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2019-2020年高考数学一轮复习
6.6直接证明与间接证明课时作业理湘教版
一、选择题1.xx·皖北联考若P=+,Q=+a≥0,则P,Q的大小关系 A.PQB.P=QC.PQD.由a取值决定【解析】 假设PQ,∵要证PQ,只要证P2Q2,只要证2a+7+22a+7+2,只要证a2+7aa2+7a+12,只要证012,∵012成立,∴PQ成立.【答案】C2.xx·汕头模拟设x,y,z0,则三个数+,+,+ A.都大于2B.至少有一个大于2C.至少有一个不小于2D.至少有一个不大于2【解析】 假设这三个数都小于2,则三个数之和小于6,又+++++=++≥2+2+2=6,当且仅当x=y=z时取等号,与假设矛盾,故这三个数至少有一个不小于
2.【答案】 C3.xx·福州高三模拟如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,则 A.△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形B.△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形C.△A1B1C1是钝角三角形,△A2B2C2是锐角三角形D.△A1B1C1是锐角三角形,△A2B2C2是钝角三角形【解析】 由条件知,△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0,则△A1B1C1是锐角三角形,假设△A2B2C2是锐角三角形.由得那么A2+B2+C2=,这与三角形内角和为180°相矛盾.所以假设不成立,又由已知可得△A2B2C2不是直角三角形,所以△A2B2C2是钝角三角形,故选D.【答案】 D4.若0a1a2,0b1b2,且a1+a2=b1+b2=1,则下列代数式中值最大的是 A.a1b1+a2b2B.a1a2+b1b2C.a1b2+a2b1D.【解析】 依题意有0a1,a21,同理有0b1,b
21.故a1b1+a2b2-a1a2+b1b2=b1-a2·a1-b20,a1b1+a2b2-a1b2+a2b1=b1-b2·a1-a20,a1b1+a2b2-=a1b1+a2b2-=[a1b1+a2b2-a1b2+a2b1]=b1-b2·a1-a20,∴a1b1+a2b2的值最大,故选A.【答案】A5.已知fx=-lnx,fx在x=x0处取最大值,以下各式正确的序号为
①fx0<x0;
②fx0=x0;
③fx0>x0;
④fx0<;
⑤fx0>.A.
①④B.
②④C.
②⑤D.
③⑤【解析】 f′x=′=-=-,由题意可知f′x0=0,即lnx0+x0+1=0,lnx0=-x0+1,故fx0=-lnx0===x
0.令函数gx=lnx+x+1x>0,则g′x=+1>0,故函数gx为增函数,而g=ln+>-lne=>0=gx0,∴x0<,即fx0<.故选B.【答案】B6.xx·黄冈中学已知曲线C1+=1a>b>0所围成的封闭图形的面积为6,曲线C1的内切圆半径为,记C为以曲线C1与坐标轴的交点为顶点的椭圆,过定圆E上面的每一个点都可以作两条互相垂直的直线l1,l2,且l1,l2与椭圆的都只有一个公共点,则圆E的方程为 A.x2+y2=3B.x2+y2=6C.x2+y2=9D.x2+y2=12【解析】 由直接证明的方法可以先求得椭圆方程+=1,设Px0,y0是圆E上的任意一点,则过P的直线l∶y=kx-x0+y0,代入+=1中,得+=
1.即1+2k2x2+4ky0-kx0x+2y0-kx02-6=0,
①若直线l与椭圆的公共点只有一个,则
①中判别式Δ=0,即16k2y0-kx02-81+2k2=0,整理,化简得到一关于k的一元二次方程6-xk2+2x0y0k-y+3=
0.要使得⊙E上面的每一个点都可以作两条互相垂直的直线l1,l2,且l1,l2与椭圆的公共点都只有一个,方程必须有两根且两根之积为-1,故eq\f-y+36-x=-1,即x+y=
9.又对于点,,-,,-,-,,-,直线l1,l2中有一条斜率不存在,另一条斜率为0,显然满足方程成立,故这样的⊙E方程为x2+y2=
9.【答案】C
二、填空题
