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2019-2020年高考数学一轮总复习第七章推理与证明课时训练理
1.一个同学在电脑中打出如下图形○表示空心圆,●表示实心圆○●○○●○○○●○○○○,若将此若干个圆依此规律继续下去,得到一系列的圆,那么前xx个圆中实心圆的个数为________.答案61解析将这些圆分段处理,第一段两个圆,第二段三个圆,第三段四个圆,…可以看出每一段的最后一个圆都是实心圆,由于本题要求前xx个圆中实心圆的个数,因此,找到第xx个圆所在的段数很重要,由2+3+…+62=×61=1952xx,而2+3+…+63=×62=xxxx,因此,共有61个实心圆.
2.已知f1x=sinx+cosx,fn+1x是fnx的导函数,即f2x=f′1x,f3x=f′2x,…,fn+1x=f′nx,n∈N*,则f2014x=________.答案cosx-sinx解析f2x=f′1x=cosx-sinx;f3x=f′2x=-sinx-cosx;f4x=f′3x=-cosx+sinx;f5x=f′4x=sinx+cosx,则其周期为4,即fnx=fn+4x.fxxx=f2x=cosx-sinx.
3.已知=2,=3,=4,…,=2014,则=__________.答案2014解析由题意对于=2,此时n=7,m=2,所以==2;对于=3,此时m=3,n=26,所以==3;对于=4,此时m=4,n=63,所以==4;发现m的值是等号左边根号下和式前面的数,而化简后的结果就是m的值,所以=2014·中的m即为xx,所以此时=
2014.
4.在平面几何里有射影定理设△ABC的两边AB⊥AC,点D是点A在BC边上的射影,则AB2=BD·BC.拓展到空间,在四面体ABCD中,DA⊥平面ABC,点O是点A在平面BCD内的射影,且点O在平面BCD内,类比平面三角形射影定理,△ABC,△BOC,△BDC三者面积之间的关系为__________.答案S=S△BOC·S△BDC解析如图所示,依题意作出四面体ABCD.连结DO,并延长交BC于点E,连结AO、AE,则易知AO⊥DE,BC⊥AO.由DA⊥平面ABC,得DA⊥BC,又DA∩AO=A,所以BC⊥平面AED,所以DE⊥BC,AE⊥BC.又易知△AED为直角三角形,其中∠DAE=90°,AO为斜边ED上的高,所以由射影定理得AE2=EO·ED.又S△ABC=BC·AE,S△BOC=BC·EO,S△BDC=BC·DE,所以AE=,EO=,DE=.由AE2=EO·ED,得S=S△BOC·S△BDC.
5.已知命题在平面直角坐标系xOy中,△ABC的顶点A-p,0和Cp,0,顶点B在椭圆+=1mn0,p=上,椭圆的离心率是e,则=.试将该命题类比到双曲线中,给出一个真命题是________________________________________________________________________.答案在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A-p,0和Cp,0,顶点B在双曲线-=1m0,n0,p=上,双曲线的离心率是e,则=解析由正弦定理和椭圆定义==,类比双曲线应有==.
6.已知数列{an}是正项等差数列,若bn=,则数列{bn}也为等差数列.类比上述结论,已知数列{cn}是正项等比数列,若dn=________,则数列{dn}也为等比数列.答案c1·c·c·…·c解析由等差数列{an}的a1+2a2+…+nan的和,则等比数列{cn}可类比为c1·c22·…·cnn的积;对a1+2a2+…+nan求算术平均值,所以对c1·c22·…·cnn求几何平均值,所以类比结果为c1·c·c·…·c.
7.设函数fx=x0,观察f1x=fx=,f2x=ff1x=,f3x=ff2x=,f4x=ff3x=,….根据以上事实,由归纳推理可得当n∈N+且n≥2时,fnx=ffn-1x=________.答案解析观察知四个等式等号右边的分母为x+2,3x+4,7x+8,15x+16,即2-1x+2,4-1x+4,8-1x+8,16-1x+16,所以归纳出fnx=ffn-1x的分母为2n-1x+2n,故当n∈N+且n≥2时,fnx=ffn-1x=.
