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2019-2020年高考数学一轮复习
9.7抛物线理新人教B版
一、选择题1.xx·合肥质量检测抛物线x2=y的焦点坐标为 A.B.C.D.解析 抛物线x2=y的焦点坐标是.答案 D2.xx·沈阳质量监测已知抛物线y2=2pxp>0的准线与曲线x2+y2-4x-5=0相切,则p的值为 A.2B.1C.D.解析 曲线的标准方程为x-22+y2=9,其表示圆心为2,0,半径为3的圆,又抛物线的准线方程为x=-,∴由抛物线的准线与圆相切得2+=3,解得p=2,故选A.答案 A3.点M5,3到抛物线y=ax2的准线的距离为6,那么抛物线的方程是 A.y=12x2B.y=12x2或y=-36x2C.y=-36x2D.y=x2或y=-x2解析 分两类a0,a0可得y=x2,y=-x
2.答案 D4.xx·潍坊一模已知抛物线y2=2pxp>0的焦点F与双曲线-=1的右焦点重合,抛物线的准线与x轴的交点为K,点A在抛物线上且|AK|=|AF|,则A点的横坐标为 A.2B.3C.2D.4解析 抛物线的焦点为,准线为x=-.双曲线的右焦点为3,0,所以=3,即p=6,即y2=12x.过A做准线的垂线,垂足为M,则|AK|=|AF|=|AM|,即|KM|=|AM|,设Ax,y,则y=x+3,代入y2=12x,解得x=
3.答案 B5.xx·新课标全国Ⅱ卷设F为抛物线C y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为 A.B.C.D.解析 易知抛物线中p=,焦点F,法一 直线AB的斜率k=,故直线AB的方程为y=,代入抛物线方程y2=3x,整理得x2-x+=
0.设Ax1,y1,Bx2,y2,则x1+x2=.由抛物线的定义可得弦长|AB|=x1+x2+p=+=12,法二 由抛物线焦点弦的性质可得|AB|===12,结合图象可得O到直线AB的距离d=sin30°=,所以△OAB的面积S=|AB|·d=.答案 D
二、填空题6.xx·北京海淀区模拟若抛物线y2=2pxp>0的准线经过双曲线x2-y2=1的左顶点,则p=________.解析 由题意知抛物线的准线为x=-,双曲线x2-y2=1的左顶点为-1,0,所以-=-1,p=
2.答案 27.xx·银川质量检测已知一条过点P2,1的直线与抛物线y2=2x交于A,B两点,且P是弦AB的中点,则直线AB的方程为________.解析 依题意,设点Ax1,y1,Bx2,y2,则有y=2x1,y=2x2,两式相减得y-y=2x1-x2,即==1,直线AB的斜率为1,直线AB的方程是y-1=x-2,即x-y-1=
0.答案 x-y-1=08.xx·沈阳质量监测已知抛物线y2=2pxp>0的焦点为F,△ABC的顶点都在抛物线上,且满足++=0,则++=________.解析 设点Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3,F,则++=0,0,故y1+y2+y3=
0.因为==eq\f\f12p(y-y)y2-y1=,同理可知=,=,所以原式==
0.答案 0
三、解答题
9.如图,已知抛物线y2=2pxp0有一个内接直角三角形,直角顶点在原点,两直角边OA与OB的长分别为1和8,求抛物线的方程.解 设直线OA的方程为y=kx,k≠0,则直线OB的方程为y=-x,由得x=0或x=.∴A点坐标为,同理得B点坐标为2pk2,-2pk,由|OA|=1,|OB|=8,可得
②÷
①解方程组得k6=64,即k2=
4.则p2==.又p0,则p=,故所求抛物线方程为y2=x.10.xx·陕西卷如图,曲线C由上半椭圆C1+=1ab0,y≥0和部分抛物线C2y=-x2+1y≤0连接而成,C1与C2的公共点为A,B,其中C1的离心率为.1求a,b的值;2过点B的直线l与C1,C2分别交于点P,Q均异于点A,B,若AP⊥AQ,求直线l的方程.解 1在C1,C2的方程中,令y=0,可得b=1,且A-1,0,B1,0是上半椭圆C1的左、右顶点.设C1的半焦距为c,由=及a2-c2=b2=1得a=
