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文本内容:
2019-2020年高考数学一轮总复习
2.4函数的奇偶性与周期性练习
一、选择题1.xx·深圳调研下列函数中,为奇函数的是 A.y=2x+B.y=x,x∈{01}C.y=x·sinxD.y=解析 A中函数是偶函数;B中函数是非奇非偶函数;C中函数是偶函数;D中函数是奇函数.答案 D2.函数fx=lnx2 A.是偶函数且在-∞,0上单调递增B.是偶函数且在0,+∞上单调递增C.是奇函数且在0,+∞上单调递减D.是奇函数且在-∞,0上单调递减解析 函数fx的定义域为x≠0,当x0时,fx=lnx2=2lnx,∴fx在0,+∞上单调递增,又f-x=ln-x2=lnx2=fx,∴fx为偶函数.答案 B3.若函数fx=是奇函数,则a的值为 A.0B.1C.2D.4解析 由f-1=-f1,得=,∴-1+a2=1+a2解得a=
0.答案 A4.已知fx在R上是奇函数,且满足fx+4=fx,当x∈02时,fx=2x2,则f7等于 A.-2B.2C.-98D.98解析 ∵fx+4=fx,∴fx是周期为4的函数.∴f7=f2×4-1=f-1.又∵fx在R上是奇函数,∴f-x=-fx.∴f-1=-f1.而当x∈02时,fx=2x2,∴f1=2×12=
2.∴f7=f-1=-f1=-
2.故选A.答案 A5.函数fx满足fx·fx+2=13,若f1=2,则f99等于 A.13B.2C.D.解析 ∵fx·fx+2=13,∴fx+2=,则fx=,故fx·fx+2=·=13,即fxfx-2=13,∴fx+2=fx-2,故函数fx的周期为4,∴f99=f3==.答案 D6.设fx是奇函数,且在0,+∞内是增函数,又f-3=0,则x·fx0的解集是 A.{x|-3x0,或x3}B.{x|x-3,或0x3}C.{x|x-3,或x3}D.{x|-3x0,或0x3}解析 由x·fx0,得或而f-3=0,f3=0,即或所以x·fx0的解集是{x|-3x0,或0x3}.答案 D
二、填空题7.函数fx在R上为奇函数,且x0时,fx=+1,则当x0时,fx=________.解析 ∵fx为奇函数,x0时,fx=+1,∴当x0时,-x0,fx=-f-x=-+1,即x0时,fx=-+1=--
1.答案 --18.已知函数y=fx+x3为偶函数,且f10=10,若函数gx=fx+4,则g-10=________.解析 设hx=fx+x3,由题意可得hx为偶函数,所以h-10=h10,即f-10+-103=f10+103,故f-10=f10+2×103=2010,所以g-10=f-10+4=
2014.答案 20149.已知函数fx为定义在R上的奇函数,当x≥0时,都有ffx=2014,且当x∈时,fx=log22x+1,则f-2015+f2013=________.解析 因为函数fx为奇函数且f0有定义,故f0=0,且f-2015=-f2015.当x≥0时,由ffx=2014,可得f=,故fx+3==fx.可得f2015=f3×671+2=f2,f2013=f3×671=f0.由已知f0=0,而f2=f=,又f=log2=log22=1,所以f2==2014,即f2015=2014,故f-2015=-
2014.综上,f-2015+f2013=-2014+0=-
2014.答案 -2014
三、解答题10.判断下列函数的奇偶性.1fx=x3-.2fx=+.3fx=解 1原函数的定义域为{x|x≠0},并且对于定义域内的任意一个x都有f-x=-x3-=-=-fx,从而函数fx为奇函数.2fx的定义域为{-11},关于原点对称.又f-1=f1=0,f-1=-f1=0,所以fx既是奇函数又是偶函数.3fx的定义域为R,关于原点对称,当x0时,f-x=--x2-2=-x2+2=-fx;当x0时,f-x=-x2+2=--x2-2=-fx;当x=0时,f0=0,也满足f-x=-fx.故该函数为奇函数.11.xx·曲阜师大附中质检定义域为[-11]的奇函数fx满足fx=fx-2,且当x∈01时,fx=2x+.1求fx在[-11]上的解析式;2求函数fx的值域.解 1当x=0时,f0=-f0,故f0=
0.当x∈-10时,-x∈01,fx=-f-x=--2x+=2x-.若x=-1时,f-1=-f1.又f1=f1-2=f-1,故f1=-f1,得f1=0,从而f-1=-f1=
0.综上,fx=2∵x∈01时,fx=2x+,∴f′x=2+>0,故fx在01上单调递增.∴fx∈03.∵fx是定义域为[-11]上的奇函数,且f0=f1=f-1=0,∴当x∈[-11]时,fx∈-33.∴fx的值域为-33.1.设定义在R上的奇函数y=fx,满足对任意t∈R,都有ft=f1-t,且x∈时,fx=-x2,则f3+f的值等于 A.-B.-C.-D.-解析 由ft=f1-t,得f1+t=f-t=-ft.所以f2+t=-f1+t=ft,所以fx的周期为
2.又f1=f1-1=f0=0,所以f3+f=f1+f=0-2=-.故选C.答案 C2.若函数fx是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞上是单调增函数.如果实数t满足flnt+f2f1时,那么t的取值范围是________.解析 因为函数fx是偶函数,所以f=f-lnt=flnt=f|lnt|.则有flnt+f2f1⇒2flnt2f1⇒f|lnt|f1⇒|lnt|1⇒te.答案 3.已知fx,gx分别是定义在R上的奇函数和偶函数,且fx-gx=x,则f1,g0,g-1之间的大小关系是________.解析 在fx-gx=x中,用-x替换x,得f-x-g-x=2x,由于fx,gx分别是定义在R上的奇函数和偶函数,所以f-x=-fx,g-x=gx,因此得-fx-gx=2x.于是解得fx=,gx=-,于是f1=-,g0=-1,g-1=-,故f1g0g-1.答案 f1g0g-14.定义在R上的函数fx对任意a,b∈R都有fa+b=fa+fb+kk为常数.1判断k为何值时fx为奇函数,并证明;2设k=-1,fx是R上的增函数,且f4=5,若不等式fmx2-2mx+33对任意x∈R恒成立,求实数m的取值范围.解 1若fx在R上为奇函数,则f0=0,令x=y=0,则f0+0=f0+f0+k,∴k=
0.证明令a=b=0,由fa+b=fa+fb,得f0+0=f0+f0,即f0=
0.令a=x,b=-x,则fx-x=fx+f-x,又f0=0,则有0=fx+f-x,即f-x=-fx对任意x∈R成立,∴fx是奇函数.2∵f4=f2+f2-1=5,∴f2=
3.∴fmx2-2mx+33=f2对任意x∈R恒成立.又fx是R上的增函数,∴mx2-2mx+32对任意x∈R恒成立,即mx2-2mx+10对任意x∈R恒成立,当m=0时,显然成立;当m≠0时,由得0m
1.∴实数m的取值范围是[01.。