8.如图,一个类似杨辉三角的数阵,请写出第nn≥2行的第2个数为__________.答案n2-2n+3解析第nn≥2行的第2个数为3+3+5+7+…+[2n-2+1]=3+=n2-2n+
3.
9.xx·新课标全国Ⅰ甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A、B、C三个城市时,甲说我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说我没去过C城市;丙说我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为__________.答案A解析由于甲没有去过B城市,乙没有去过C城市,但三人去过同一个城市,故三人去过的城市为A城市.又由于甲最多去过两个城市,且去过的城市比乙多,故乙只能去过一个城市,这个城市为A城市.
10.老师布置了一道作业题“已知圆C的方程是x2+y2=r2,求证经过圆C上一点Mx0,y0的切线方程为x0x+y0y=r2”,聪明的小明很快就完成了,完成后觉得该题很有意思,经过认真思考后大胆猜想出如下结论若圆C的方程是x-a2+y-b2=r2,则经过圆C上一点Mx0,y0的切线方程为x0-ax-a+y0-by-b=r
2.你认为小明的猜想正确吗?若正确,请给出证明;若不正确,请说明理由.解小明的猜想正确.证法1若x0≠a,y0≠b,则因圆C的方程是x-a2+y-b2=r2,Mx0,y0是圆C上一点,所以直线MC的斜率为k1=.设过Mx0,y0的切线斜率为k,因为直线MC与切线l垂直,所以k=-=-,所以过Mx0,y0的切线l方程为y-y0=-x-x0,整理得x0-ax-a+y0-by-b=x0-a2+y0-b
2.又点Mx0,y0在圆C上,所以有x0-a2+y0-b2=r2,故此时过Mx0,y0的圆C的切线方程为x0-ax-a+y0-by-b=r
2.若x0=a或y0=b同时成立不合题意,则切线的斜率不存在或为0,可直观看出|y0-b|=r或|x0-a|=r,此时切线方程分别为y=y0或x=x0,适合x0-ax-a+y0-by-b=r
2.综上所述,过Mx0,y0的圆C的切线方程为x0-ax-a+y0-by-b=r
2.证法2设Px,y为切线上任一点,则=x0-x,y0-y,=x0-a,y0-b.又⊥,所以·=0,即x0-xx0-a+y0-yy0-b=
0.又x0-a2+y0-b2=r2,化简得x0-ax-a+y0-by-b=r2为所求切线.
11.某少数民族的刺绣有着悠久的历史,下图
1、
2、
3、4为她们刺绣最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣小正方形的摆放规律相同,设第n个图形包含fn个小正方形.1求出f5的值;2利用合情推理的“归纳推理思想”,归纳出fn+1与fn之间的关系式,并根据你得到的关系式求出fn的表达式;3求n≥2时+++…+的值.解1f5=
41.2因为f2-f1=4=4×1,f3-f2=8=4×2,f4-f3=12=4×3,f5-f4=16=4×4,…,由上式规律,所以得出fn+1-fn=4n.fn+1-fn=4nfn+1=fn+4nfn=fn-1+4n-1=fn-2+4n-1+4n-2=fn-3+4n-1+4n-2+4n-3=…=f1+4n-1+4n-2+4n-3+…+4=2n2-2n+
1.3当n≥2时,==,所以+++…+=1+·1-+-+-+…+-=1+=-.第2课时 直接证明与间接证明
1.在用反证法证明命题“已知a,b,c∈0,2,求证a2-b,b2-c,c2-a不可能都大于1”时,先假设__________________________.答案假设a2-b,b2-c,c2-a都大于1解析“不可能都大于1”的否定是“都大于1”.
2.设a>b>0,m=-,n=,则m、n的大小关系是____________.答案mn解析分析法-+ab+2+a-b2·
0.
