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2019-2020年高考数学一轮总复习第八章立体几何初步课时训练理
1.如图,直线AB、ADα,直线CB、CDβ,点E∈AB,点F∈BC,点G∈CD,点H∈DA.若直线EH∩直线FG=M,则点M在________上.答案直线BD或α、β的交线解析根据平面的基本性质知点M在直线BD或α、β的交线上.
2.直线a及不在直线a上的不共线三点,可以确定平面的个数是__________.答案1个、3个或4个解析先考虑平面最多的情形,再考虑它们可能重合的情况.
3.若两条异面直线所成的角为60°,则称这对异面直线为“黄金异面直线对”,在连结正方体各顶点的所有直线中,“黄金异面直线对”共有________对.答案24解析正方体如图,若要出现所成角为60°的异面直线,则直线需为面对角线,以AC为例,与之构成黄金异面直线对的直线有4条,分别是A′B,BC′,A′D,C′D,正方体的面对角线有12条,所以所求的黄金异面直线对共有=24对每一对被计算两次,所以记好要除以2.
4.一个正方体的展开图如图所示,A、B、C、D为原正方体的顶点,则在原来的正方体中下列结论正确的是________.填序号
①AB∥CD;
②AB与CD相交;
③AB⊥CD;
④AB与CD所成的角为60°.答案
④解析如图,把展开图中的各正方形按图a所示的方式分别作为正方体的前、后、左、右、上、下面还原,得到图b所示的直观图,可见
①②③不正确.图b中,DE∥AB,∠CDE为AB与CD所成的角,△CDE为等边三角形,∴∠CDE=60°.
④正确.
5.已知a、b是异面直线,直线c平行于直线a,那么c与b________.填序号
①一定是异面直线;
②一定是相交直线;
③不可能是平行直线;
④不可能是相交直线.答案
③解析如图所示,图1中,b与c相交,图2中b与c异面,假如b∥c,∵a∥c,∴a∥b这与a,b异面矛盾,∴b与c不可能为平行直线.
6.在正方体ABCDA1B1C1D1中,已知P、Q分别是AA
1、CC1的中点,则过点B、P、Q的截面的形状是__________.答案菱形解析先证截面BPD1Q是平行四边形,再证是菱形.
7.如图,G、N、M、H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________.填序号答案
②④解析图
①中,直线GH∥MN;图
②中,G、H、N三点共面,但M平面GHN,因此直线GH与MN异面;图
③中,连结MG,GM∥HN,因此GH与MN共面;图
④中,G、M、N共面,但H平面GMN,因此GH与MN异面.所以图
②④中GH与MN异面.
8.如图,△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′、BB′、CC′交于点O,O在平面ABC和平面A′B′C′之间,且===,则=__________.答案解析由题设条件知===,∴△ABC∽△A′B′C′.∴=.
9.如图所示,O1是正方体ABCDA1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心,M是对角线A1C和截面B1D1A的交点.求证O
1、M、A三点共线.证明∵A1C1∩B1D1=O1,B1D1平面B1D1A,A1C1平面AA1C1C,∴O1∈平面B1D1A,O1∈平面AA1C1C.∵A1C∩平面B1D1A=M,A1C平面AA1C1C,∴M∈平面B1D1A,M∈平面AA1C1C.又A∈平面B1D1A,A∈平面AA1C1C,∴O
1、M、A在两个平面B1D1A和平面AA1C1C的交线上,由公理3可知O
1、M、A三点共线.
10.在梯形ABCD中,AB∥CD,E、F分别为BC和AD的中点,将平面CDEF沿EF翻折起来,使CD到C′D′的位置,G、H分别为AD′和BC′的中点,求证EFGH为平行四边形.证明∵梯形ABCD中,AB∥CD,E、F分别为BC、AD的中点,∴EF∥AB且EF=AB+CD.又C′D′∥EF,EF∥AB,∴C′D′∥AB.∵G、H分别为AD′、BC′的中点,∴GH∥AB且GH=AB+C′D′=AB+CD,∴GH∥EF且GH=EF,∴EFGH为平行四边形.
