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2019-2020年高考数学一轮复习8-7抛物线课时作业文
一、选择题1.若点P到点F02的距离比它到直线y+4=0的距离小2,则点P的轨迹方程为 A.y2=8x B.y2=-8xC.x2=8yD.x2=-8y解析由题意知点P到点F02的距离比它到直线y+4=0的距离小2,因此点P到点F02的距离与到直线y+2=0的距离相等,故点P的轨迹是以F为焦点,y=-2为准线的抛物线,∴P的轨迹方程为x2=8y.选C.答案C2.xx年成都质检已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线l与抛物线相交于A,B两点,若线段AB的中点M的横坐标为3,则线段AB的长度为 A.6B.8C.10D.12解析依题意,设点Ax1,y1,Bx2,y2,则x1+x2=2×3=6,|AB|=|AF|+|BF|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=8,故选B.答案B3.xx年合肥质检下列双曲线中,有一个焦点在抛物线x2=2y准线上的是 A.8x2-8y2=1B.20x2-5y2=1C.2y2-2x2=1D.5y2-20x2=1解析求出抛物线的准线,依次判断求解.抛物线x2=2y的准线方程为y=-,所以双曲线的一个焦点是,即焦点在y轴上,排除A和B;双曲线2y2-2x2=1即-=1,焦点坐标是0,±1,排除C;双曲线5y2-20x2=1即为-=1,焦点坐标是,故选D.答案D4.已知双曲线C1-=1a0,b0的离心率为,一条渐近线为l,抛物线C2y2=4x的焦点为F,点P为直线l与抛物线C2异于原点的交点,则|PF|= A.2B.3C.4D.5解析依题意可得a=b,即双曲线渐近线的斜率为±1,不妨令直线l的方程为y=x,则由得或此时点P44,|PF|=4+1=5,故选D.答案D5.xx年高考新课标全国卷Ⅰ已知抛物线C y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点.若=4,则|QF|= A.B.C.3D.2解析如图,由抛物线的定义知焦点到准线的距离p=|FM|=
4.过Q作QH⊥l于H,则|QH|=|QF|.由题意,得△PHQ∽△PMF,则有==,∴|HQ|=
3.∴|QF|=
3.答案C
二、填空题6.斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点,且与抛物线相交于A,B两点,线段AB的长为________.解析依题意,设点Ax1,y1,Bx2,y2,焦点F10,则有直线l y=x-
1.由消去y得x-12=4x,即x2-6x+1=0,x1+x2=6,|AB|=x1+x2+2=
8.答案87.xx年烟台模拟已知抛物线C y2=2pxp>0的焦点为F,准线与x轴交于点M,过点M且斜率为k的直线l与抛物线C交于A,B两点,若|AM|=|AF|,则k的值为________.解析设Ax0,y0,又M,由抛物线定义得|AF|=x0+,因为|AM|=|AF|,所以=,两边平方并化简得y=2,即=,所以k==±,故答案为±.答案±8.已知直线l与抛物线y2=8x交于A,B两点,且l经过抛物线的焦点F,A点的坐标为88,则线段AB的中点到准线的距离是________.解析由y2=8x知2p=8,∴p=4,则点F的坐标为20.由题设可知,直线l的斜率存在,设l的方程为y=kx-2,点A,B的坐标分别为xA,yA,xB,yB.又点A88在直线上,∴8=k8-2,解得k=.∴直线l的方程为y=x-2.
①将
①代入y2=8x,整理得2x2-17x+8=0,则xA+xB=,∴线段AB的中点到准线的距离是+=+2=.答案
三、解答题
9.如图所示,抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,点P1,2,Ax1,y1,Bx2,y2均在抛物线上.1写出该抛物线的方程及其准线方程;2当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,求y1+y2的值及直线AB的斜率.解析1由已知条件,可设抛物线的方程为y2=2pxp0.∵点P12在抛物线上,∴22=2p×1,解得p=
2.故所求抛物线的方程是y2=4x,准线方程是x=-
1.2设直线PA的斜率为kPA,直线PB的斜率为kPB,则kPA=x1≠1,kPB=x2≠1,∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补,∴kPA=-kPB.由Ax1,y1,Bx2,y2均在抛物线上,得y=4x1,
①y=4x2,
②∴=-,∴y1+2=-y2+2.∴y1+y2=-
4.由
①-
②得,y-y=4x1-x2,∴kAB===-1x1≠x2.10.已知过抛物线y2=2pxp0的焦点,斜率为2的直线交抛物线于Ax1,y1,Bx2,y2x1x2两点,且|AB|=
9.1求该抛物线的方程;2O为坐标原点,C为抛物线上一点,若=+λ,求λ的值.解析1直线AB的方程是y=2,与y2=2px联立,从而有4x2-5px+p2=
0.所以x1+x2=.由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=+p=9,所以p=4,从而抛物线方程为y2=8x.2由于p=4,则4x2-5px+p2=0即x2-5x+4=0,从而x1=1,x2=4,于是y1=-2,y2=4,从而,B4,4.设Cx3,y3,则=x3,y3=1,-2+λ44=4λ+14λ-2.又y=8x3,即[22λ-1]2=84λ+1,整理得2λ-12=4λ+1,解得λ=0或λ=
