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2019-2020年高考数学一轮总复习
8.5椭圆练习
一、选择题1.已知△ABC的顶点B,C在椭圆+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是 A.2B.6C.4D.12解析 由椭圆的定义知|BA|+|BF|=|CA|+|CF|=2aF是椭圆的另外一个焦点,∴周长为4a=
4.答案 C2.椭圆+=1的离心率为,则k的值为 A.-21B.21C.-或21D.或21解析 若a2=9,b2=4+k,则c=,由=,即=,解得k=-;若a2=4+k,b2=9,则c=,由=,即=,解得k=
21.答案 C3.已知椭圆+=1,长轴在y轴上.若焦距为4,则m等于 A.4B.5C.7D.8解析 将椭圆的方程转化为标准形式为+=1,显然m-210-m,即m6,且2-2=22,解得m=
8.答案 D4.xx·烟台质检一个椭圆中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,P2,是椭圆上一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则椭圆方程为 A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1解析 设椭圆的标准方程为+=1ab0.由点2,在椭圆上知+=
1.又|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则|PF1|+|PF2|=2|F1F2|,即2a=2·2c,=.又c2=a2-b2,联立解得a2=8,b2=
6.答案 A5.xx·北京海淀期末已知椭圆C+=1的左、右焦点分别为F1,F2,椭圆C上点A满足AF2⊥F1F
2.若点P是椭圆C上的动点,则·的最大值为 A.B.C.D.解析 由椭圆方程知c==1,所以F1-10,F21,0,因为椭圆C上点A满足AF2⊥F1F2,则可设A1,y0,代入椭圆方程可得y=,所以y0=±.设Px1,y1,则=x1+1,y1,=0,y0,所以·=y1y
0.因为点P是椭圆C上的动点,所以-≤y1≤,·的最大值为.故B正确.答案 B6.已知椭圆C1+=1ab0与圆C2x2+y2=b2,若在椭圆C1上存在点P,使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直,则椭圆C1的离心率的取值范围是 A.B.C.D.解析 椭圆上长轴端点向圆外引两条切线P′A,P′B,则两切线形成的角∠AP′B最小,若椭圆C1上存在点P令切线互相垂直,则只需∠AP′B≤90°,即α=∠AP′O≤45°.∴sinα=≤sin45°=,解得a2≤2c2,∴e2≥,即e≥,而0e1,∴≤e1,即e∈.答案 C
二、填空题7.若方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数a的取值范围是________.解析 因为方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,所以|a|-1a+30,解得-3a-
2.答案 -3,-28.已知椭圆C+=1ab0的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF.若|AB|=10,|AF|=6,cos∠ABF=,则C的离心率e=________.解析 设椭圆的右焦点为F1,在△ABF中,由余弦定理可解得|BF|=8,所以△ABF为直角三角形,又因为斜边AB的中点为O,所以|OF|=c=5,连接AF1,因为A,B关于原点对称,所以|BF|=|AF1|=8,所以2a=14,a=7,所以离心率e=.答案 9.xx·江西卷过点M11作斜率为-的直线与椭圆C+=1ab0相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率为________.解析 依题意设Ax1,y1,Bx2,y2,则x1+x2=2,y1+y2=2,+=1,+=1,∴+=0,=-=-=.∴e==.答案
三、解答题10.已知椭圆的两焦点为F1-
10、F210,P为椭圆上一点,且2|F1F2|=|PF1|+|PF2|.1求此椭圆的方程;2若点P在第二象限,∠F2F1P=120°,求△PF1F2的面积.解 1依题意得|F1F2|=2,又2|F1F2|=|PF1|+|PF2|,∴|PF1|+|PF2|=4=2a.∴a=2,c=1,b2=
3.∴所求椭圆的方程为+=
1.2设P点坐标为x,y,∵∠F2F1P=120°,∴PF1所在直线的方程为y=x+1·tan120°,即y=-x+1.解方程组并注意到x0,y0,可得∴S△PF1F2=|F1F2|·=.11.xx·江苏卷如图,在平面直角坐标系xOy中,F1,F2分别是椭圆+=1ab0的左、右焦点,顶点B的坐标为0,b,连接BF2并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连接F1C.1若点C的坐标为,且BF2=,求椭圆的方程;2若F1C⊥AB,求椭圆离心率e的值.解 设椭圆的焦距为2c,则F1-c0,F2c0.1因为B0,b,所以BF2==a.又BF2=,故a=.因为点C在椭圆上,所以+=
1.解得b2=
1.故所求椭圆的方程为+y2=
1.2因为B0,b,F2c0在直线AB上,所以直线AB的方程为+=
1.解方程组得所以点A的坐标为.又AC垂直于x轴,由椭圆的对称性,可得点C的坐标为.因为直线F1C的斜率为=,直线AB的斜率为-,且F1C⊥AB,所以·=-
1.又b2=a2-c2,整理得a2=5c
2.故e2=.因此e=.1.已知椭圆+=10b2,左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交椭圆于A,B两点,若|BF2|+|AF2|的最大值为5,则b的值是 A.1B.C.D.解析 由题意知a=2,所以|BF2|+|AF2|+|AB|=4a=8,因为|BF2|+|AF2|的最大值为5,所以|AB|的最小值为3,当且仅当AB⊥x轴时,取得最小值,此时A,B,代入椭圆方程得+=1,又c2=a2-b2=4-b2,所以+=1,即1-+=1,所以=,解得b2=3,所以b=.答案 D2.以F1-10,F210为焦点且与直线x-y+3=0有公共点的椭圆中,离心率最大的椭圆方程是 A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1解析 由于c=1,所以离心率最大即为长轴最小.点F1-10关于直线x-y+3=0的对称点为F′-32,设点P为直线与椭圆的公共点,则2a=|PF1|+|PF2|=|PF′|+|PF2|≥|F′F2|=
2.取等号时离心率取最大值,此时椭圆方程为+=
1.答案 C3.xx·安徽卷设F1,F2分别是椭圆E x2+=10b1的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点.若|AF1|=3|F1B|,AF2⊥x轴,则椭圆E的方程为________.解析 设点B的坐标为x0,y0.∵x2+=1,∴F1-,0,F2,0.∵AF2⊥x轴,∴A,b2.∵|AF1|=3|F1B|,∴=
3.∴-2,-b2=3x0+,y0.∴x0=-,y0=-.∴点B的坐标为.将B代入x2+=1,得b2=.∴椭圆E的方程为x2+y2=
1.答案 x2+y2=14.xx·陕西卷已知椭圆+=1ab0经过点0,,离心率为,左右焦点分别为F1-c0,F2c0.1求椭圆的方程;2若直线l y=-x+m与椭圆交于A,B两点,与以F1F2为直径的圆交于C,D两点,且满足=,求直线l的方程.解 1由题设知解得a=2,b=,c=
1.∴椭圆的方程为+=
1.2由题设知,以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1,∴圆心到直线l的距离d=.由d1得|m|.*∴|CD|=2=2=.设Ax1,y1,Bx2,y2,由得x2-mx+m2-3=
0.由根与系数的关系可得x1+x2=m,x1x2=m2-
3.∴|AB|==.由=得=1,解得m=±,满足*.∴直线l的方程为y=-x+或y=-x-.。