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2019-2020年高考数学一轮复习
8.5空间向量与立体几何A组 xx年模拟·基础题组
1.xx江西临川一中期中19如图直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形∠DAB=45°AA1=AB=2AD=2点E是C1D1的中点点F在B1C1上且B1F=2FC
1.1证明:AC1⊥平面EFC;2求锐二面角A-FC-E的平面角的余弦值.
2.xx山西太原一模19在如图所示的几何体中四边形ABCD为矩形平面ABEF⊥平面ABCDEF∥AB∠BAF=90°AD=2AB=AF=2EF=1点P在棱DF上其中点P不与D、F重合.1若P是DF的中点求证:BF∥平面ACP;2若二面角D-AP-C的余弦值为求PF的长.
3.xx重庆六校下学期第三次诊断20如图在四棱锥P-ABCD中AD∥BCAB⊥ADAB⊥PABC=2AB=2AD=4BE平面PAB⊥平面ABCD.1求证:平面PED⊥平面PAC;2若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为求二面角A-PC-D的平面角的余弦值.
4.xx辽宁沈阳二模19如图BC为圆O的直径D为圆周上异于B、C的一点AB垂直于圆O所在的平面BE⊥AC于点EBF⊥AD于点F.1求证:BF⊥平面ACD;2若AB=BC=2∠CBD=45°求平面BEF与平面BCD所成锐二面角的余弦值.B组 xx年模拟·提升题组限时:50分钟
1.xx河北重点中学期中18如图在四棱锥P-ABCD中底面ABCD为菱形∠BAD=60°Q为AD的中点.1若PA=PD求证:平面PQB⊥平面PAD;2若平面APD⊥平面ABCD且PA=PD=AD=2则在线段PC上是否存在点M使二面角M-BQ-C的大小为60°若存在试确定点M的位置;若不存在请说明理由.
2.xx北京西城一模17如图在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中底面ABCD和侧面BCC1B1都是矩形E是CD的中点D1E⊥CDAB=2BC=
2.1求证:BC⊥D1E;2求证:B1C∥平面BED1;3若平面BCC1B1与平面BED1所成的锐二面角的大小为求线段D1E的长度.
3.xx宁夏银川一中四模19在正三角形ABC中EFP分别是ABACBC边上的点满足===如图1将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置使二面角A1-EF-B成直二面角如图
2.1求证:A1E⊥平面BEP;2求直线A1E与平面A1BP所成角大小;3求二面角B-A1P-F的余弦值.
4.xx辽宁鞍山二模18如图所示四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形PA⊥CDPA=1PD=E为PD上一点PE=2ED.1求证:PA⊥平面ABCD;2求二面角D-AC-E的余弦值;3在侧棱PC上是否存在一点F使得BF∥平面AEC若存在指出F点的位置并证明;若不存在说明理由.A组 xx年模拟·基础题组
1.解析 1证明:以A为坐标原点射线AB为x轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系则A000结合已知易得C420C1422E322F∴=422==10-2∴·=422·=0·=422·10-2=0∴AC1⊥EFAC1⊥EC.又EF∩EC=E且EF、EC⊂平面EFC∴AC1⊥平面EFC.2连结AFAC.设向量n=xyz是平面AFC的法向量则n⊥n⊥而=420=∴4x+2y=0x+y+2z=0令x=1得n=.又是平面EFC的法向量cosn===-.∴锐二面角A-FC-E的平面角的余弦值为.
2.解析 1证明:连结BD交AC于点O连结OP.因为O为矩形ABCD对角线的交点所以OB=OD又因为P是DF的中点所以OP为三角形BDF的中位线所以BF∥OP.因为BF⊄平面ACPOP⊂平面ACP所以BF∥平面ACP.4分2因为∠BAF=90°所以AF⊥AB因为平面ABEF⊥平面ABCD且平面ABEF∩平面ABCD=AB所以AF⊥平面ABCD.以A为坐标原点ABADAF所在直线为x轴y轴z轴建立如图所示空间直角坐标系A-xyz则B100C120F
001.7分因为AB⊥平面ADP所以平面ADP的一个法向量为n1=
100.设P点坐标为02-2tt0t1则=02-2tt又=120设平面APC的一个法向量为n2=xyz则所以平面APC的一个法向量为n2=所以|cosn1n2|===10分解得t=或t=2舍.所以P=||==.故PF的长为.12分
3.解析 1证明:∵平面PAB⊥平面ABCD平面PAB∩平面ABCD=ABAB⊥PA∴PA⊥平面ABCD.又∵AB⊥AD故可建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.设BE=1AP=λ则=240=00λ=2-102分∴·=4-4+0=0·=0∴DE⊥ACDE⊥AP∴ED⊥平面PAC.4分∴平面PED⊥平面PAC.6分2由1知平面PAC的一个法向量是=2-10且=21-λ设直线PE与平面PAC所成的角为θ则sinθ=|cos|==解得λ=±