2.∴a=2,b=
1.2由1知,上半椭圆C1的方程为+x2=1y≥0.易知,直线l与x轴不重合也不垂直,设其方程为y=kx-1k≠0,代入C1的方程,整理得k2+4x2-2k2x+k2-4=
0.*设点P的坐标为xP,yP,∵直线l过点B,∴x=1是方程*的一个根.由求根公式,得xP=,从而yP=,∴点P的坐标为.同理,由得点Q的坐标为-k-1,-k2-2k.∴=k,-4,=-k1,k+2.∵AP⊥AQ,∴·=0,即[k-4k+2]=0,∵k≠0,∴k-4k+2=0,解得k=-.经检验,k=-符合题意,故直线l的方程为y=-x-1.能力提升题组建议用时25分钟11.xx·青岛模拟已知P是抛物线y2=2x上动点,A,若点P到y轴的距离为d1,点P到点A的距离为d2,则d1+d2的最小值是 A.4B.C.5D.解析 因为点P在抛物线上,所以d1=|PF|-其中点F为抛物线的焦点,则d1+d2=|PF|+|PA|-≥|AF|-=-=5-=,当且仅当点P是线段AF与抛物线的交点时取等号,故选B.答案 B12.xx·四川卷已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,·=2其中O为坐标原点,则△ABO与△AFO面积之和的最小值是 A.2B.3C.D.解析 如图,可设Am2,m,Bn2,n,其中m>0,n<0,则=m2,m,=n2,n,·=m2n2+mn=2,解得mn=1舍或mn=-
2.∴lAB m2-n2y-n=m-nx-n2,即m+ny-n=x-n2,令y=0,解得x=-mn=2,∴C2,0.S△AOB=S△AOC+S△BOC=×2×m+×2×-n=m-n,S△AOF=××m=m,则S△AOB+S△AOF=m-n+m=m-n=m+≥2=3,当且仅当m=,即m=时等号成立.故△ABO与△AFO面积之和的最小值为
3.答案 B13.xx·南昌模拟抛物线C x2=8y与直线y=2x-2相交于A,B两点,点P是抛物线C上异于A,B的一点,若直线PA,PB分别与直线y=2相交于点Q,R,O为坐标原点,则·=________.解析 设Aeq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1x1,\fx8,Beq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1x2,\fx8,Peq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1x0,\fx8,Qx3,2,Rx4,2.将y=2x-2代入x2=8y得x2-16x+16=0,则x1+x2=x1x2=
16.直线PA的方程为y-eq\fx8=eq\f\fx8-\fx8x0-x1x-x0,即y-eq\fx8=x-x0.令y=2,解得x3=;同理可得x4=.所以x3x4=×=eq\fx2x1x+16x0(x1+x2)+162x2x1+16x0+x=eq\f16(x2x1+16x0+x)x2x1+16x0+x=16,所以·=x3x4+4=
20.答案
2014.已知抛物线C的顶点为O0,0,焦点为F0,1.1求抛物线C的方程;2过点F作直线交抛物线C于A,B两点.若直线AO,BO分别交直线l y=x-2于M,N两点,求|MN|的最小值.解 1由题意可设抛物线C的方程为x2=2pyp0,则=1,所以抛物线C的方程为x2=4y.2设Ax1,y1,Bx2,y2,直线AB的方程为y=kx+
1.由消去y,整理得x2-4kx-4=0,所以x1+x2=4k,x1x2=-
4.从而|x1-x2|=
4.由解得点M的横坐标xM==eq\f2x1x1-\fx4=.同理,点N的横坐标xN=.所以|MN|=|xM-xN|==8=,令4k-3=t,t≠0,则k=.当t0时,|MN|=
22.当t0时,|MN|=2≥.综上所述,当t=-,即k=-时,|MN|的最小值是.。