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2019-2020年高考数学一轮复习
6.5合情推理与演绎推理课时达标训练文湘教版
一、选择题1.通过圆与球的类比,由“半径为R的圆的内接矩形中,以正方形的面积为最大,最大值为2R2”猜想关于球的相应命题为 A.半径为R的球的内接六面体中,以正方体的体积为最大,最大值为2R2B.半径为R的球的内接六面体中,以正方体的体积为最大,最大值为3R3C.半径为R的球的内接六面体中,以正方体的体积为最大,最大值为D.半径为R的球的内接六面体中,以正方体的体积为最大,最大值为【解析】 正方形类比到空间的正方体,即半径为R的球的内接六面体中,以正方体的体积为最大,此时正方体的棱长a=,故其体积是=.故选D.【答案】 D2.xx·石景山期末在整数集Z中,被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”,记为[k],即[k]={5n+k|n∈Z},k=0,1,2,3,
4.给出如下四个结论
①2013∈
[3];
②-2∈
[2];
③Z=
[0]∪
[1]∪
[2]∪
[3]∪
[4];
④整数a,b属于同一“类”的充要条件是a-b∈
[0].其中,正确结论的个数为 A.1B.2C.3D.4【解析】 因为2013=402×5+3,所以2013∈
[3],
①正确.-2=-1×5+3,-2∈
[3],所以
②不正确.因为整数集中的数被5除的余数可以且只可以分成五类,所以
③正确.整数a,b属于同一“类”,则整数a,b被5除的余数相同,从而a-b被5除的余数为0,反之也成立,故整数a,b属于同一“类”的充要条件是a-b∈
[0],故
④正确.所以正确的结论个数为3,选C.【答案】 C3.xx·西安五校模拟已知“整数对”按如下规律排成一列1,1,1,2,2,1,1,3,2,2,3,1,1,4,2,3,3,2,4,1,…,则第60个“整数对”是 A.7,5B.5,7C.2,10D.10,1【解析】 依题意,把“整数对”的和相同的分为一组,不难得知每组中每个“整数对”的和为n+1,且每组共有n个“整数对”,这样前n组一共有个“整数对”,注意到60,因此第60个“整数对”处于第11组每个“整数对”的和为12的组的第5个位置,结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为1,11,2,10,3,9,4,8,5,7,…,因此第60个“整数对”是5,7,故选B.【答案】 B4.观察下列各式55=3125,56=15625,57=78125,…,则52011的末四位数字为 A.3125B.5625C.0625D.8125【解析】 ∵55=3125,56=15625,57=78125,58=390625,59=1953125,510=9765625,…∴5nn∈Z,且n≥5的末四位数字呈周期性变化,且最小正周期为4,记5nn∈Z,且n≥5的末四位数字为fn,则f2011=f501×4+7=f7,∴52011与57的末四位数字相同,均为
8125.故选D.【答案】 D5.甲、乙两位同学玩游戏,对于给定的实数a1,按下列方法操作一次产生一个新的实数由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币,如果出现两个正面朝上或两个反面朝上,则把a1乘以2后再加上12;如果出现一个正面朝上,一个反面朝上,则把a1除以2后再加上12,这样就可得到一个新的实数a
2.对实数a2仍按上述方法进行一次操作,又得到一个新的实数a
3.当a3a1时,甲获胜,否则乙获胜.若甲获胜的概率为,则a1的取值范围是 A.[-12,24]B.-12,24C.-∞,-12∪24,+∞D.-∞,-12]∪[24,+∞【解析】 ∵为甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币,出现的可能情形有4种正,正、正,反、反,正、反,反,所以每次操作后,得到两种新数的概率是一样的.故由题意得即4a1+36,a1+18,a1+36,a1+18出现的机会是均等的,由于当a3a1时,甲胜且甲胜的概率为,故在上面四个表达式中,有3个大于a1,∵a1+18a1,a1+36a1,故在其余二数中有且仅有一个大于a1,由4a1+36a1得a1-12,由a1+18a1得,a124,故当-12a124时,四个数全大于a1,当a1≤-12或a1≥24时,有且仅有3个大于a1,故选D.【答案】 D6.xx·黄冈中学训练题正整数按下列方法分组{1},{2,3,4},{5,6,7,8,9},{10,11,12,13,14,15,16},…,记第n组中各数之和为An;由自然数的立方构成下列数组{03,13},{13,23},{23,33},{33,43},…,记第n组中后一个数与前一个数的差为Bn,则An+Bn= A.2n3B.n3+n2C.2n3-n2D.3n3+3n【解析】 1第n组数的第一个数是n2-2n+2,最后一个数是n2,故An==n2-n+12n-1;2Bn=n3-n-
13.故An+Bn=2n3,故选A.【答案】 A
二、填空题7.xx·台州联考观察下列几个三角恒等式
①tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°=1;
②tan5°tan100°+tan100°tan-15°+tan-15°tan5°=1;
③tan13°tan35°+tan35°tan42°+tan42°tan13°=
