2019-2020年高考数学一轮总复习第七章推理与证明课时训练理

2019-2020年高考数学一轮总复习第七章推理与证明课时训练理

1.一个同学在电脑中打出如下图形○表示空心圆，●表示实心圆○●○○●○○○●○○○○，若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前xx个圆中实心圆的个数为________．答案61解析将这些圆分段处理，第一段两个圆，第二段三个圆，第三段四个圆，…可以看出每一段的最后一个圆都是实心圆，由于本题要求前xx个圆中实心圆的个数，因此，找到第xx个圆所在的段数很重要，由2＋3＋…＋62＝×61＝1952xx，而2＋3＋…＋63＝×62＝xxxx，因此，共有61个实心圆．

2.已知f1x＝sinx＋cosx，fn＋1x是fnx的导函数，即f2x＝f′1x，f3x＝f′2x，…，fn＋1x＝f′nx，n∈N*，则f2014x＝________．答案cosx－sinx解析f2x＝f′1x＝cosx－sinx；f3x＝f′2x＝－sinx－cosx；f4x＝f′3x＝－cosx＋sinx；f5x＝f′4x＝sinx＋cosx，则其周期为4，即fnx＝fn＋4x．fxxx＝f2x＝cosx－sinx.

3.已知＝2，＝3，＝4，…，＝2014，则＝__________．答案2014解析由题意对于＝2，此时n＝7，m＝2，所以＝＝2；对于＝3，此时m＝3，n＝26，所以＝＝3；对于＝4，此时m＝4，n＝63，所以＝＝4；发现m的值是等号左边根号下和式前面的数，而化简后的结果就是m的值，所以＝2014·中的m即为xx，所以此时＝

2014.

4.在平面几何里有射影定理设△ABC的两边AB⊥AC，点D是点A在BC边上的射影，则AB2＝BD·BC.拓展到空间，在四面体ABCD中，DA⊥平面ABC，点O是点A在平面BCD内的射影，且点O在平面BCD内，类比平面三角形射影定理，△ABC，△BOC，△BDC三者面积之间的关系为__________．答案S＝S△BOC·S△BDC解析如图所示，依题意作出四面体ABCD.连结DO，并延长交BC于点E，连结AO、AE，则易知AO⊥DE，BC⊥AO.由DA⊥平面ABC，得DA⊥BC，又DA∩AO＝A，所以BC⊥平面AED，所以DE⊥BC，AE⊥BC.又易知△AED为直角三角形，其中∠DAE＝90°，AO为斜边ED上的高，所以由射影定理得AE2＝EO·ED.又S△ABC＝BC·AE，S△BOC＝BC·EO，S△BDC＝BC·DE，所以AE＝，EO＝，DE＝.由AE2＝EO·ED，得S＝S△BOC·S△BDC.

5.已知命题在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点A－p，0和Cp，0，顶点B在椭圆＋＝1mn0，p＝上，椭圆的离心率是e，则＝.试将该命题类比到双曲线中，给出一个真命题是________________________________________________________________________．答案在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A－p，0和Cp，0，顶点B在双曲线－＝1m0，n0，p＝上，双曲线的离心率是e，则＝解析由正弦定理和椭圆定义＝＝，类比双曲线应有＝＝.

6.已知数列{an}是正项等差数列，若bn＝，则数列{bn}也为等差数列．类比上述结论，已知数列{cn}是正项等比数列，若dn＝________，则数列{dn}也为等比数列．答案c1·c·c·…·c解析由等差数列{an}的a1＋2a2＋…＋nan的和，则等比数列{cn}可类比为c1·c22·…·cnn的积；对a1＋2a2＋…＋nan求算术平均值，所以对c1·c22·…·cnn求几何平均值，所以类比结果为c1·c·c·…·c.

7.设函数fx＝x0，观察f1x＝fx＝，f2x＝ff1x＝，f3x＝ff2x＝，f4x＝ff3x＝，….根据以上事实，由归纳推理可得当n∈N＋且n≥2时，fnx＝ffn－1x＝________．答案解析观察知四个等式等号右边的分母为x＋2，3x＋4，7x＋8，15x＋16，即2－1x＋2，4－1x＋4，8－1x＋8，16－1x＋16，所以归纳出fnx＝ffn－1x的分母为2n－1x＋2n，故当n∈N＋且n≥2时，fnx＝ffn－1x＝.

