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2019-2020年高考数学一轮复习
9.4直线与圆、圆与圆的位置关系理新人教A版
一、选择题1.若直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交,则Pa,b A.在圆上B.在圆外C.在圆内D.以上都有可能解析 由1,得1,∴点P在圆外.答案 B2.圆x2+y2-4x=0在点P1,处的切线方程为 A.x+y-2=0B.x+y-4=0C.x-y+4=0D.x-y+2=0解析 易知圆心C坐标为2,0,则kCP==-,所以所求切线的斜率为.故切线方程为y-=x-1,即x-y+2=
0.答案 D3.xx·甘肃诊断考试已知圆O1x-a2+y-b2=4,O2x-a-12+y-b-22=1a,b∈R,则两圆的位置关系是 A.内含B.内切C.相交D.外切解析 由O1x-a2+y-b2=4得圆心坐标为a,b,半径为2;由O2x-a-12+y-b-22=1得圆心坐标为a+1,b+2,半径为1,所以两圆圆心之间的距离为|O1O2|==,因为|2-1|=1<<2+1=3,所以两圆相交,故选C.答案 C4.若直线y=kx与圆x-22+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,则k,b的值分别为 A.k=,b=-4B.k=-,b=4C.k=,b=4D.k=-,b=-4解析 因为直线y=kx与圆x-22+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,则y=kx与直线2x+y+b=0垂直,且2x+y+b=0过圆心,所以解得k=,b=-
4.答案 A5.xx·江西卷在平面直角坐标系中,A,B分别是x轴和y轴上的动点,若以AB为直径的圆C与直线2x+y-4=0相切,则圆C面积的最小值为 A.πB.πC.6-2πD.π解析 由题意得以AB为直径的圆C过原点O,圆心C为AB的中点,设D为切点,要使圆C的面积最小,只需圆的半径最短,也只需OC+CD最小,其最小值为OE过原点O作直线2x+y-4=0的垂线,垂足为E的长度如图.由点到直线的距离公式得|OE|=.所以圆C面积的最小值为π=π.故选A.答案 A
二、填空题6.xx·青岛质量检测直线y=2x+1被圆x2+y2=1截得的弦长为________.解析 圆x2+y2=1的圆心O0,0,半径r=
1.圆心O到直线y=2x+1的距离为d==,故弦长为2=2=.答案 7.xx·湖北卷直线l1y=x+a和l2y=x+b将单位圆C x2+y2=1分成长度相等的四段弧,则a2+b2=______.解析 由题意知,直线l1截圆所得的劣弧长为,则圆心到直线l1的距离为,即=,则a2=
1.同理可得b2=1,则a2+b2=
2.答案 28.xx·重庆卷已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆x-12+y-a2=4相交于A,B两点,且△ABC为等边三角形,则实数a=________.解析 依题意,圆C的半径是2,圆心C1,a到直线ax+y-2=0的距离等于×2=,于是有=,即a2-8a+1=0,解得a=4±.答案 4±
三、解答题9.已知直线l y=kx+1,圆C x-12+y+12=
12.1试证明不论k为何实数,直线l和圆C总有两个交点;2求直线l被圆C截得的最短弦长.法一 1证明 由消去y得k2+1x2-2-4kx-7=0,因为Δ=2-4k2+28k2+10,所以不论k为何实数,直线l和圆C总有两个交点.2解 设直线与圆交于Ax1,y1,Bx2,y2两点,则直线l被圆C截得的弦长|AB|=|x1-x2|=2=2,令t=,则tk2-4k+t-3=0,当t=0时,k=-,当t≠0时,因为k∈R,所以Δ=16-4tt-3≥0,解得-1≤t≤4,且t≠0,故t=的最大值为4,此时|AB|最小为
