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2019-2020年高考数学一轮复习立体几何备考试题理
一、选择题1.(珠海xx届高三9月摸底)如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为()A. B. C. D.
2、(xx广东高考)某四棱台的三视图如图所示则该四棱台的体积是A.B.C.D.
3、(xx广东高考)设是两条不同的直线是两个不同的平面下列命题中正确的是A.若则B.若则C.若则D.若则
4、(xx广东高考)某几何体的三视图如图1所示,它的体积为()A.B.C.D.
5、(2011广东高考)如图1~3,某几何体的正视图(主视图)是平行四边形,侧视图(左视图)和俯视图都是矩形,则该几何体的体积为A.B.C.D.
6、(广州海珠区xx届高三8月摸底)已知m,n表示两条不同直线,表示平面,下列说法正确的是A.若则 B.若,,则C.若,,则D.若,,则
二、解答题
7、(xx广东高考)如图4,四边形为正方形,平面,,于点,,交于点.
(1)证明
(2)求二面角的余弦值
8、(xx广东高考)如图1在等腰直角三角形中分别是上的点为的中点.将沿折起得到如图2所示的四棱锥其中.Ⅰ证明:平面;Ⅱ求二面角的平面角的余弦值.
9、(xx广东高考)如图5所示,在四棱锥中,底面为矩形,平面,点在线段上,平面.(Ⅰ)证明平面;(Ⅱ)若,,求二面角的正切值.
10、(2011广东高考)如图5,在锥体中,是边长为1的菱形,且,,,分别是的中点.
(1)证明平面;
(2)求二面角的余弦值.
11、(xx广州一模)如图5,在棱长为的正方体中,点是棱的中点,点在棱上,且满足.
(1)求证;
(2)在棱上确定一点,使,,,四点共面,并求此时的长;
(3)求平面与平面所成二面角的余弦值.
12、(珠海xx届高三9月摸底)如图,长方体中,分别为中点,
(1)求证.
(2)求二面角的正切值.
13、(广州海珠区xx届高三8月)如图,四棱锥中,底面为正方形,,平面,为棱的中点.
(1)求证//平面;
(2)求证平面平面;
(3)求二面角的余弦值.
14、(xx届肇庆二模)如图5,在四棱锥中,底面ABCD是边长为2的菱形,且DAB=60.侧面PAD为正三角形,其所在的平面垂直于底面ABCD,G为AD边的中点.
(1)求证BG平面PAD;
(2)求平面PBG与平面PCD所成二面角的平面角的余弦值;
(3)若E为BC边的中点,能否在棱PC上找到一点F,使平面DEF平面ABCD,并证明你的结论.15.(xx届深圳二模)如图5已知△ABC为直角三角形∠ACB为直角.以AC为直径作半圆O使半圆O所在平面⊥平面ABCP为半圆周异于AC的任意一点.1证明:AP⊥平面PBC2若PA=1AC=BC=2半圆O的弦PQ∥AC求平面PAB与平面QCB所成锐二面角的余弦值.答案
1、A
2、B
3、D
4、C
5、B
6、B7
(1)证明平面,平面
①四边形为正方形
②平面平面
③即
④且平面
(2)方法1(传统法)过作交于,过作交于,连接就是所求二面角的平面角(过程略)方法2(向量法)由
(1)可得,,建立空间直角坐标系,如图所示.设在中,,则;由
(1)知,所以,因为,所以,所以,,所以,所以,则设平面的法向量为,则,得,取,则,所以由
(1)可知,平面的法向量为,所以设二面角为,则
8、Ⅰ在图1中易得连结在中由余弦定理可得由翻折不变性可知所以所以理可证又所以平面.Ⅱ传统法:过作交的延长线于连结因为平面所以所以为二面角的平面角.结合图1可知为中点故从而所以所以二面角的平面角的余弦值为.向量法:以点为原点建立空间直角坐标系如图所示则所以设为平面的法向量则即解得令得由Ⅰ知为平面的一个法向量所以即二面角的平面角的余弦值为.