8.如图，一个类似杨辉三角的数阵，请写出第nn≥2行的第2个数为__________．答案n2－2n＋3解析第nn≥2行的第2个数为3＋3＋5＋7＋…＋[2n－2＋1]＝3＋＝n2－2n＋

3.

9.xx·新课标全国Ⅰ甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A、B、C三个城市时，甲说我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说我没去过C城市；丙说我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为__________．答案A解析由于甲没有去过B城市，乙没有去过C城市，但三人去过同一个城市，故三人去过的城市为A城市．又由于甲最多去过两个城市，且去过的城市比乙多，故乙只能去过一个城市，这个城市为A城市．

10.老师布置了一道作业题“已知圆C的方程是x2＋y2＝r2，求证经过圆C上一点Mx0，y0的切线方程为x0x＋y0y＝r2”，聪明的小明很快就完成了，完成后觉得该题很有意思，经过认真思考后大胆猜想出如下结论若圆C的方程是x－a2＋y－b2＝r2，则经过圆C上一点Mx0，y0的切线方程为x0－ax－a＋y0－by－b＝r

2.你认为小明的猜想正确吗？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由．解小明的猜想正确．证法1若x0≠a，y0≠b，则因圆C的方程是x－a2＋y－b2＝r2，Mx0，y0是圆C上一点，所以直线MC的斜率为k1＝.设过Mx0，y0的切线斜率为k，因为直线MC与切线l垂直，所以k＝－＝－，所以过Mx0，y0的切线l方程为y－y0＝－x－x0，整理得x0－ax－a＋y0－by－b＝x0－a2＋y0－b

2.又点Mx0，y0在圆C上，所以有x0－a2＋y0－b2＝r2，故此时过Mx0，y0的圆C的切线方程为x0－ax－a＋y0－by－b＝r

2.若x0＝a或y0＝b同时成立不合题意，则切线的斜率不存在或为0，可直观看出|y0－b|＝r或|x0－a|＝r，此时切线方程分别为y＝y0或x＝x0，适合x0－ax－a＋y0－by－b＝r

2.综上所述，过Mx0，y0的圆C的切线方程为x0－ax－a＋y0－by－b＝r

2.证法2设Px，y为切线上任一点，则＝x0－x，y0－y，＝x0－a，y0－b．又⊥，所以·＝0，即x0－xx0－a＋y0－yy0－b＝

0.又x0－a2＋y0－b2＝r2，化简得x0－ax－a＋y0－by－b＝r2为所求切线．

11.某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图

1、

2、

3、4为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣小正方形的摆放规律相同，设第n个图形包含fn个小正方形．1求出f5的值；2利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出fn＋1与fn之间的关系式，并根据你得到的关系式求出fn的表达式；3求n≥2时＋＋＋…＋的值．解1f5＝

41.2因为f2－f1＝4＝4×1，f3－f2＝8＝4×2，f4－f3＝12＝4×3，f5－f4＝16＝4×4，…，由上式规律，所以得出fn＋1－fn＝4n.fn＋1－fn＝4nfn＋1＝fn＋4nfn＝fn－1＋4n－1＝fn－2＋4n－1＋4n－2＝fn－3＋4n－1＋4n－2＋4n－3＝…＝f1＋4n－1＋4n－2＋4n－3＋…＋4＝2n2－2n＋

1.3当n≥2时，＝＝，所以＋＋＋…＋＝1＋·1－＋－＋－＋…＋－＝1＋＝－.第2课时　直接证明与间接证明

1.在用反证法证明命题“已知a，b，c∈0，2，求证a2－b，b2－c，c2－a不可能都大于1”时，先假设__________________________．答案假设a2－b，b2－c，c2－a都大于1解析“不可能都大于1”的否定是“都大于1”．

2.设a＞b＞0，m＝－，n＝，则m、n的大小关系是____________．答案mn解析分析法－＋ab＋2＋a－b2·

0.