2.法二 1证明 圆心C1,-1到直线l的距离d=,圆C的半径R=2,R2-d2=12-=,而在S=11k2-4k+8中,Δ=-42-4×11×80,故11k2-4k+80对k∈R恒成立,所以R2-d20,即dR,所以不论k为何实数,直线l和圆C总有两个交点.2解 由平面几何知识,知|AB|=2=2,下同法一.法三 1证明 因为不论k为何实数,直线l总过点P0,1,而|PC|=2=R,所以点P0,1在圆C的内部,即不论k为何实数,直线l总经过圆C内部的定点P.所以不论k为何实数,直线l和圆C总有两个交点.2解 由平面几何知识知过圆内定点P0,1的弦,只有和PCC为圆心垂直时才最短,而此时点P0,1为弦AB的中点,由勾股定理,知|AB|=2=2,即直线l被圆C截得的最短弦长为
2.10.xx·江苏卷如图,在平面直角坐标系xOy中,点A0,3,直线l y=2x-
4.设圆C的半径为1,圆心在l上.1若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;2若圆C上存在点M,使|MA|=2|MO|,求圆心C的横坐标a的取值范围.解 1由题设,圆心C是直线y=2x-4和y=x-1的交点,解得点C3,2,于是切线的斜率必存在.设过A0,3的圆C的切线方程为y=kx+3,由题意,得=1,解得k=0或-,故所求切线方程为y=3或3x+4y-12=
0.2因为圆心在直线y=2x-4上,所以圆C的方程为x-a2+[y-2a-2]2=
1.设点Mx,y,因为|MA|=2|MO|,所以=2,化简得x2+y2+2y-3=0,即x2+y+12=4,所以点M在以D0,-1为圆心,2为半径的圆上.由题意,点Mx,y在圆C上,所以圆C与圆D有公共点,则|2-1|≤|CD|≤2+1,即1≤≤
3.整理得-8≤5a2-12a≤
0.由5a2-12a+8≥0,得a∈R;由5a2-12a≤0,得0≤a≤.所以点C的横坐标a的取值范围是.能力提升题组建议用时25分钟11.已知圆C1x-a2+y+22=4与圆C2x+b2+y+22=1相外切,则ab的最大值为 A.B.C.D.2解析 由两圆相外切可得圆心a,-2,-b,-2之间的距离等于两圆半径之和,即a+b2=9=a2+b2+2ab≥4ab,所以ab≤,即ab的最大值是当且仅当a=b时取等号,故选C.答案 C12.圆x-32+y-32=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有 A.1个B.2个C.3个D.4个解析 因为圆心到直线的距离为=2,又因为圆的半径为3,所以直线与圆相交,由数形结合知,圆上到直线的距离为1的点有3个.答案 C13.xx·新课标全国Ⅱ卷设点Mx0,1,若在圆O x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是________.解析 法一 当x0=0时,M0,1,由圆的几何性质得在圆上存在点N-1,0或N1,0,使∠OMN=45°.当x0≠0时,过M作圆的两条切线,切点为A、B.若在圆上存在N,使得∠OMN=45°,应有∠OMB≥∠OMN=45°,∴∠AMB≥90°,∴-1≤x0<0或0<x0≤
1.综上,-1≤x0≤
1.法二 过O作OP⊥MN,P为垂足,OP=OM·sin45°≤1,∴OM≤,∴OM2≤2,∴x+1≤2,∴x≤1,∴-1≤x0≤
1.答案 [-1,1]14.xx·淮安一模已知圆O x2+y2=4和点M1,a.1若过点M有且只有一条直线与圆O相切,求实数a的值,并求出切线方程.2若a=,过点M作圆O的两条弦AC,BD互相垂直,求|AC|+|BD|的最大值.解 1由条件知点M在圆O上,所以1+a2=4,则a=±.当a=时,点M为1,,kOM=,k切=-,此时切线方程为y-=-x-1.即x+y-4=0,当a=-时,点M为1,-,kOM=-,k切=.此时切线方程为y+=x-1.即x-y-4=
0.所以所求的切线方程为x+y-4=0或x-y-4=
0.2设O到直线AC,BD的距离分别为d1,d2d1,d2≥0,则d+d=OM2=
3.又有|AC|=2eq\r4-d,|BD|=2eq\r4-d,所以|AC|+|BD|=2eq\r4-d+2eq\r4-d.则|AC|+|BD|2=4×4-d+4-d+2eq\r4-d·eq\r4-d=4×[5+2eq\r16-4(d+d)+dd]=4×5+2eq\r4+dd.因为2d1d2≤d+d=3,所以dd≤,当且仅当d1=d2=时取等号,所以eq\r4+dd≤,所以|AC|+|BD|2≤4×=
40.所以|AC|+|BD|≤2,即|AC|+|BD|的最大值为
2.。