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2019-2020年高考数学一轮复习第八章立体几何第57课立体几何中的翻折问题文(含解析)【例1】(xx越秀质检)如图,菱形的边长为,,.将菱形沿对角线折起,得到三棱锥,点是棱的中点,.
(1)求证∥平面;
(2)求证平面平面;
(3)求三棱锥的体积.【解析】
(1)证明∵为的中点,为的中点,∴∥.∵平面,平面,∴∥平面.
(2)∵在菱形中,,∴在三棱锥中,.在菱形中,,,∴.∵为的中点,∴.∵为的中点,为的中点,∴.∵,∴,即.∵,∴平面.∵平面,∴平面平面.
(3)由
(2)得,平面,∴是三棱锥的高.∵,,∴.【例2】(xx珠海质检)在边长为的正方形中,、分别为、的中点,、分别为、的中点,现沿、、折叠,使、、三点重合,构成一个三棱锥.
(1)判别与平面的位置关系,并给出证明;
(2)证明平面;
(3)求多面体的体积.【解析】
(1)∥平面,证明如下因翻折后、、三点重合(如图),∴为的一条中位线,∴∥,∵平面,平面∴∥平面.
(2)∵,,∴平面.
(3)∵,∴,又∵,∴.第57课立体几何中的翻折问题课后作业
1.(xx广东高考)如图1,在边长为的等边三角形中,分别是边上的点,,是的中点,与交于点,将沿折起,得到如图2所示的三棱锥,其中.
(1)证明:平面;
(2)证明:平面;
(3)当时,求三棱锥的体积.【解析】1在图中,由翻折不变性可知,,∴,∴,∵平面,平面,∴平面.
(2)在图中,∵,,,∴又,,∴平面.
(3)∵,由
(2)知平面,∴平面,∴平面,依题意可得,,∴,∴三棱锥的体积.
2.xx南海质检如图,边长为2的正方形中,点是的中点,点是的中点,将△、△分别沿、折起,使、两点重合于点,连接,.
(1)求证;
(2)求三棱锥的体积与点到平面的距离.【解析】
(1)在正方形中,有,,则,,又,∴平面.而平面,∴.
(2)∵正方形的边长为2,点是的中点,点是的中点,∴.∵,∴.在中,,∴.而,∴.∴.由
(1)得平面,且,∴.设点到平面的距离为,则,∴.∴点到平面的距离为.
3.(由xx年高考改编)设数列的前项和为,满足.
(1)求的值;
(2)求证数列是等比数列,并求数列的通项公式.
(3)设,求数列的前项和【解析】
(1)当时,,∵,∴,∴,2∵当时,∴,∴,∴数列是以为首项,为公比的等比数列,∴,∴,∵,∴数列的通项公式为,.图1图2。