2.∵λ0∴λ=2即P
002.8分设平面PCD的法向量为n=x0y0z0∵=220=0-22n⊥n⊥∴令x0=1则n=1-1-110分∴cosn==.11分显然二面角A-PC-D的平面角是锐角∴二面角A-PC-D的平面角的余弦值为.12分
4.解析 1证明:∵BC为圆O的直径∴CD⊥BD.∵AB⊥圆O所在的平面∴AB⊥CD又∵AB∩BD=B∴CD⊥平面ABD.又∵BF⊂平面ABD∴CD⊥BF.又∵BF⊥AD且AD∩CD=D∴BF⊥平面ACD.2如图以O为原点建立空间直角坐标系.则B0-10E001D100A0-
12.∵BF⊥AD∴DF===AD得=∴F==
011.设平面BEF的法向量为n1=xyz则即解得不妨取平面BEF的一个法向量n1=0-
11.又由已知AB垂直于圆O所在的平面得是平面BCD的一个法向量设平面BEF与平面BCD所成的锐二面角为θn2==002则cosθ=|cosn1n2|==.B组 xx年模拟·提升题组
1.解析 1证明:∵PA=PDQ为AD的中点∴PQ⊥AD.∵四边形ABCD为菱形∠BAD=60°Q为AD的中点∴BQ⊥AD.又PQ∩BQ=Q∴AD⊥平面PQB∵AD⊂平面PAD∴平面PQB⊥平面PAD.2∵平面PAD⊥平面ABCD平面PAD∩平面ABCD=AD且由1知PQ⊥AD∴PQ⊥平面ABCD.以Q为坐标原点分别以QAQBQP所在直线为xyz轴建立空间直角坐标系如图.则Q000结合已知易得P00B00C-
20.假设存在满足题意的点M可知M与点PC不重合设=λ0λ1则M-2λλ1-λ.易知平面CBQ的一个法向量为n1=
001.设平面MBQ的法向量为n2=xyz由可取n2=∵二面角M-BQ-C的大小为60°∴cos60°=|cosn1n2|=解得λ=λ=-1舍去∴=.∴存在满足题意的点M且点M为线段PC靠近P的三等分点.
2.解析 1证明:因为底面ABCD和侧面BCC1B1是矩形所以BC⊥CDBC⊥CC1又因为CD∩CC1=C所以BC⊥平面DCC1D1因为D1E⊂平面DCC1D1所以BC⊥D1E.2证明:连结D1B1DB因为BB1∥DD1BB1=DD1所以四边形D1DBB1是平行四边形.连结DB1交D1B于点F连结EF则F为DB1的中点.在△B1CD中因为DE=CEDF=B1F所以EF∥B1C.又因为B1C⊄平面BED1EF⊂平面BED1所以B1C∥平面BED
1.3由1可知BC⊥D1E又因为D1E⊥CD且BC∩CD=C所以D1E⊥平面ABCD.设G为AB的中点以E为原点EGECED1所在直线分别为x轴y轴z轴建立空间直角坐标系如图.则E000B110C010G
100.设D1E=a则D100aB112a.设平面BED1的一个法向量为n=xyz因为=110=00a所以由得令x=1得n=1-
10.设平面BCC1B1的一个法向量为m=x1y1z1因为=100=11a所以由得令z1=1得m=0-a
1.由平面BCC1B1与平面BED1所成的锐二面角的大小为得|cosmn|===cos解得a=
1.所以D1E=
1.
3.解析 不妨设正三角形ABC的边长为
3.1证明:在题图1中取BE的中点D连结DF.∵===∴AF=AD=2又∠A=60°∴△ADF为正三角形.又∵AE=ED=1∴EF⊥AD∴在题图2中有A1E⊥EFBE⊥EF.∴∠A1EB为二面角A1-EF-B的平面角.∵二面角A1-EF-B为直二面角∴A1E⊥BE.又∵BE∩EF=E∴A1E⊥平面BEF即A1E⊥平面BEP.2由1可知A1E⊥平面BEPBE⊥EF故可建立如图所示的空间直角坐标系则E000A1001B200F00P10∴=20-1=-10=001设平面A1BP的法向量为n1=x1y1z1则令x1=3则n1=
36.∴cosn1==易知直线A1E与平面A1BP所成角的大小为.3=0-1=-100设平面A1FP的法向量为n2=x2y2z
2.则n2⊥n2⊥即令y2=1得n2=
01.∴cosn1n2==又易知二面角B-A1P-F为钝二面角所以二面角B-A1P-F的余弦值是-.
4.解析 1证明:∵PA=AD=1PD=∴PA2+AD2=PD2即PA⊥AD.2分又PA⊥CDAD∩CD=D∴PA⊥平面ABCD.4分2过E作EG∥PA交AD于G从而EG⊥平面ABCD且AG=2GDEG=PA=.5分连结BD交AC于O过G作GH∥OD交AC于H∴GH=OD=连结EH.∵GH⊥ACEH在平面ABCD上的射影为GH∴EH⊥AC∴∠EHG为二面角D-AC-E的平面角.6分又tan∠EHG==∴二面角D-AC-E的余弦值为.7分3存在.以A为原点ABADAP所在直线为x轴y轴z轴建立空间直角坐标系.则A000B100C110P001E=110=.设平面AEC的法向量为n=xyz则即令y=1则n=-11-
2.10分假设侧棱PC上存在一点F且=λ0≤λ≤1使得BF∥平面AEC则·n=
0.又∵=+=010+-λ-λλ=-λ1-λλ∴·n=λ+1-λ-2λ=0∴λ=∴存在点F使得BF∥平面AEC且F为PC的中点.12分。