7.xx·大连模拟若a,b,c为Rt△ABC的三边,其中c为斜边,那么当n>2,n∈N*时,an+bn与cn的大小关系为________.【解析】 取a=b=1,c=,易知当n>2时,an+bn=2,cn=n=2·n-2>2,由题意知an+bn与cn的大小关系应该是确定的,故猜想an+bn<cn.事实上,注意a<c,b<c,n>2,所以有an+bn=a2an-2+b2bn-2<a2cn-2+b2cn-2=a2+b2cn-2=cn,故an+bn<cn.【答案】 an+bn<cn8.xx·莱芜调研凸函数的性质定理为如果函数fx在区间D上是凸函数,则对于区间D内的任意x1,x2,…,xn,有≤f,已知函数y=sinx在区间0,π上是凸函数,则在△ABC中,sinA+sinB+sinC的最大值为________.【解析】 ∵fx=sinx在区间0,π上是凸函数,且A,B,C∈0,π,∴≤f=f,即sinA+sinB+sinC≤3sin=,∴sinA+sinB+sinC的最大值为.【答案】 9.xx·邯郸模拟设a,b是两个实数,给出下列条件
①a+b>1;
②a+b=2;
③a+b>2;
④a2+b2>2;
⑤ab>
1.其中能推出“a,b中至少有一个大于1”的条件是________.填序号【解析】 若a=,b=,则a+b>1,但a<1,b<1,故
①推不出;若a=b=1,则a+b=2,故
②推不出;若a=-2,b=-3,则a2+b2>2,故
④推不出;若a=-2,b=-3,则ab>1,故
⑤推不出;对于
③,即a+b>2,则a,b中至少有一个大于1,反证法假设a≤1且b≤1,则a+b≤2与a+b>2矛盾,因此假设不成立,故a,b中至少有一个大于
1.【答案】
③10.设a0,b0,称为a,b的调和平均数.如图所示,C为线段AB上的点,且AC=a,CB=b,O为AB中点,以AB为直径作半圆.过点C作AB的垂线交半圆于D.连接OD,AD,BD.过点C作OD的垂线,垂足为E.则图中线段OD的长度是a,b的算术平均数,线段__________的长度是a,b的几何平均数,线段________的长度是a,b的调和平均数.【解析】 在Rt△ADB中DC为高,则由射影定理可得CD2=AC·CB,CD=,故,即CD长度为a,b的几何平均数,将OC=a-=,CD=,OD=代入OD·CE=OC·CD可得,CE=,故OE==,所以ED=OD-OE=,故DE的长度为a,b的调和平均数.【答案】 CD DE
三、解答题
11.设fx=lnx+-1,证明1当x1时,fxx-1;2当1x3时,fx.【证明】 1方法一 记gx=lnx+-1-x-1,则当x1时,g′x=+-
0.又g1=0,所以有gx0,即fxx-1.方法二 由均值不等式知,当x1时,2x+1,故+.
①令kx=lnx-x+1,则k1=0,k′x=-10,故kx0,即lnxx-
1.
②由
①②得,当x1时,fxx-1.2方法一 记hx=fx-,当1x3时,由1得h′x=+-=--=.令lx=x+53-216x,则当1x3时,l′x=3x+52-2160,因此lx在1,3内是递减函数.又由l1=0,得lx0,所以h′x
0.因此hx在1,3内是递减函数.又h1=0,得hx
0.于是当1x3时,fx.方法二 记hx=x+5fx-9x-1,则当1x3时,由1得h′x=fx+x+5f′x-9x-1+x+5·-9=[3xx-1+x+52+-18x]=7x2-32x+
250.因此hx在1,3内单调递减.又h1=0,所以hx0,即当1x3时,fx.12.在锐角三角形ABC中,求证++.【证明】 要证++,只需证+1-+1-,即+2,即证+1,∵△ABC是锐角三角形,∴tanA、tanB0,cosA、cosB0,故只需证明1+tanA+1+tanB1+tanA1+tanB,即证1tanA·tanB,即1<,cosAcosB<sinAsinB,即证cosA+B0,由A+Bπ,显然有cosA+B0,故原不等式成立.13.xx·临川模拟设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{an}的集合
①≤an+1,
②an≤M,其中n∈N*,M是与n无关的常数.1若{an}是等差数列,Sn是其前n项的和,a3=4,S3=18,试探究{Sn}与集合W之间的关系;2设数列{bn}的通项为bn=5n-2n,且{bn}∈W,M的最小值为m,求m的值;3在2的条件下,设Cn=[bn+m-5n]+,求证数列{Cn}中任意不同的三项都不能成为等比数列.【解析】 1∵a3=4,S3=18,∴a1=8,d=-
2.∴Sn=-n2+9n.=-n2+7n+7<Sn+1=-n2+7n+8满足条件
①,Sn=-+,当n=4或5时,Sn取最大值
20.∴Sn≤20满足条件
②,∴{Sn}∈W.2bn+1-bn=5-2n可知{bn}中最大项是b3=7,∴M≥7,M的最小值为
7.3证明由2知Cn=n+,假设{Cn}中存在三项Cp,Cq,Crp,q,r互不相等成等比数列,则C=Cp·Cr,∴q+2=p+r+,∴q2-pr+2q-p-r=
0.∵p、q、r∈N*,∴消去q得p-r2=0,∴p=r,与p≠r矛盾.∴{Cn}中任意不同的三项都不能成为等比数列.。