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2019-2020年高考数学一轮总复习坐标系与参数方程课时训练理(选修4-4)
1.xx·镇江期末求经过极坐标为O0,
0、A、B三点的圆的直角坐标方程.解将点的极坐标化为直角坐标,点O、A、B的直角坐标分别为0,
0、0,
6、6,6;∴△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形,∴经过O、A、B三点的圆的圆心为3,3,半径为3,∴圆的直角坐标方程为x-32+y-32=18,即x2+y2-6x-6y=
0.
2.在极坐标系中,直线ρsin=3被圆ρ=5截得的弦长是多少?解直线和圆转化为直角坐标方程分别为直线x+y=3,圆x2+y2=25,圆心到直线的距离为3,得弦长为
8.
3.在极坐标系中,求圆ρ=1上的点到直线ρcos=3的距离的最大值.解将直线和圆都化为直角坐标方程,直线x+y-6=0,圆x2+y2=1,圆心0,0到直线的距离为3,∴直线与圆上的点最大距离为
4.
4.在极坐标系下,求圆ρ=5cosθ-5sinθ的圆心的坐标.解圆心的直角坐标为,故圆心的极坐标为.答案不唯一
5.曲线的极坐标方程为ρ=tanθ·,求曲线的直角坐标方程.解ρ=tanθ·=,ρcos2θ=sinθ,ρ2cos2θ=ρsinθ,即曲线的直角坐标方程为x2=y.
6.xx·徐州二模在极坐标系中,已知圆A的圆心为4,0,半径为4,点M为圆A上异于极点O的动点,求弦OM中点的轨迹的极坐标方程.解由题意知,圆A的极坐标方程为ρ=8cosθ,设弦OM中点为Nρ,θ,则M2ρ,θ,因为点M在圆A上,所以2ρ=8cosθ,即ρ=4cosθ.又点M异于极点O,所以ρ≠0,所以弦OM中点的轨迹的极坐标方程为ρ=4cosθρ≠0.
7.极坐标系中,曲线ρ=-4sinθ与ρcosθ=1相交于点A、B,求AB的长.解在平面直角坐标系中,曲线ρ=-4sinθ和ρcosθ=1分别表示圆x2+=4和直线x=1,作图易知=
2.
8.xx·南京、盐城一模在极坐标系中,求曲线ρ=2cosθ关于直线θ=ρ∈R对称的曲线的极坐标方程.解解法1以极点为坐标原点,极轴为x轴建立直角坐标系,则曲线ρ=2cosθ的直角坐标方程为x-12+y2=1,且圆心C为1,0.直线θ=的直角坐标方程为y=x,因为圆心C1,0关于y=x的对称点为0,1,所以圆C关于y=x的对称曲线为x2+y-12=
1.所以曲线ρ=2cosθ关于直线θ=ρ∈R对称的曲线的极坐标方程为ρ=2sinθ.解法2设曲线ρ=2cosθ上任意一点为ρ′,θ′,其关于直线θ=对称点为ρ,θ,则将ρ′,θ′代入ρ=2cosθ,得ρ=2cos,即ρ=2sinθ.所以曲线ρ=2cosθ关于直线θ=ρ∈R对称的曲线的极坐标方程为ρ=2sinθ.
9.设点P在曲线ρsinθ=2上,点Q在曲线ρ=-2cosθ上,求|PQ|的最小值.解以极点为原点,极轴所在直线为x轴建立直角坐标系.将ρsinθ=2化为直角坐标方程,得直线方程y=
2.将ρ=-2cosθ化为直角坐标方程,得圆方程x+12+y2=
1.所以圆心-1,0到直线的距离为2,|PQ|的最小值为2-1=
1.
10.已知圆的极坐标方程为ρ2-4ρcos+6=0,以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系.1将圆的极坐标方程化为直角坐标方程;2若点Px,y在该圆上,求x2+y2的最大值和最小值.解1圆的极坐标方程化为ρ2-4ρcosθ-4ρsinθ+6=
0.直角坐标方程为x2+y2-4x-4y+6=
0.2由1知圆心2,2,半径r=,圆心到原点O的距离d=2,OPmax=3,OPmin=,所以x2+y2的最大值为18,最小值为
2.