1.一般地,若tanα,tanβ,tanγ都有意义,你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论为____________________________.【解析】 所给三角恒等式都为tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=1的结构形式,且α,β,γ之间满足α+β+γ=90°,所以可猜想当α+β+γ=90°时,tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=
1.【答案】 当α+β+γ=90°时,tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=18.xx·南昌模拟给出若干数字按下图所示排成倒三角形,其中第一行各数依次是1,2,3,…,2014,从第二行起每一个数都等于它“肩上”两个数之和,最后一行只有一个数M,则这个数M是________.【解析】 观察数表,可以发现规律每一行都是等差数列,且第一行公差为1,第二行公差为2,第三行公差为4,……,第2013行公差为22012,第2014行只有M,令每行首项组成新数列{an},则a1=1=×20,a2=×21,a3=×22,a4=×23,…,an=×2n-1,∴a2014=×22013=2015×22012,得出M是2015×
22012.【答案】 2015×220129.如图
①,数轴上Ax
1、Bx2,点P分AB成两段长度之比=λ,则点P的坐标xP=成立;如图
②,在梯形ABCD中,EF∥AD∥BC,且=λ,则EF=.根据以上结论作类比推理,如图
③,在棱台A1B1C1ABC中,平面DEF与平面ABC平行,且=λ,△A1B1C
1、△DEF、△ABC的面积依次是S1,S,S2,则有结论______________________________.【解析】 将三棱台补成棱锥P-ABC,不妨令PA1=m,DA=n,则A1D=nλ,那么,由=,得m=,又由=,得m+nλ=,∴+nλ=,∴=,由此得=.【答案】 =10.xx·长沙模拟有以下命题设an1,an2,…,anm是公差为d的等差数列{an}中任意m项,若=p+p∈N*,r∈N且r<m,则=ap+d;特别地,当r=0时,称ap为an1,an2,…,anm的等差平均项.1已知等差数列{an}的通项公式为an=2n,根据上述命题,则a1,a3,a10,a18的等差平均项为________;2将上述真命题推广到各项为正实数的等比数列中设an1,an2,…,anm是公比为q的等比数列{an}中任意m项,若=p+p∈N*,r∈N且r<m,则__________.特别地,当r=0时,称ap为an1,an2,…,anm的等比平均项.【解析】 1∵==16,∴a1,a3,a10,a18的等差平均项为a
8.2用类比,用apq类比ap+d可得,=apq.【答案】 116 2=apq
三、解答题11.xx·黄冈中学黄石二中联考题改编已知
①在平面内,若直线l与x、y轴分别交于Aa,
0、B0,b,ab≠0,则直线l的截距式方程为+=1;
②在平面内,点Px0,y0到直线Ax+By+C=0的距离公式为d=. 1若平面α与x、y、z轴分别交于Aa,0,
0、B0,b,
0、C0,0,c,abc≠0,请类比
①写出该平面的截距式方程;2空间平面的方程的一般式为Ax+By+Cz+D=0,请类比
②写出点Mx0,y0,z0到平面Ax+By+Cz+D=0的距离公式;3已知空间直角坐标系中,平面β分别过点P-1,0,0,Q0,2,0和R0,0,-1,求出点N1,2,3到平面β的距离.【解析】 1用类比的方法不难得出所求平面α的截距式方程为++=
1.2同理可写出点Mx0,y0,z0到平面Ax+By+Cz+D=0的距离公式是d=.3由1已知平面β的截距式方程是++=1,∴它的一般式方程为2x-y+2z+2=0,故所求点N到平面β的距离d==.12.将各项均为正数的数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成数表,如图所示.记表中各行的第一个数a1,a2,a4,a7,…,构成数列{bn},各行的最后一个数a1,a3,a6,a10,…,构成数列{cn},第n行所有数的和为Snn=1,2,3,4,….已知数列{bn}是公差为d的等差数列,从第二行起,每一行中的数按照从左到右的顺序每一个数与它前面一个数的比是常数q,且a1=a13=1,a31=.1求数列{cn},{Sn}的通项公式;2求数列{cn}的前n项和Tn的表达式.【解析】 1bn=dn-d+1,前n行共有1+2+3+…+n=个数,因为13=+3,所以a13=b5×q2,即4d+1q2=1,又因为31=+3,所以a31=b8×q2,即7d+1q2=,解得d=2,q=,所以bn=2n-1,cn=bn=,Sn==2n-1·.2Tn=+++…+,
①Tn=+++…+.
②①②两式相减,得Tn=1+2-=1+2×-=2-,所以Tn=3-.13.已知点Mk,l、Pm,n是曲线C上的两点klmn≠0,点M、N关于x轴对称,直线MP、NP分别交x轴于点ExE,0和点FxF,0,1用k、l、m、n分别表示xE和xF;2当曲线C的方程分别为x2+y2=R2R>0,+=1a>b>0时,探究xE·xF的值是否与点M、N、P的位置相关;3类比2的探究过程,当曲线C的方程为y2=2pxp>0时,探究xE与xF经加、减、乘、除的某一种运算后为定值的一个正确结论只要求写出你的探究结论,无须证明.【解析】 1依题意Nk,-l,又由klmn≠0及MP、NP与x轴有交点知M、P、N为不同点,直线PM的方程为y=x-m+n,则xE=,同理可得xF=.2∵M,P在圆C x2+y2=R2上,∴xE·xF===R2定值.∴xE·xF的值是与点M、N、P位置无关.同理由M、P在椭圆C+=1a>b>0上,得xE·xF===a2定值.∴xE·xF的值是与点M、N、P位置无关.3一个探究结论是xE+xF=
0.证明如下依题意,xE=,xF=.∵M、P在抛物线C y2=2pxp0上,∴n2=2pm,l2=2pk.xE+xF===
0.∴xE+xF为定值.。