9、解析(Ⅰ)因为平面,平面,所以.又因为平面,平面,所以.而,平面,平面,所以平面.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知平面,而平面,所以,而为矩形,所以为正方形,于是.法1以点为原点,、、为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系.则、、、,于是,.设平面的一个法向量为,则,从而,令,得.而平面的一个法向量为.所以二面角的余弦值为,于是二面角的正切值为
3.法2设与交于点,连接.因为平面,平面,平面,所以,,于是就是二面角的平面角.又因为平面,平面,所以是直角三角形.由∽可得,而,所以,,而,所以,于是,而,于是二面角的正切值为.
10、
(1)证明取的中点,连接∵,∴∵在边长为1的菱形中,∴△是等边三角形∴,∴平面 ∴∵分别是的中点 ∴∥,∥∴,,∴平面
(2)解由
(1)知, ∴是二面角的平面角易求得∴∴二面角的余弦值为
11、推理论证法
(1)证明连结,,因为四边形是正方形,所以.在正方体中,平面,平面,所以.因为,,平面,所以平面.因为平面,所以.
(2)解取的中点,连结,则.在平面中,过点作,则.连结,则,,,四点共面.因为,,所以.故当时,,,,四点共面.
(3)延长,,设,连结,则是平面与平面的交线.过点作,垂足为,连结,因为,,所以平面.因为平面,所以.所以为平面与平面所成二面角的平面角.因为,即,所以.在△中,,,所以.即.因为,所以.所以.所以.故平面与平面所成二面角的余弦值为.空间向量法
(1)证明以点为坐标原点,,,所在的直线分别为轴,轴,轴,建立如图的空间直角坐标系,则,,,,,所以,.因为,所以.所以.
(2)解设,因为平面平面,平面平面,平面平面,所以.所以存在实数,使得.因为,,所以.所以,.所以.故当时,,,,四点共面.
(3)解由
(1)知,.设是平面的法向量,则即取,则,.所以是平面的一个法向量.而是平面的一个法向量,设平面与平面所成的二面角为,则.故平面与平面所成二面角的余弦值为.
12、解1.证明在长方体中,分别为中点,且四边形是平行四边形…………………………………………………………3分,……………………………5分2.长方体中,分别为中点,……………………………7分过做于,又就是二面角的平面角……………………………9分,在中,……………………11分直角三角形中………………………………13分二面角的正切值为……………………………14分13.
14、
(1)证明连结BD.因为ABCD为棱形,且∠DAB=60°,所以ABD为正三角形.(1分)又G为AD的中点,所以BG⊥AD.(2分)又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,(3分)∴BG⊥平面PAD.(4分)解
(2)∵△PAD为正三角形,G为AD的中点,∴PG⊥AD.∵PG平面PAD,由
(1)可得PG⊥GB.又由
(1)知BG⊥AD.∴PG、BG、AD两两垂直.(5分)故以G为原点,建立如图所示空间直角坐标系,,,(6分)所以,,,,(7分)设平面PCD的法向量为,即令,则(8分)又平面PBG的法向量可为,(9分)设平面PBG与平面PCD所成二面角的平面角为,则∴即平面PBG与平面PCD所成二面角的平面角的余弦值为.(10分)
(3)当F为PC的中点时,平面DEF⊥平面ABCD.(11分)取PC的中点F,连结DE,EF,DF,CG,且DE与CG相交于H.因为E、G分别为BC、AD的中点,所以四边形CDGE为平行四边形,故H为CG的中点.又F为CP的中点,所以FH//PG.(12分)由
(2),得PG平面ABCD,所以FH平面ABCD.(13分)又FH平面DEF,所以平面DEF⊥平面ABCD.(14分)
15、44444正视图侧视图俯视图第1题图
4.COBDEACDOBE图1图2图5图5第18题图CDOBEHCDOxE向量法图yzB。