3.在等比数列{an}中，a1＝2，前n项和为Sn，若数列{an＋1}也是等比数列，则Sn＝________．答案2n解析因为数列{an}为等比数列，则an＝2qn－

1.因为数列{an＋1}也是等比数列，则an＋1＋12＝an＋1an＋2＋1a＋2an＋1＝an·an＋2＋an＋an＋2an＋an＋2＝2an＋1an1＋q2－2q＝0q＝1，即an＝2，所以Sn＝2n.

4.已知函数fx满足fa＋b＝fa·fb，f1＝2，则＋＋＋＝________．答案16解析根据fa＋b＝fa·fb得f2n＝f2n，又f1＝2，则＝2，故＋＋＋＝＋＋＋＝

16.

5.对实数a和b，定义运算“”ab＝设函数fx＝x2－2x－x2，x∈R.若函数y＝fx－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是________．答案－∞，－2]∪解析画出函数图象可知实数c的取值范围是－∞，－2]∪.

6.已知两个非零向量a与b，定义ab＝|a||b|sinθ，其中θ为a与b的夹角．若a＋b＝－3，6，a－b＝－3，2，则ab＝________．答案6解析a＝－3，4，b＝0，2，a·b＝|a||b|·cosθ＝5×2×cosθ＝8，cosθ＝，所以sinθ＝，ab＝5×2×＝

6.

7.对于一切实数x，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是____________．答案[－2，＋∞解析当x＝0时不等式成立；用分离参数法得a≥－x≠0，而|x|＋≥2，∴a≥－

2.

8.如果a＋b＞a＋b，则a、b应满足的条件是____________．答案a≥0，b≥0且a≠b解析a＋b＞a＋b－2＋＞0a≥0，b≥0且a≠b.

9.设二次函数fx＝ax2＋bx＋ca≠0中，a、b、c均为整数，且f0，f1均为奇数．求证fx＝0无整数根．证明设fx＝0有一个整数根k，则ak2＋bk＝－c.

①∵f0＝c，f1＝a＋b＋c均为奇数，∴a＋b为偶数，当k为偶数时，显然与

①式矛盾；当k为奇数时，设k＝2n＋1n∈Z，则ak2＋bk＝2n＋1·2na＋a＋b为偶数，也与

①式矛盾，故假设不成立，所以方程fx＝0无整数根．

10.已知二次函数fx＝ax2＋bx＋ca＞0的图象与x轴有两个不同的交点，若fc＝0，且0＜x＜c时，fx＞

0.1证明是fx＝0的一个根；2试比较与c的大小；3证明－2＜b＜－

1.1证明∵fx的图象与x轴有两个不同的交点，∴fx＝0有两个不等实根x1，x

2.∵fc＝0，∴x1＝c是fx＝0的根．又x1x2＝，∴x2＝，∴是fx＝0的一个根．2解假设＜c，又＞0，由0＜x＜c时，fx＞0，知f＞0与f＝0矛盾，∴≥c.∵≠c，∴＞c.3证明由fc＝0，得ac＋b＋1＝0，∴b＝－1－ac.又a＞0，c＞0，∴b＜－

1.二次函数fx的图象的对称轴方程为x＝－＝＜＝x2＝，即－＜.又a＞0，∴b＞－2，∴－2＜b＜－

1.

11.数列{an}中，a1＝，an＋1＝a－an＋

1.1求证＝－；2设Sn＝＋＋＋…＋，n2，证明Sn

2.证明1证法1要证＝－，只要证＝－＝，只要证an＋1－1＝anan－1，只要证an＋1＝a－an＋1，根据已知条件，得证．证法2∵an＋1＝a－an＋1＝anan－1＋1，∴an＋1－1＝anan－1，∴＝＝－.∴＝－.2由1知，＝－，∴Sn＝＋＋＋…＋＝＋＋…＋＝－＝2－.∵an＋1－an＝a－2an＋1＝an－12≥0，且a1＝1，∴an＋1an1，∴2－2，即Sn

2.第3课时　数学归纳法理科专用

1.利用数学归纳法证明“n＋1n＋2…n＋n＝2n×1×3×…×2n－1，n∈N*”时，从“n＝k”变到“n＝k＋1”时，左边应增乘的因式是________．答案解析由题意知，n＝k时，左边为k＋1k＋2…k＋k；当n＝k＋1时，左边为k＋2k＋3…k＋1＋k＋1;从而增加两项为2k＋12k＋2，且减少一项为k＋1．

2.凸n边形有fn条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数fn＋1为________．答案fn＋n－1解析增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故fn＋1＝fn＋1＋n＋1－3＝fn＋n－

1.

