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2019-2020年高考数学一轮总复习第七章第3节空间点、直线、平面之间的位置关系练习
一、选择题
1.下列命题正确的个数为
①经过三点确定一个平面;
②梯形可以确定一个平面;
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面;
④如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.A.0 B.1 C.2 D.3[解析] 经过不共线的三点可以确定一个平面,∴
①不正确;两条平行线可以确定一个平面,∴
②正确;两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面,∴
③正确;命题
④中没有说清三个点是否共线,∴
④不正确.[答案] C2.xx·台州模拟以下四个命题中
①不共面的四点中,其中任意三点不共线;
②若点A、B、C、D共面,点A、B、C、E共面,则点A、B、C、D、E共面;
③若直线a、b共面,直线a、c共面,则直线b、c共面;
④依次首尾相接的四条线段必共面.正确命题的个数是 A.0B.1C.2D.3[解析]
①中显然是正确的;
②中若A、B、C三点共线则A、B、C、D、E五点不一定共面.
③构造长方体或正方体,如图显然b、c异面故不正确.
④中空间四边形中四条线段不共面,故只有
①正确.[答案] B3.设P表示一个点,a、b表示两条直线,α、β表示两个平面,给出下列四个命题,其中正确的命题是
①P∈a,P∈α⇒aα;
②a∩b=P,bβ⇒aβ;
③a∥b,aα,P∈b,P∈α⇒bα;
④α∩β=b,P∈α,P∈β⇒P∈b.A.
①②B.
②③C.
①④D.
③④[解析] 当a∩α=P时,P∈a,P∈α,但aα,∴
①错;a∩β=P时,
②错;如图,∵a∥b,P∈b,∴P∉a,∴由直线a与点P确定唯一平面α,又a∥b,由a与b确定唯一平面β,但β经过直线a与点P,∴β与α重合,∴bα,故
③正确;两个平面的公共点必在其交线上,故
④正确.[答案] D4.xx·东城模拟设A,B,C,D是空间四个不同的点,在下列命题中,不正确的是 A.若AC与BD共面,则AD与BC共面B.若AC与BD是异面直线,则AD与BC是异面直线C.若AB=AC,DB=DC,则AD=BCD.若AB=AC,DB=DC,则AD⊥BC[解析] A中,若AC与BD共面,则A,B,C,D四点共面,则AD与BC共面;B中,若AC与BD是异面直线,则A,B,C,D四点不共面,则AD与BC是异面直线;C中,若AB=AC,DB=DC,AD不一定等于BC;D中,若AB=AC,DB=DC,可以证明AD⊥BC.[答案] C5.如图,α∩β=l,A、B∈α,C∈β,且C∈l,直线AB∩l=M,过A,B,C三点的平面记作γ,则γ与β的交线必通过 A.点AB.点BC.点C但不过点MD.点C和点M[解析] ∵ABγ,M∈AB,∴M∈γ.又α∩β=l,M∈l,∴M∈β.根据公理3可知,M在γ与β的交线上.同理可知,点C也在γ与β的交线上.[答案] D6.如图是一正方体的表面展开图,MN和PB是两条面对角线,则在正方体中,直线MN与直线PB的位置关系为 A.相交B.平行C.异面D.重合[解析] 将表面展开图折起还原为正方体,如图,故MN与PB异面.[答案] C7.已知空间中有三条线段AB、BC和CD,且∠ABC=∠BCD,那么直线AB与CD的位置关系是 A.AB∥CDB.AB与CD异面C.AB与CD相交D.AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交[解析] 若三条线段共面,如果AB、BC、CD构成等腰三角形,则直线AB与CD相交,否则直线AB与CD平行;若不共面,则直线AB与CD是异面直线,故选D.[答案] D8.以下四个命题中,正确命题的个数是
①有三个角是直角的四边形一定是矩形;
②不共面的四点可以确定四个面;
③空间四点不共面的充要条件是其中任意三点不共线;
④若点A、B、C∈平面M,且点A、B、C∈平面N,则平面M与平面N重合.A.0B.1C.2D.3[解析] 如图1,平面α内∠ABC为直角,P∉α,过P作PD⊥AB,PE⊥BC,则四边形PDBE有三个直角,故
①错误;在图2的平面α内,四边形ABCD中任意三点不共线,知
③错误;图3中,M∩N=l,A、B、C都在l上,知
④错误,只有
②正确.[答案] B9.xx·天津和平模拟已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,E是AA1的中点,则异面直线D1C与BE所成角的余弦值为 A.B.C.D.[解析] 如图连结A1B.由题意知A1D1綊BC,所以四边形A1D1CB为平行四边形,故D1C∥A1B.所以∠A1BE为异面直线D1C与BE所成的角.不妨设AA1=2AB=2,则A1E=1,BE=,A1B=,在△A1BE中,cos∠A1BE===,故选B.[答案] B10.已知空间四边形ABCD中,M,N分别为AB,CD的中点,则下列判断
①MN≥AC+BD;
②MN>AC+BD;
③MN=AC+BD;
④MN<AC+BD.其中正确的是 A.