3.在等比数列{an}中,a1=2,前n项和为Sn,若数列{an+1}也是等比数列,则Sn=________.答案2n解析因为数列{an}为等比数列,则an=2qn-
1.因为数列{an+1}也是等比数列,则an+1+12=an+1an+2+1a+2an+1=an·an+2+an+an+2an+an+2=2an+1an1+q2-2q=0q=1,即an=2,所以Sn=2n.
4.已知函数fx满足fa+b=fa·fb,f1=2,则+++=________.答案16解析根据fa+b=fa·fb得f2n=f2n,又f1=2,则=2,故+++=+++=
16.
5.对实数a和b,定义运算“”ab=设函数fx=x2-2x-x2,x∈R.若函数y=fx-c的图象与x轴恰有两个公共点,则实数c的取值范围是________.答案-∞,-2]∪解析画出函数图象可知实数c的取值范围是-∞,-2]∪.
6.已知两个非零向量a与b,定义ab=|a||b|sinθ,其中θ为a与b的夹角.若a+b=-3,6,a-b=-3,2,则ab=________.答案6解析a=-3,4,b=0,2,a·b=|a||b|·cosθ=5×2×cosθ=8,cosθ=,所以sinθ=,ab=5×2×=
6.
7.对于一切实数x,不等式x2+a|x|+1≥0恒成立,则实数a的取值范围是____________.答案[-2,+∞解析当x=0时不等式成立;用分离参数法得a≥-x≠0,而|x|+≥2,∴a≥-
2.
8.如果a+b>a+b,则a、b应满足的条件是____________.答案a≥0,b≥0且a≠b解析a+b>a+b-2+>0a≥0,b≥0且a≠b.
9.设二次函数fx=ax2+bx+ca≠0中,a、b、c均为整数,且f0,f1均为奇数.求证fx=0无整数根.证明设fx=0有一个整数根k,则ak2+bk=-c.
①∵f0=c,f1=a+b+c均为奇数,∴a+b为偶数,当k为偶数时,显然与
①式矛盾;当k为奇数时,设k=2n+1n∈Z,则ak2+bk=2n+1·2na+a+b为偶数,也与
①式矛盾,故假设不成立,所以方程fx=0无整数根.
10.已知二次函数fx=ax2+bx+ca>0的图象与x轴有两个不同的交点,若fc=0,且0<x<c时,fx>
0.1证明是fx=0的一个根;2试比较与c的大小;3证明-2<b<-
1.1证明∵fx的图象与x轴有两个不同的交点,∴fx=0有两个不等实根x1,x
2.∵fc=0,∴x1=c是fx=0的根.又x1x2=,∴x2=,∴是fx=0的一个根.2解假设<c,又>0,由0<x<c时,fx>0,知f>0与f=0矛盾,∴≥c.∵≠c,∴>c.3证明由fc=0,得ac+b+1=0,∴b=-1-ac.又a>0,c>0,∴b<-
1.二次函数fx的图象的对称轴方程为x=-=<=x2=,即-<.又a>0,∴b>-2,∴-2<b<-
1.
11.数列{an}中,a1=,an+1=a-an+
1.1求证=-;2设Sn=+++…+,n2,证明Sn
2.证明1证法1要证=-,只要证=-=,只要证an+1-1=anan-1,只要证an+1=a-an+1,根据已知条件,得证.证法2∵an+1=a-an+1=anan-1+1,∴an+1-1=anan-1,∴==-.∴=-.2由1知,=-,∴Sn=+++…+=++…+=-=2-.∵an+1-an=a-2an+1=an-12≥0,且a1=1,∴an+1an1,∴2-2,即Sn
2.第3课时 数学归纳法理科专用
1.利用数学归纳法证明“n+1n+2…n+n=2n×1×3×…×2n-1,n∈N*”时,从“n=k”变到“n=k+1”时,左边应增乘的因式是________.答案解析由题意知,n=k时,左边为k+1k+2…k+k;当n=k+1时,左边为k+2k+3…k+1+k+1;从而增加两项为2k+12k+2,且减少一项为k+1.