2.B组 高考题型专练1.已知抛物线y2=2pxp0的焦点为F,点P1x1,y1,P2x2,y2,P3x3,y3在抛物线上,且2x2=x1+x3,则有 A.|FP1|+|FP2|=|FP3|B.|FP1|2+|FP2|2=|FP3|2C.2|FP2|=|FP1|+|FP3|D.|FP2|2=|FP1|·|FP3|解析抛物线的准线方程为x=-,由定义得|FP1|=x1+,|FP2|=x2+,|FP3|=x3+,则|FP1|+|FP3|=x1++x3+=x1+x3+p2|FP2|=2x2+p,由2x2=x1+x3,得2|FP2|=|FP1|+|FP3|,故选C.答案C2.已知O为坐标原点,F为抛物线C y2=4x的焦点,P为C上一点,若|PF|=4,则△POF的面积为 A.2B.2C.2D.4解析设点Px0,y0,则点P到准线x=-的距离为x0+,由抛物线定义得x0+=4,x0=3,则|y0|=2,故△POF的面积为××2=
2.答案C3.xx年郑州第一次质量预测已知抛物线y2=2pxp0,过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的横坐标为3,则该抛物线的准线方程为 A.x=1B.x=2C.x=-1D.x=-2解析由题意可设直线方程为y=-,设Ax1,y1,Bx2,y2,联立方程消参得4x2-12px+p2=0,∴x1+x2=3p.∵线段AB的中点的横坐标为3,∴=3,∴p=2,∴抛物线的准线方程为x=-
1.答案C4.xx年高考辽宁卷已知点A-23在抛物线C y2=2px的准线上,过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为 A.B.C.D.解析由题意可知准线方程x=-=-2,∴p=4,∴抛物线方程为y2=8x.由已知易得过点A与抛物线y2=8x相切的直线斜率存在,设为k,且k0,则可得切线方程为y-3=kx+2.联立方程消去x得ky2-8y+24+16k=
0.*由相切得Δ=64-4k24+16k=0,解得k=或k=-2舍去,代入*解得y=8,把y=8代入y2=8x,得x=8,即切点B的坐标为88,又焦点F为20,故直线BF的斜率为.答案D5.xx年济南期末考试已知定点Q2,-1,F为抛物线y2=4x的焦点,动点P为抛物线上任意一点,当|PQ|+|PF|取最小值时,P的坐标为________.解析设点P在准线上的射影为D,则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|,∴要使|PQ|+|PF|取得最小值,即需D,P,Q三点共线时|PQ|+|PF|最小.将Q2,-1的纵坐标代入y2=4x得x=,故P的坐标为.答案6.过抛物线C y2=4x的焦点F作直线l交抛物线C于A,B两点,若A到抛物线的准线的距离为4,则|AB|=________.解析∵y2=4x,∴抛物线的准线为x=-1,F10.又A到抛物线准线的距离为4,∴xA+1=4,∴xA=
3.∵xAxB==1,∴xB=.∴|AB|=xA+xB+p=3++2=.答案7.设抛物线C y2=2pxp0,A为抛物线上一点A不同于原点O,过焦点F作直线平行于OA,交抛物线C于P,Q两点.若过焦点F且垂直于x轴的直线交直线OA于点B,则|FP|·|FQ|-|OA|·|OB|=________.解析A取特殊位置上的点,则A与B重合,∴|OA|·|OB|=|OA|2=2+p2=p
2.又kPQ=kOA=2,∴直线PQ的方程为y=2,代入y2=2px,得4x2-6px+p2=
0.设Px1,y1,Qx2,y2,则由抛物线的定义得|FP|·|FQ|==x1x2+x1+x2+=+×+=,所以|FP|·|FQ|-|OA|·|OB|=
0.答案08.xx年西安质检已知抛物线C的顶点为原点,其焦点F0,cc0到直线l x-y-2=0的距离为.设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.1求抛物线C的方程;2当点Px0,y0为直线l上的定点时,求直线AB的方程;3当点P在直线l上移动时,求|AF|·|BF|的最小值.解析1依题意,设抛物线C的方程为x2=4cy,由=结合c0,解得c=1,所以抛物线C的方程为x2=4y.2抛物线C的方程为x2=4y,则y=x2,求导得y′=x.设Ax1,y1,Bx2,y2则切线PA,PB的斜率分别为x1,x2,所以切线PA的方程为y-y1=x-x1,即y=x-+y1,即x1x-2y-2y1=
0.同理可得切线PB的方程为x2x-2y-2y2=
0.因为切线PA,PB均过点Px0,y0,所以x1x0-2y0-2y1=0,x2x0-2y0-2y2=0,所以x1,y1,x2,y2为方程x0x-2y0-2y=0的两组解,所以直线AB的方程为x0x-2y-2y0=
0.3由抛物线定义可知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1,所以|AF|·|BF|=y1+1y2+1=y1y2+y1+y2+1,联立方程消去x整理得y2+2y0-xy+y=0,由一元二次方程根与系数的关系可得y1+y2=x-2y0,y1y2=y,所以|AF|·|BF|=y1y2+y1+y2+1=y+x-2y0+
1.又点Px0,y0在直线l上,所以x0=y0+2,所以y+x-2y0+1=2y+2y0+5=22+,所以当y0=-时,|AF|·|BF|取得最小值,且最小值为.。