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2019-2020年高考数学一轮复习第九章第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系文新人教B版
一、选择题1.若直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交,则Pa,b A.在圆上 B.在圆外C.在圆内 D.以上都有可能解析 由1,得1,∴点P在圆外.答案 B2.圆x2+y2-4x=0在点P1,处的切线方程为 A.x+y-2=0 B.x+y-4=0C.x-y+4=0 D.x-y+2=0解析 易知圆心C坐标为20,则kCP==-,所以所求切线的斜率为.故切线方程为y-=x-1,即x-y+2=
0.答案 D3.xx·沈阳质量监测已知圆O1x-a2+y-b2=4,O2x-a-12+y-b-22=1a,b∈R,则两圆的位置关系是 A.内含 B.内切 C.相交 D.外切解析 由O1x-a2+y-b2=4得圆心坐标为a,b,半径为2;由O2x-a-12+y-b-22=1得圆心坐标为a+1,b+2,半径为1,所以两圆圆心之间的距离为|O1O2|==,因为|2-1|=1<<2+1=3,所以两圆相交,故选C.答案 C4.过点31作圆x-12+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为 A.2x+y-3=0 B.2x-y-3=0C.4x-y-3=0 D.4x+y-3=0解析 如图所示由题意知AB⊥PC,kPC=,∴kAB=-2,∴直线AB的方程为y-1=-2x-1,即2x+y-3=
0.答案 A5.若直线y=kx与圆x-22+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,则k,b的值分别为 A.k=,b=-4 B.k=-,b=4C.k=,b=4 D.k=-,b=-4解析 因为直线y=kx与圆x-22+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,则y=kx与直线2x+y+b=0垂直,且2x+y+b=0过圆心,所以解得k=,b=-
4.答案 A
二、填空题6.xx·青岛质量检测直线y=2x+1被圆x2+y2=1截得的弦长为________.解析 圆x2+y2=1的圆心O00,半径r=
1.圆心O到直线y=2x+1的距离为d==,故弦长为2=2=.答案 7.xx·武汉调研过点P11的直线,将圆形区域分为两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为________.解析 当圆心与P的连线和过点P的直线垂直时,符合条件.圆心O与P点连线的斜率k=1,所以直线OP垂直于x+y-2=
0.答案 x+y-2=08.xx·重庆卷已知直线x-y+a=0与圆心为C的圆x2+y2+2x-4y-4=0相交于A,B两点,且AC⊥BC,则实数a的值为________.解析 由x2+y2+2x-4y-4=0,得x+12+y-22=9,∴圆C的圆心坐标为-12,半径为
3.由AC⊥BC,知△ABC为等腰直角三角形,所以C到直线AB的距离d=,即=,所以|a-3|=3,即a=0或a=
6.答案 0或6
三、解答题9.已知点P05及圆C x2+y2+4x-12y+24=
0.若直线l过P且被圆C截得的线段长为4,求l的方程.解 如图所示,AB=4,D是AB的中点,CD⊥AB,AD=2,圆x2+y2+4x-12y+24=0可化为x+22+y-62=16,圆心C-26,半径r=4,故AC=4,在Rt△ACD中,可得CD=
2.当直线l的斜率存在时,设斜率为k,则直线l的方程为y-5=kx,即kx-y+5=0,由点C到直线AB的距离公式,得=2,解得k=.此时直线l的方程为3x-4y+20=0;当直线l的斜率不存在时,方程为x=0,则y2-12y+24=0,∴y1=6+2,y2=6-2,∴|y2-y1|=4,故x=0满足题意;∴所求直线的方程为3x-4y+20=0或x=
0.10.已知直线l y=kx+1,圆C x-12+y+12=
12.1试证明不论k为何实数,直线l和圆C总有两个交点;2求直线l被圆C截得的最短弦长.法一 1证明 由消去y得k2+1x2-2-4kx-7=0,因为Δ=2-4k2+28k2+10,所以不论k为何实数,直线l和圆C总有两个交点.2解 设直线与圆交于Ax1,y1,Bx2,y2两点,则直线l被圆C截得的弦长|AB|=|x1-x2|=2=2,令t=,则tk2-4k+t-3=0,当t=0时,k=-,当t≠0时,因为k∈R,所以Δ=16-4tt-3≥0,解得-1≤t≤4,且t≠0,故t=的最大值为4,此时|AB|最小为
2.法二 1证明 圆心C1,-1到直线l的距离d=,圆C的半径R=2,R2-d2=12-=,而在S=11k2-4k+8中,Δ=-42-4×11×80,故11k2-4k+80对k∈R恒成立,所以R2-d20,即dR,所以不论k为何实数,直线l和圆C总有两个交点.2解 由平面几何知识,知|AB|=2=2,下同法一.法三 1证明 因为不论k为何实数,直线l总过点P0,1,而|PC|=2=R,所以点P01在圆C的内部,即不论k为何实数,直线l总经过圆C内部的定点P.所以不论k为何实数,直线l和圆C总有两个交点.2解 由平面几何知识知过圆内定点P01的弦,只有和PCC为圆心垂直时才最短,而此时点P01为弦AB的中点,由勾股定理,知|AB|=2=2,即直线l被圆C截得的最短弦长为
2.能力提升题组建议用时25分钟11.已知圆C1x-a2+y+22=4与圆C2x+b2+y+22=1相外切,则ab的最大值为 A. B. C. D.2解析 由两圆相外切可得圆心a,-2,-b,-2之间的距离等于两圆半径之和,即a+b2=9=a2+b2+2ab≥4ab,所以ab≤,即ab的最大值是当且仅当a=b时取等号,故选C.答案 C12.圆x-32+y-32=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个解析 因为圆心到直线的距离为=2,又因为圆的半径为3,所以直线与圆相交,由数形结合知,圆上到直线的距离为1的点有3个.答案 C13.已知两圆C1x2+y2-2x+10y-24=0,C2x2+y2+2x+2y-8=0,则以两圆公共弦为直径的圆的方程是________________.解析 圆C1的圆心为1,-5,半径为,圆C2的圆心为-1,-1,半径为,则两圆心连线的直线方程为2x+y+3=0,由两圆方程作差得公共弦方程为x-2y+4=0,两直线的交点-21即为所求圆的圆心,由垂径定理可以求得半径为,即所求圆的方程为x+22+y-12=
5.答案 x+22+y-12=514.xx·新课标全国Ⅰ卷已知点P22,圆C x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.1求M的轨迹方程;2当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积.解 1圆C的方程可化为x2+y-42=16,所以圆心为C04,半径为
4.设Mx,y,则=x,y-4,=2-x2-y.由题设知·=0,故x2-x+y-42-y=0,即x-12+y-32=
2.由于点P在圆C的内部,所以M的轨迹方程是x-12+y-32=
2.2由1可知M的轨迹是以点N13为圆心,为半径的圆.由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,又P在圆N上,从而ON⊥PM.因为ON的斜率为3,所以l的斜率为-,故l的方程为x+3y-8=
0.又|OM|=|OP|=2,O到l的距离为,所以|PM|=,S△POM=××=,故△POM的面积为.。