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2019-2020年高考数学一轮复习第二讲抛物线讲练理新人教A版
一、抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线ll不经过点F距离相等的点的轨迹叫做抛物线.
二、抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2=2pxp0y2=-2pxp0x2=2pyp0x2=-2pyp0图形范围x≥0,y∈Rx≤0,y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R焦点坐标准线方程x=-x=y=-y=离心率e=1焦半径|PF|=x0+|PF|=-x0+|PF|=y0+|PF|=-y0+抛物线的焦半径抛物线y2=2pxp>0上一点Px0,y0到焦点F的距离|PF|=x0+.基础自测1.若抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是 A. B. C. D.0【解析】 M到准线的距离等于M到焦点的距离,又准线方程为y=-,设Mx,y,则y+=1,∴y=.【答案】 B2.设抛物线的顶点在原点,准线方程为x=-2,则抛物线的方程是 A.y2=-8xB.y2=8xC.y2=-4xD.y2=4x【解析】 因为抛物线的准线方程为x=-2,所以=2,所以p=4,所以抛物线的方程是y2=8x.所以选B.【答案】 B3.已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线上的点Pm,-2到焦点的距离为4,则m的值为 A.4B.-2C.4或-4D.12或-2【解析】 设抛物线方程为x2=-2pyp>0,由题意知+2=4,∴p=4,∴抛物线方程为x2=-8y,∴m2=16,∴m=±
4.【答案】 C4.双曲线-=1的左焦点在抛物线y2=2px的准线上,则p的值为________.【解析】 双曲线的左焦点坐标为,抛物线的准线方程为x=-,∴-=-,∴p2=16,又p>0,则p=
4.【答案】 45.xx·四川高考抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-=1的渐近线的距离是 A.B.C.1D.【解析】 由题意可得抛物线的焦点坐标为10,双曲线的渐近线方程为x-y=0或x+y=0,则焦点到渐近线的距离d1==或d2==.【答案】 B6.xx·北京高考若抛物线y2=2px的焦点坐标为10,则p=________;准线方程为________.【解析】 ∵抛物线y2=2px的焦点坐标为,∴准线方程为x=-.又抛物线焦点坐标为10,故p=2,准线方程为x=-
1.【答案】 2 x=-1考点一 抛物线的定义及标准方程例1设圆C与圆C′x2+y-32=1外切,与直线y=0相切,则C的圆心轨迹为 A.抛物线 B.双曲线C.椭圆D.圆
(2)xx·山东高考已知双曲线C1-=1a0,b0的离心率为
2.若抛物线C2x2=2pyp0的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为 A.x2=yB.x2=yC.x2=8yD.x2=16y 解析1设圆C的半径为r,又圆x2+y-32=1的圆心C′03,半径为
1.依题意|CC′|=r+1,圆心C到直线y=0的距离为r,∴|CC′|等于圆心C到直线y=-1的距离r+1.故圆C的圆心轨迹是抛物线.2∵双曲线C1-=1a0,b0的离心率为2,∴==2,∴b=a,∴双曲线的渐近线方程为x±y=0,∴抛物线C2x2=2pyp0的焦点到双曲线的渐近线的距离为=2,∴p=
8.∴所求的抛物线方程为x2=16y.方法技巧若Px0,y0为抛物线y2=2pxp>0上一点,由定义易得|PF|=x0+;若过焦点的弦AB的端点坐标为Ax1,y1,Bx2,y2,则弦长为|AB|=x1+x2+p,x1+x2可由根与系数的关系整体求出;若遇到其他标准方程,则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到.跟踪练习设斜率为2的直线l过抛物线y2=axa≠0的焦点F,且和y轴交于点A.若△OAFO为坐标原点的面积为4,则抛物线方程为 A.y2=±4x B.y2=±8xC.y2=4xD.y2=8x【解析】 由抛物线方程知焦点F,∴直线l为y=2,与y轴交点A.∴S△OAF=|OA|·|OF|=··==
4.∴a=±8,∴抛物线方程为y2=±8x.【答案】 B考点二抛物线的几何性质例已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A、B两点,|AB|=12,P为C的准线上一点,则△ABP的面积为 A.18 B.24 C.36 D.48解析设抛物线方程为y2=2px,当x=时,y2=p2,∴|y|=p,∴p===6,又点P到AB的距离始终为6,∴S△ABP=×12×6=
36.跟踪练习(2011辽宁)已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为 A.B.1C.D.解析根据抛物线定义与梯形中位线定理,得线段AB中点到y轴的距离为|AF|+|BF|-=-=.答案C考点三直线与抛物线位置关系例xx·陕西高考已知动圆过定点A40,且在y轴上截得弦MN的长为
8.1求动圆圆心的轨迹C的方程;2已知点B-10,设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是∠PBQ的角平分线,证明直线l过定点.【思路点拨】 1利用曲线方程的求法求解轨迹方程,但要注意结合图形寻求等量关系;2设出直线方程,结合直线与圆锥曲线的位置关系转化为方程的根与系数的关系求解,要特别注意判别式与位置关系的联系.图
①【尝试解答】 1如图
①,设动圆圆心O1x,y,由题意,|O1A|=|O1M|.当O1不在y轴上时,过O1作O1H⊥MN交MN于H,则H是MN的中点,∴|O1M|=又|O1A|=,∴=.化简得,y2=8xx≠0.当O1在y轴上时,O1与O重合,点O1的坐标00也满足方程y2=8x,∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2=8x.图
②2证明如图
②,由题意,设直线l的方程为y=kx+bk≠0,Px1,y1,Qx2,y2,将y=kx+b代入y2=8x中,得k2x2+2bk-8x+b2=
0.其中Δ=-32kb+
640.由根与系数的关系得,x1+x2=,
①x1x2=.
②∵x轴是∠PBQ的角平分线,∴=-,即y1x2+1+y2x1+1=0,∴kx1+bx2+1+kx2+bx1+1=0,∴2kx1x2+b+kx1+x2+2b=0,
③将
①②代入
③并整理得2kb2+k+b8-2bk+2k2b=0,∴k=-b,此时Δ0,∴直线l的方程为y=kx-1,即直线过定点10.规律方法3 解决抛物线与直线的相交问题,一般采取下面的处理方法设抛物线方程为y2=2pxp>0,直线方程为Ax+By+C=0,将直线方程与抛物线方程联立,消去x得到关于y的方程my2+ny+q=
0.m≠0Δ>0直线与抛物线有两个公共点Δ=0直线与抛物线只有一个公共点Δ<0直线与抛物线没有公共点m=0直线与抛物线只有一个公共点,此时直线平行于抛物线的对称轴跟踪练习 已知抛物线C y2=2pxp>0过点A1,-2.1求抛物线C的方程,并求其准线方程;2是否存在平行于OAO为坐标原点的直线l,使得直线l与抛物线C有公共点,且直线OA与l的距离等于?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.【解】 1将A1,-2代入y2=2px,得-22=2p·1,所以p=
2.故所求的抛物线C的方程为y2=4x,其准线方程为x=-
1.2假设存在符合题意的直线l,其方程为y=-2x+t.由得y2+2y-2t=
0.因为直线l与抛物线C有公共点,所以Δ=4+8t≥0,解得t≥-.另一方面,由直线OA与l的距离d=可得=,解得t=±
1.因为-1∉,1∈,所以符合题意的直线l存在,其方程为2x+y-1=
0.。