2019-2020年高考数学一轮总复习第七章第3节空间点、直线、平面之间的位置关系练习

2019-2020年高考数学一轮总复习第七章第3节空间点、直线、平面之间的位置关系练习

一、选择题

1.下列命题正确的个数为　　

①经过三点确定一个平面；

②梯形可以确定一个平面；

③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；

④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．A．0　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3[解析]　经过不共线的三点可以确定一个平面，∴

①不正确；两条平行线可以确定一个平面，∴

②正确；两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面，∴

③正确；命题

④中没有说清三个点是否共线，∴

④不正确．[答案]　C2．xx·台州模拟以下四个命题中

①不共面的四点中，其中任意三点不共线；

②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面；

③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；

④依次首尾相接的四条线段必共面．正确命题的个数是　　A．0B．1C．2D．3[解析]　

①中显然是正确的；

②中若A、B、C三点共线则A、B、C、D、E五点不一定共面．

③构造长方体或正方体，如图显然b、c异面故不正确．

④中空间四边形中四条线段不共面，故只有

①正确．[答案]　B3．设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是　　

①P∈a，P∈α⇒aα；

②a∩b＝P，bβ⇒aβ；

③a∥b，aα，P∈b，P∈α⇒bα；

④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b.A．

①②B．

②③C．

①④D．

③④[解析]　当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但aα，∴

①错；a∩β＝P时，

②错；如图，∵a∥b，P∈b，∴P∉a，∴由直线a与点P确定唯一平面α，又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，∴bα，故

③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故

④正确．[答案]　D4．xx·东城模拟设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是　　A．若AC与BD共面，则AD与BC共面B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BCD．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BC[解析]　A中，若AC与BD共面，则A，B，C，D四点共面，则AD与BC共面；B中，若AC与BD是异面直线，则A，B，C，D四点不共面，则AD与BC是异面直线；C中，若AB＝AC，DB＝DC，AD不一定等于BC；D中，若AB＝AC，DB＝DC，可以证明AD⊥BC.[答案]　C5．如图，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且C∈l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过　　A．点AB．点BC．点C但不过点MD．点C和点M[解析]　∵ABγ，M∈AB，∴M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.根据公理3可知，M在γ与β的交线上．同理可知，点C也在γ与β的交线上．[答案]　D6．如图是一正方体的表面展开图，MN和PB是两条面对角线，则在正方体中，直线MN与直线PB的位置关系为　　A．相交B．平行C．异面D．重合[解析]　将表面展开图折起还原为正方体，如图，故MN与PB异面．[答案]　C7．已知空间中有三条线段AB、BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是　　A．AB∥CDB．AB与CD异面C．AB与CD相交D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交[解析]　若三条线段共面，如果AB、BC、CD构成等腰三角形，则直线AB与CD相交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线，故选D.[答案]　D8．以下四个命题中，正确命题的个数是　　

①有三个角是直角的四边形一定是矩形；

②不共面的四点可以确定四个面；

③空间四点不共面的充要条件是其中任意三点不共线；

④若点A、B、C∈平面M，且点A、B、C∈平面N，则平面M与平面N重合．A．0B．1C．2D．3[解析]　如图1，平面α内∠ABC为直角，P∉α，过P作PD⊥AB，PE⊥BC，则四边形PDBE有三个直角，故

①错误；在图2的平面α内，四边形ABCD中任意三点不共线，知

③错误；图3中，M∩N＝l，A、B、C都在l上，知

④错误，只有

②正确．[答案]　B9．xx·天津和平模拟已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E是AA1的中点，则异面直线D1C与BE所成角的余弦值为　　A.B.C.D.[解析]　如图连结A1B.由题意知A1D1綊BC，所以四边形A1D1CB为平行四边形，故D1C∥A1B.所以∠A1BE为异面直线D1C与BE所成的角．不妨设AA1＝2AB＝2，则A1E＝1，BE＝，A1B＝，在△A1BE中，cos∠A1BE＝＝＝，故选B.[答案]　B10．已知空间四边形ABCD中，M，N分别为AB，CD的中点，则下列判断

①MN≥AC＋BD；

②MN＞AC＋BD；

③MN＝AC＋BD；

④MN＜AC＋BD．其中正确的是　　A．

①③B．

②④C．

②D．

④[解析]　如图，取BC的中点O，连接MO，NO，则OM＝AC，ON＝BD.在△MON中，MN＜OM＋ON＝AC＋BD，∴

④正确．[答案]　D11．如图，ABCD­A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是　　A．A，M，O三点共线B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面[解析]　连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，所以A1，C1，C，A四点共面，所以A1C平面ACC1A1，因为M∈A1C，所以M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，所以A，M，O三点共线．故选A.[答案]　A12．xx·惠州模拟如图是三棱锥D－ABC的三视图，点O在三个视图中都是所在边的中点，则异面直线DO和AB所成角的余弦值等于　　A.B.C.D.[解析]　由题意得如图的直观图，从A出发的三条线段AB，AC，AD两两垂直且AB＝AC＝2，AD＝1，O是BC中点，取AC中点E，连接DE，DO，OE，则OE＝

1.又可知AE＝1，由于OE∥AB，故∠DOE即为所求两异面直线所成的角或其补角．在直角三角形DAE中，DE＝，由于O是中点，在直角三角形ABC中可以求得AO＝.在直角三角形DAO中可以求得在三角形DOE中，由余弦定理得cos∠DOE＝＝，故所求余弦值为故选A.[答案]　A

二、填空题13．正方体ABCD—A1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点．那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是________边形．[解析]　延长PQ或QP分别交BC延长线于E，交CD延长线于F，取C1D1中点M，连接RM，连接RE交BB1于S，连接MF交DD1于N，连接NQ，PS，则六边形PQNMRS即为正方体ABCD—A1B1C1D1的过P、Q、R三点的截面图形．[答案]　六14．xx·景德镇质检如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是棱C1D1，C1C的中点，给出以下四个结论

①直线AM与直线C1C相交；

②直线AM与直线BN平行；

③直线AM与直线DD1异面；

④直线BN与直线MB1异面．其中正确结论的序号为________．把你认为正确的结论的序号都填上[解析]　AM与C1C异面，故

①错；AM与BN异面，故

②错．易知

③④正确．[答案]　

③④15．在图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________．填上所有正确答案的序号[解析]　图

①中，直线GH∥MN；图

②中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；图

③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图

④中，G、M、N共面，但H∉面GMN，因此GH与MN异面．所以图

②、

④中GH与MN异面．[答案]　

②④16．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为________．[解析]　如图连接DF，则AE∥DF，∴∠D1FD即为异面直线AE与D1F所成的角．设正方体棱长为a，则D1D＝a，DF＝a，D1F＝a，∴cos∠D1FD＝＝.[答案]　。