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2019-2020年高考数学一轮复习第二讲抛物线习题理新人教A版1.[xx·安徽卷]抛物线y=x2的准线方程是 A.y=-1B.y=-2C.x=-1D.x=-2答案A [解析]因为抛物线y=x2的标准方程为x2=4y,所以其准线方程为y=-
1.2.[xx·全国新课标卷Ⅰ]已知抛物线C y2=x的焦点为F,Ax0,y0是C上一点,|AF|=x0,则x0= A.1B.2C.4D.8答案A [解析]由抛物线方程y2=x,知p=,又因为|AF|=x0+=x0+=x0,所以得x0=
1.3.[xx·辽宁卷]已知点A-2,3在抛物线C y2=2px的准线上,记C的焦点为F,则直线AF的斜率为 A.-B.-1C.-D.-答案C [解析]因为抛物线C y2=2px的准线为x=-,且点A-2,3在准线上,故=-2,解得p=4,所以y2=8x,所以焦点F的坐标为2,0,这时直线AF的斜率kAF==-.4.[xx·湖南卷]平面上一机器人在行进中始终保持与点F1,0的距离和到直线x=-1的距离相等.若机器人接触不到过点P-1,0且斜率为k的直线,则k的取值范围是________.答案-∞,-1∪1,+∞ [解析]依题意可知机器人运行的轨迹方程为y2=4x.设直线l y=kx+1,联立消去y得k2x2+2k2-4x+k2=0,由Δ=2k2-42-4k4<0,得k2>1,解得k<-1或k>
1.5.[xx·新课标全国卷Ⅱ]设F为抛物线C y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,则|AB|= A.B.6C.12D.7答案C [解析]抛物线的焦点坐标为F,直线AB的斜率k=tan30°=,所以直线AB的方程为y=x-.由得x2-x+=0,故x1+x2=,x1x2=.所以|AB|=·|x1-x2|=·=
12.6.[xx·株洲模拟]已知直线y=x-2与圆x2+y2-4x+3=0及抛物线y2=8x依次交于A,B,C,D四点,则|AB|+|CD|等于 A.10B.12C.14D.16答案C [解析]由题可知直线y=x-2过圆心2,0,抛物线的焦点为2,0.由得x2-12x+4=
0.设Ax1,y1,Dx2,y2,则x1+x2=12,x1x2=4,所以|AD|====16,故|AB|+|CD|=|AD|-2=
14.7.xx·山东高考抛物线C1y=x2p>0的焦点与双曲线C2-y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线,则p= A.B.C.D.【解析】 作出草图,数形结合,建立方程求解.∵双曲线C2-y2=1,∴右焦点为F20,渐近线方程为y=±x.抛物线C1y=x2p>0,焦点为F′.设Mx0,y0,则y0=x.∵kMF′=kFF′,∴=.
①又∵y′=x,∴y′|x=x0=x0=.
②由
①②得p=.【答案】 D8.xx·辽宁高考已知P,Q为抛物线x2=2y上两点,点P,Q的横坐标分别为4,-2,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为________.【解析】 因为y=x2,所以y′=x,易知P48,Q-22,所以在P、Q两点处切线的斜率的值为4或-
2.所以这两条切线的方程为l14x-y-8=0,l22x+y+2=0,将这两个方程联立方程组求得y=-
4.【答案】 -4备选9.[xx·四川卷]已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,·=2其中O为坐标原点,则△ABO与△AFO面积之和的最小值是 A.2B.3C.D.答案B [解析]由题意可知,F.设Ay,y1,By,y2,∴·=y1y2+yy=2,解得y1y2=1或y1y2=-
2.又因为A,B两点位于x轴两侧,所以y1y2<0,即y1y2=-
2.当y≠y时,AB所在直线方程为y-y1=eq\fy1-y2y-yx-y=x-y,令y=0,得x=-y1y2=2,即直线AB过定点C2,0.于是S△ABO+S△AFO=S△ACO+S△BCO+S△AFO=×2|y1|+×2|y2|+×|y1|=9|y1|+8|y2|≥×2=3,当且仅当9|y1|=8|y2|且y1y2=-2时,等号成立.当y=y时,取y1=,y2=-,则AB所在直线的方程为x=2,此时求得S△ABO+S△AFO=2××2×+××=.而3,故选B.10.[xx·湖北卷]在平面直角坐标系xOy中,点M到点F1,0的距离比它到y轴的距离多
1.记点M的轨迹为C.1求轨迹C的方程;2设斜率为k的直线l过定点P-2,1,求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.解1设点Mx,y,依题意得|MF|=|x|+1,即=|x|+1,化简整理得y2=2|x|+x.故点M的轨迹C的方程为y2=2在点M的轨迹C中,记C1y2=4xx≥0,C2y=0x0.依题意,可设直线l的方程为y-1=kx+2.由方程组可得ky2-4y+42k+1=
0.
①当k=0时,y=
1.把y=1代入轨迹C的方程,得x=.故此时直线l y=1与轨迹C恰好有一个公共点.当k≠0时,方程
①的判别式Δ=-162k2+k-1.
②设直线l与x轴的交点为x0,0,则由y-1=kx+2,令y=0,得x0=-.
③i若由
②③解得k-1或k.即当k∈-∞,-1∪时,直线l与C1没有公共点,与C2有一个公共点,故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点.ii若或由
②③解得k∈或-≤k
0.即当k∈时,直线l与C1只有一个公共点,与C2有一个公共点.当k∈时,直线l与C1有两个公共点,与C2没有公共点.故当k∈∪时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点.iii若由
②③解得-1k-或0k.即当k∈∪时,直线l与C1有一个公共点,与C2有一个公共点,故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点.综上所述,当k∈-∞,-1∪∪{0}时,直线l与轨迹C恰好有一个公共点;当k∈∪时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点;当k∈∪时,直线l与轨迹C恰好有三个公共点.。