11.已知如图,空间四边形ABCD中,E、H分别为BC、AB的中点,F在CD上,G在AD上,且有DF∶FC=DG∶GA=2∶3,求证直线EF、BD、HG交于一点.证明连结EH、AC、FG.∵E、H分别为BC、AB的中点,∴EH=AC,且EH∥AC.∵DF∶FC=2∶3,DG∶GA=2∶3,∴FG∥AC,FG=AC,∴EH∥FG且EH≠FG,∴E、F、G、H四点共面且EF与GH不平行.∴EF与GH相交.设EF∩GH=O,则O∈GH,O∈EF,∵GH平面ABD,EF平面BCD,∴O∈平面ABD,O∈平面BCD.∴平面ABD∩平面BCD=BD,∴O∈BD,∴直线EF、BD、HG交于一点.第2课时 直线与平面的位置关系
11.过直线l外两点,作与l平行的平面,则这样的平面有________个.答案0,1或无数解析当两点所在的直线与直线l平行时,可以作无数个平面与l平行;当两点所确定直线与直线l异面时,可以仅作一个平面与直线l平行;当两点所在的直线与直线l相交时,则不能作与直线l平行的平面.
2.不同直线m、n和不同平面α,β,给出下列命题
①m∥n;
②n∥β;
③m,n不共面;
④m∥n.其中,假命题的个数是__________个.答案4解析
①中m与n可能平行,也可能异面,
②中可能nβ,
③中可能m∥n,
④中不知道α与β的位置,无法判断m与n的关系,故四个命题全不正确.
3.如图,在空间四边形ABCD中,M∈AB,N∈AD,若=,则MN与平面BDC的位置关系是________.答案平行解析∵M∈AB,N∈AD,=,∴MN∥BD.∵MN平面BDC,BD平面BCD,∴MN∥平面BDC.
4.一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等,那么直线l与平面α的位置关系是___________.答案l∥α或lα解析l∥α时,直线l上任意点到α的距离都相等;lα时,直线l上所有点与α距离都是0;l⊥α时,直线l上只能有两点到α距离相等;l与α斜交时,只能有两点到α距离相等.
5.若空间四边形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是
9、17,过AB的中点E且平行于BD,AC的截面四边形的周长为________.答案26解析过AB的中点E且平行于BD、AC的截面四边形是连结各边中点的平行四边形,周长为两对角线之和.所以答案为
26.
6.在正方体ABCDA1B1C1D1中,平面AA1C1C和平面BB1D1D的交线与棱CC1的位置关系是____________,截面BA1C1和直线AC的位置关系是____________.答案平行 平行解析如图所示,平面AA1C1C∩平面BB1D1D=OO1,O为底面ABCD的中心,O1为底面A1B1C1D1的中心,∴OO1∥CC
1.又AC∥A1C1,A1C1平面BA1C1,AC平面BA1C1,∴AC∥平面BA1C
1.
7.过三棱柱ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条.答案6解析四条棱AC、BC、A1C
1、B1C1的中点中任意两点连线均与平面ABB1A1平行,所以共有6条直线符合题意.
8.与不共面的四点距离相等的平面个数为________.答案7个解析两个点在一边,另两个点在另一边的满足条件的面有3个,三个点在一边,一个点在另一边的满足条件的面有4个,共7个.
9.已知四面体ABCD中,M、N分别是三角形ABC和三角形ACD的重心,求证1MN∥平面ABD;2BD∥平面CMN.证明1如图所示,连结CM、CN并延长分别交AB、AD于G、H,连结GH、MN.∵M、N分别为△ABC、△ACD的重心,∴=.∴MN∥GH.又GH平面ABD,MN平面ABD,∴MN∥平面ABD.2连结AM、AN并延长分别交BC、CD于E、F,连结EF.同理MN∥EF,又E、F分别为BC、CD的中点,∴BD∥EF.∴BD∥MN.又MN平面CMN,BD平面CMN,∴BD∥平面CMN.