11.在极坐标系中,O为极点,半径为2的圆C的圆心的极坐标为.1求圆C的极坐标方程;2P是圆C上一动点,点Q满足3=,以极点O为原点,以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系,求点Q的轨迹的直角坐标方程.解1设Mρ,θ是圆C上任一点,过点C作CH⊥OM于H点,则在Rt△COH中,OH=OC·cos∠COH.∵∠COH=∠=,OH=OM=ρ,OC=2,∴ρ=2cos,即所求的圆C的极坐标方程为ρ=4cos.2设点Q的极坐标为ρ,θ,∵3=,∴P的极坐标为,代入圆C的极坐标方程得ρ=4cos,即ρ=6cosθ+6sinθ,∴ρ2=6ρcosθ+6ρsinθ.令x=ρcosθ,y=ρsinθ,得x2+y2=6x+6y,∴点Q的轨迹的直角坐标方程为x2+y2-6x-6y=
0.第2课时 参数方程理科专用
1.曲线的参数方程是t为参数,t≠0,求它的普通方程.解1-x=,t=,而y=1-t2,则y=1-2=x≠1.
2.已知曲线C的极坐标方程为ρ=acosθa0,直线l的参数方程为t为参数,且直线l与曲线C相切.求a的值.解将曲线C的极坐标方程化成直角坐标方程为x2+y2=ax.将直线l的参数方程化成普通方程为y=x-1,联立方程,得消去y可得2x2-2+ax+1=
0.∵直线l与曲线C相切,∴Δ=2+a2-8=
0.又a0,∴a=2-1.
3.直线t为参数和圆x2+y2=16交于A、B两点,求AB的中点坐标.解由2+2=16,得t2-8t+12=0,t1+t2=8,=
4.中点为即AB中点坐标为3,-.
4.已知圆的参数方程为θ为参数,求此圆的半径.解由得x2+y2=25,则圆的半径为
5.
5.已知直线与圆相切,求直线的倾斜角.解直线为y=xtanθ,圆为x-42+y2=4,作出图形,相切时,易知倾斜角为或.
6.xx·江苏在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程t为参数,直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点,求线段AB的长.解将直线l的参数方程代入抛物线方程y2=4x,得=4,解得t1=0,t2=-
8.所以AB=|t1-t2|=
8.
7.xx·扬州期末已知直线l的极坐标方程是ρcos=4,圆M的参数方程是θ是参数.1将直线的极坐标方程化为普通方程;2求圆上的点到直线l上点距离的最小值.解1由ρcos=4,得ρcosθ-ρsinθ=4,即x-y-8=
0.2由消去参数θ,得x-12+y+12=2,故圆的圆心为M1,-1,半径为,所以圆心M到直线l的距离为d==3,所以圆上的点到直线l上点的距离的最小值是3-=
2.
8.xx·南京二模在平面直角坐标系xOy中,已知M是椭圆+=1上在第一象限的点,A2,
0、B0,2是椭圆两个顶点,求四边形OAMB面积的最大值.解设M2cosθ,2sinθ,θ∈.由题知OA=2,OB=2,所以四边形OAMB的面积S=×OA×2sinθ+×OB×2cosθ=2sinθ+2cosθ=2sin.所以当θ=时,四边形OAMB的面积的最大值为
2.
9.已知直线l经过点P1,1,倾斜角α=.1写出直线l的参数方程;2设l与圆x2+y2=4相交于两点A、B,求点P到A、B两点的距离之积.解1直线的参数方程为即2把直线代入x2+y2=4,得2+2=4,化简,得t2++1t-2=0,故t1t2=-2,则点P到A、B两点的距离之积为
2.
10.已知直线l的参数方程为t为参数,曲线C的参数方程为θ为参数.1将曲线C的参数方程转化为普通方程;2若直线l与曲线C相交于A、B两点,试求线段AB的长.解1由得故曲线C的普通方程为x2+y2=
16.2解法1把t为参数代入方程x2+y2=16,得t2+8t+36=0,∴t1+t2=-8,t1t2=
36.∴线段AB的长为|AB|=|t1-t2|==
4.解法2由t为参数,得l的普通方程为x-y+4=
0.由1知圆心的坐标为0,0,圆的半径R=4,∴圆心到直线l的距离d==2,∴|AB|=2=2=
4.
11.已知曲线C的极坐标方程是ρ=1,以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为t为参数.1写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程;2设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′,设曲线C′上任一点为Mx,y.求x+2y的最小值.解1l y-2=x-1;C x2+y2=
1.2曲线C′+y2=
1.令则x+2y=3cosθ+2sinθ=sinθ+φ.所以x+2y的最小值是-.。