2.凸n边形有fn条对角线,则凸n+1边形对角线的条数fn+1为________.答案fn+n-1解析增加一个顶点,就增加n+1-3条对角线,另外原来的一边也变成了对角线,故fn+1=fn+1+n+1-3=fn+n-
1.
3.若数列{an}的通项公式an=,记cn=21-a11-a2…1-an,试通过计算c
1、c
2、c3的值,推测cn=________.答案解析c1=21-a1=2×=,c2=21-a11-a2=2××=,c3=21-a11-a21-a3=2×××=,由归纳推理得cn=.
4.用数学归纳法证明“1+++…+<nn∈N*,n>1”时,由n=kk>1不等式成立,推证n=k+1时,左边应增加的项数是________.答案2k解析增加的项数为2k+1-1-2k-1=2k+1-2k=2k.
5.用数学归纳法证明12+22+…+n-12+n2+n-12+…+22+12=时,由n=k的假设到证明n=k+1时,等式左边应添加的式子是________.答案k+12+k2解析分析等式变化规律可知左边实际增加的是k+12+k
2.
6.观察下列式子1+<,1++<,1+++<,…,则可归纳出____.答案1+++…+n∈N*解析1+,即1+;1++,即1++,归纳出1+++…+n∈N*.
7.用数学归纳法证明1+++…+n∈N*成立,其初始值至少应取________.答案8解析左边=1+++…+==2-,代入验证可知n的最小值是
8.
8.已知1+2×3+3×32+4×33+…+n×3n-1=3nna-b+c对一切n∈N*都成立,则a、b、c的值为____________.答案a=,b=c=解析∵等式对一切n∈N*均成立,∴n=
1、
2、3时等式成立,即整理得解得a=,b=c=.
9.xx·陕西模拟数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=2n-ann∈N*.1计算a1,a2,a3,a4;2猜想通项公式an,并用数学归纳法证明.解1a1=1,a2=,a3=,a4=.2猜想an=,证明
①当n=1时,a1=1猜想显然成立;
②假设当n=kn≥1且n∈N*时,猜想成立,即ak=,Sk=a1+a2+…+ak=2k-ak,那么,n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=2k+1-ak+1-2k-ak,∴ak+1===,∴当n=k+1时猜想成立.综合
①②,当n∈N*时猜想成立.
10.xx·东城区期末已知数列{an}满足关系式an+1=+2,n∈N*,且a1=
2.求证+1≤an+
1.证明用数学归纳法证明
①当n=1时,a1=2,满足+1≤a1+1,不等式成立.
②假设当n=kk∈N*时,+1≤ak+1成立,则当n=k+1时,ak+1=+2+2=+1,ak+1=+2≤+
2.下面用分析法证明+2+
1.要证+2+1,只需证k++1+1,只需证k++12[+1]2,只需证2+10,此式显然成立.所以+2+
1.从而+1ak+1=+2≤+2+1,即当n=k+1时,原不等式也成立.由
①②,知对一切n∈N*,+1≤an+
1.
11.在数列{an}中,已知a1=20,a2=30,an+1=3an-an-1n∈N*,n≥2.当n=
2、3时,分别求a-an-1an+1的值,判断a-an-1an+1n≥2是否为定值,并给出证明.解由已知得a3=70,a4=
180.所以n=2时,a-an-1an+1=-500;当n=3时,a-an-1an+1=-
500.猜想a-an-1an+1=-500n≥2.下面用数学归纳法证明
①当n=2时,结论成立.
②假设当n=kk≥2,k∈N*时,结论成立,即a-ak-1ak+1=-500,将ak-1=3ak-ak+1代入上式,可得a-3akak+1+a=-
500.则当n=k+1时,a-akak+2=a-ak3ak+1-ak=a-3akak+1+a=-
500.故当n=k+1时结论成立.根据
①,
②可得a-an-1an+1=-500n≥2成立.。