10.如图,在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E、E1分别是棱AD、AA1的中点.设F是棱AB的中点,证明直线EE1∥平面FCC
1.证明证法1取A1B1的中点为F1,连结FF
1、C1F1,由于FF1∥BB1∥CC1,所以F1∈平面FCC1,因此平面FCC1即为平面C1CFF
1.连结A1D、F1C,由于A1F1∥D1C1∥CD,所以四边形A1DCF1为平行四边形,因此A1D∥F1C.又EE1∥A1D,得EE1∥F1C,而EE1平面FCC1,F1C平面FCC1,故EE1∥平面FCC
1.证法2因为F为AB的中点,CD=2,AB=4,AB∥CD,所以CD∥AF,因此四边形AFCD为平行四边形,所以AD∥FC.又CC1∥DD1,FC∩CC1=C,FC平面FCC1,CC1平面FCC1,所以平面ADD1A1∥平面FCC
1.又EE1平面ADD1A1,所以EE1∥平面FCC
1.
11.如图,四棱锥EABCD中,EA=EB,AB∥CD,AB⊥BC,AB=2CD.1求证AB⊥ED;2线段EA上是否存在点F,使DF∥平面BCE?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.1证明取AB中点O,连结EO、DO.因为EA=EB,所以EO⊥AB.因为AB∥CD,AB=2CD,所以BO∥CD,BO=CD.又AB⊥BC,所以四边形OBCD为矩形,所以AB⊥DO.因为EO∩DO=O,所以AB⊥平面EOD.所以AB⊥ED.2解点F满足=,即F为EA中点时,有DF∥平面BCE.证明如下取EB中点G,连结CG、FG.因为F为EA中点,所以FG∥AB,FG=AB.因为AB∥CD,CD=AB,所以FG∥CD,FG=CD.所以四边形CDFG是平行四边形,所以DF∥CG.因为DF平面BCE,CG平面BCE,所以DF∥平面BCE.第3课时 直线与平面的位置关系
21.一条直线和三角形的两边同时垂直,则这条直线和三角形的第三边的位置关系是________.填序号
①平行;
②垂直;
③相交不垂直;
④不确定.答案
②解析三角形两边所在直线必相交,该直线必垂直于三角形所在平面,故该直线与第三边也垂直.
2.若一条直线l上有两个点到平面α的距离相等,则l与α的关系是________.填序号
①平行;
②相交;
③垂直;
④不确定.答案
④解析当l∥α时,直线l上所有点到α的距离都相等;当l与α相交包括垂直时,对于l上任一点P,在平面另一侧的直线上总存在一点P′,有P、P′到平面的距离相等,∴不确定.
3.有以下四个命题
①在空间中,垂直于平行四边形对边的直线,必垂直于另两边;
②在空间中,垂直于三角形两边的直线必垂直另外一边;
③在空间中,垂直于梯形两底的直线必垂直两腰;
④若m∥n,nα,则m∥α.上述命题中,错误的个数为________.答案3解析
①错,
②正确,
③错,
④错.
4.已知平面α、β和直线m,给出条件
①m∥α;
②m⊥α;
③mα;
④α∥β.当满足条件________时,有m⊥β.填序号答案
②④解析若m⊥α,α∥β,则m⊥β.故填
②④.
5.平行四边形ABCD的对角线交点为O,点P在平面ABCD之外,且PA=PC,PD=PB,则PO与平面ABCD的关系是________.答案垂直解析∵PA=PC,∴PO⊥AC.∵PB=PD,∴PO⊥BD.∵AC∩BD=O,∴PO⊥平面ABCD.
6.正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都是2,E、F分别为AB、A1C1的中点,则EF长为__________.答案解析取A1B1中点H,连结EH、FH,则EH=2,FH=1,且△EHF为直角三角形.∴EF==.
7.已知A、B两点在平面α的同侧,AC⊥α于C,BD⊥α于D,且AD∩BC=E,EF⊥α于F,AC=a,BD=b,那么EF的长等于________.答案解析由下图可知,有+=1,所以EF=.
8.在△ABC中,∠ACB=90°,AB=8,∠ABC=60°,PC⊥平面ABC,PC=4,M是AB上一个动点,则PM的最小值为________.答案2解析∵PC⊥平面ABC,CM平面ABC,∴PC⊥CM,∴PM==.要使PM最小,只需CM最小,此时CM⊥AB,∴CM==2,∴PM的最小值为
2.