①③B.
②④C.
②D.
④[解析] 如图,取BC的中点O,连接MO,NO,则OM=AC,ON=BD.在△MON中,MN<OM+ON=AC+BD,∴
④正确.[答案] D11.如图,ABCDA1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是 A.A,M,O三点共线B.A,M,O,A1不共面C.A,M,C,O不共面D.B,B1,O,M共面[解析] 连接A1C1,AC,则A1C1∥AC,所以A1,C1,C,A四点共面,所以A1C平面ACC1A1,因为M∈A1C,所以M∈平面ACC1A1,又M∈平面AB1D1,所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,所以A,M,O三点共线.故选A.[答案] A12.xx·惠州模拟如图是三棱锥D-ABC的三视图,点O在三个视图中都是所在边的中点,则异面直线DO和AB所成角的余弦值等于 A.B.C.D.[解析] 由题意得如图的直观图,从A出发的三条线段AB,AC,AD两两垂直且AB=AC=2,AD=1,O是BC中点,取AC中点E,连接DE,DO,OE,则OE=
1.又可知AE=1,由于OE∥AB,故∠DOE即为所求两异面直线所成的角或其补角.在直角三角形DAE中,DE=,由于O是中点,在直角三角形ABC中可以求得AO=.在直角三角形DAO中可以求得在三角形DOE中,由余弦定理得cos∠DOE==,故所求余弦值为故选A.[答案] A
二、填空题13.正方体ABCD—A1B1C1D1中,P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点.那么,正方体的过P、Q、R的截面图形是________边形.[解析] 延长PQ或QP分别交BC延长线于E,交CD延长线于F,取C1D1中点M,连接RM,连接RE交BB1于S,连接MF交DD1于N,连接NQ,PS,则六边形PQNMRS即为正方体ABCD—A1B1C1D1的过P、Q、R三点的截面图形.[答案] 六14.xx·景德镇质检如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别是棱C1D1,C1C的中点,给出以下四个结论
①直线AM与直线C1C相交;
②直线AM与直线BN平行;
③直线AM与直线DD1异面;
④直线BN与直线MB1异面.其中正确结论的序号为________.把你认为正确的结论的序号都填上[解析] AM与C1C异面,故
①错;AM与BN异面,故
②错.易知
③④正确.[答案]
③④15.在图中,G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________.填上所有正确答案的序号[解析] 图
①中,直线GH∥MN;图
②中,G、H、N三点共面,但M∉面GHN,因此直线GH与MN异面;图
③中,连接MG,GM∥HN,因此GH与MN共面;图
④中,G、M、N共面,但H∉面GMN,因此GH与MN异面.所以图
②、
④中GH与MN异面.[答案]
②④16.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为BB1,CC1的中点,那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为________.[解析] 如图连接DF,则AE∥DF,∴∠D1FD即为异面直线AE与D1F所成的角.设正方体棱长为a,则D1D=a,DF=a,D1F=a,∴cos∠D1FD==.[答案] 。