3.若数列{an}的通项公式an＝，记cn＝21－a11－a2…1－an，试通过计算c

1、c

2、c3的值，推测cn＝________．答案解析c1＝21－a1＝2×＝，c2＝21－a11－a2＝2××＝，c3＝21－a11－a21－a3＝2×××＝，由归纳推理得cn＝.

4.用数学归纳法证明“1＋＋＋…＋＜nn∈N*，n＞1”时，由n＝kk＞1不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是________．答案2k解析增加的项数为2k＋1－1－2k－1＝2k＋1－2k＝2k.

5.用数学归纳法证明12＋22＋…＋n－12＋n2＋n－12＋…＋22＋12＝时，由n＝k的假设到证明n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是________．答案k＋12＋k2解析分析等式变化规律可知左边实际增加的是k＋12＋k

2.

6.观察下列式子1＋＜，1＋＋＜，1＋＋＋＜，…，则可归纳出____．答案1＋＋＋…＋n∈N*解析1＋，即1＋；1＋＋，即1＋＋，归纳出1＋＋＋…＋n∈N*．

7.用数学归纳法证明1＋＋＋…＋n∈N*成立，其初始值至少应取________．答案8解析左边＝1＋＋＋…＋＝＝2－，代入验证可知n的最小值是

8.

8.已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3nna－b＋c对一切n∈N*都成立，则a、b、c的值为____________．答案a＝，b＝c＝解析∵等式对一切n∈N*均成立，∴n＝

1、

2、3时等式成立，即整理得解得a＝，b＝c＝.

9.xx·陕西模拟数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2n－ann∈N*．1计算a1，a2，a3，a4；2猜想通项公式an，并用数学归纳法证明．解1a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝.2猜想an＝，证明

①当n＝1时，a1＝1猜想显然成立；

②假设当n＝kn≥1且n∈N*时，猜想成立，即ak＝，Sk＝a1＋a2＋…＋ak＝2k－ak，那么，n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2k＋1－ak＋1－2k－ak，∴ak＋1＝＝＝，∴当n＝k＋1时猜想成立．综合

①②，当n∈N*时猜想成立．

10.xx·东城区期末已知数列{an}满足关系式an＋1＝＋2，n∈N*，且a1＝

2.求证＋1≤an＋

1.证明用数学归纳法证明

①当n＝1时，a1＝2，满足＋1≤a1＋1，不等式成立．

②假设当n＝kk∈N*时，＋1≤ak＋1成立，则当n＝k＋1时，ak＋1＝＋2＋2＝＋1，ak＋1＝＋2≤＋

2.下面用分析法证明＋2＋

1.要证＋2＋1，只需证k＋＋1＋1，只需证k＋＋12[＋1]2，只需证2＋10，此式显然成立．所以＋2＋

1.从而＋1ak＋1＝＋2≤＋2＋1，即当n＝k＋1时，原不等式也成立．由

①②，知对一切n∈N*，＋1≤an＋

1.

11.在数列{an}中，已知a1＝20，a2＝30，an＋1＝3an－an－1n∈N*，n≥2．当n＝

2、3时，分别求a－an－1an＋1的值，判断a－an－1an＋1n≥2是否为定值，并给出证明．解由已知得a3＝70，a4＝

180.所以n＝2时，a－an－1an＋1＝－500；当n＝3时，a－an－1an＋1＝－

500.猜想a－an－1an＋1＝－500n≥2．下面用数学归纳法证明

①当n＝2时，结论成立．

②假设当n＝kk≥2，k∈N*时，结论成立，即a－ak－1ak＋1＝－500，将ak－1＝3ak－ak＋1代入上式，可得a－3akak＋1＋a＝－

500.则当n＝k＋1时，a－akak＋2＝a－ak3ak＋1－ak＝a－3akak＋1＋a＝－

500.故当n＝k＋1时结论成立．根据

①，

②可得a－an－1an＋1＝－500n≥2成立．。