V1,外接球体积为V2,则=__________.解析平面几何中,圆的面积与圆的半径的平方成正比,而在空间几何中,球的体积与球的半径的立方成正比.设正四面体A-BCD的棱长为a,可得其内切球的半径为a,外接球的半径为a,∴=.答案9.经过圆x2+y2=r2上一点Mx0,y0的切线方程为x0x+y0y=r
2.类比上述性质,可以得到椭圆+=1类似的性质为经过椭圆+=1上一点Px0,y0的切线方程为__________.解析过圆上一点Mx0,y0的切线方程是把圆的方程中的x2,y2中的一个x和一个y分别用x0,y0代替,圆和椭圆都是封闭曲线,类比圆上一点的切线方程可以得到,过椭圆上一点Px0,y0的切线方程也是把椭圆方程中的x2,y2中的一个x和一个y分别用x0,y0代替,即得到切线方程为+=
1.答案+=1
三、解答题10.数列{an}的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1=Snn∈N+.证明1数列是等比数列;2Sn+1=4an.证明1∵an+1=Sn+1-Sn,an+1=Sn,∴n+2Sn=nSn+1-Sn,即nSn+1=2n+1Sn.∴=2·,故是以2为公比,1为首项的等比数列.2由1可知=4·n≥2,∴Sn+1=4n+1·=4··Sn-1=4ann≥2,又a2=3S1=3,S2=a1+a2=1+3=4=4a1,∴对于任意正整数n,都有Sn+1=4an.11.xx·陕西卷△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.1若a,b,c成等差数列,证明sinA+sinC=2sinA+C;2若a,b,c成等比数列,求cosB的最小值.解1证明∵a,b,c成等差数列,∴a+c=2b.由正弦定理得sinA+sinC=2sinB.∵sinB=sin[π-A+C]=sinA+C,∴sinA+sinC=2sinA+C.2∵a,b,c成等比数列,∴b2=ac.由余弦定理得cosB==≥=,当且仅当a=c时等号成立.∴cosB的最小值为.12.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数
①sin213°+cos217°-sin13°cos17°;
②sin215°+cos215°-sin15°cos15°;
③sin218°+cos212°-sin18°cos12°;
④sin2-18°+cos248°-sin-18°cos48°;
⑤sin2-25°+cos255°-sin-25°cos55°.1试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;2根据1的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.解1选择
②式,计算如下sin215°+cos215°-sin15°cos15°=1-sin30°=1-=.2三角恒等式为sin2α+cos230°-α-sinαcos30°-α=.证明如下sin2α+cos230°-α-sinαcos30°-α=sin2α+cos30°cosα+sin30°sinα2-sinαcos30°cosα+sin30°sinα=sin2α+cos2α+sinαcosα+sin2α-sinαcosα-sin2α=sin2α+cos2α=.。