9.如图,已知空间四边形ABCD的边BC=AC,AD=BD,BE⊥CD,E为垂足,作AH⊥BE于H,求证AH⊥平面BCD.解取AB的中点F,连结CF、DF,∵AC=BC,∴CF⊥AB.∵AD=BD,∴DF⊥AB,∴AB⊥平面CDF.又CD平面CDF,∴CD⊥AB.又CD⊥BE,CD⊥平面ABE,∴CD⊥AH.又AH⊥BE,BE∩CD=E,∴AH⊥平面BCD.
10.在三棱柱ABCA1B1C1中,已知AB=AC=AA1=,BC=4,点A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O.试在侧棱AA1上确定一点E,使得OE⊥平面BB1C1C,并求出AE的长.解连结AO,在△AOA1中,作OE⊥AA1于点E,因为AA1∥BB1,所以OE⊥BB
1.因为A1O⊥平面ABC,所以A1O⊥BC.因为AB=AC,OB=OC,得AO⊥BC,又A1O∩AO=O,A1O、AO平面AA1O,所以BC⊥平面AA1O,又OE平面AA1O,所以BC⊥OE,而BB1∩BC=B,BB
1、BC平面BB1CC1所以OE⊥平面BB1C1C.又AO==1,AA1=,得AE==.
11.如图所示,△ABC中,∠B为直角,P是△ABC外一点,且PA=PB,PB⊥BC.若M是PC的中点,试确定AB上点N的位置,使得MN⊥AB.解∵CB⊥AB,CB⊥PB,AB∩PB=B,∴CB⊥平面APB.过M作ME∥CB,则ME⊥平面APB,∴ME⊥AB.若MN⊥AB,∵ME∩MN=M,则AB⊥平面MNE,∴AB⊥EN.取AB中点D,连结PD,∵PA=PB,∴PD⊥AB,∴NE∥PD.又M为PC中点,ME∥BC,∴E为PB中点.∵EN∥PD,∴N为BD中点,故当N为AB的四等分点AB=4BN时,MN⊥AB.第4课时 平面与平面的位置关系
1.两平面分别过两平行线中的一条,则这两平面的位置关系是________________.答案平行或相交
2.给出下列命题
①平行于同一直线的两个平面平行;
②平行于同一平面的两个平面平行;
③正方体ABCDA1B1C1D1中,平面ACD1与平面A1BC1平行.其中正确的是____________.填序号答案
②③解析正方体ABCDA1B1C1D1中,平面BCC1B1与平面CDD1C1都与AA1平行,但此两平面交线为CC1,故
①错误.
②正确.
③正确,BC1∥AD1,A1B∥CD1,由两面平行判定定理的推论知,平面A1BC1∥平面ACD
1.故填
②③.
3.设a、b是异面直线,α、β是两个平面,且a⊥α,b⊥β,aβ,bα,则当________填一种情况即可时,有α⊥β.答案a⊥b开放题,答案不唯一解析可以填a⊥b,也可以填a∥β或b∥α,都可以证明其结论正确.
4.若有直线m、n和平面α、β,下列四个命题中,正确的是________.填序号
①若m∥α,n∥α,则m∥n;
②若mα,nα,m∥β,n∥β,则α∥β;
③若α⊥β,mα,则m⊥β;
④若α⊥β,m⊥β,mα,则m∥α.答案
④解析如图1,β∥α,mβ,nβ,有m∥α,n∥α,但m与n可以相交,故
①错;如图2,m∥n∥l,α∩β=l,有m∥β,n∥β,故
②错;如图3,α⊥β,α∩β=l,mα,m∥l,故
③错.故选
④.
5.设α、β是两个不同的平面,a、b是两条不同的直线,给出四个论断
①α∩β=b;
②aβ;
③a∥b;
④a∥α.以其中三个论断为条件,余下一个论断为结论,写出你认为正确的命题______________.答案
①②③
④或
①②④
③解析若α∩β=b,aβ,a∥b,aα,且bα,则a∥α,即
①②③
④;若α∩β=b,aβ,a∥α,则a∥b,即
①②④
③.
6.已知α∥β,A、C∈α,B、D∈β,直线AB与CD交于点S,且AS=8,BS=9,CD=
34.1当S在α、β之间时,CS=__________;2当S不在α、β之间时,CS=____________.答案116 2272解析1如图所示,∵AB与CD相交于S,∴AB、CD可确定平面γ,且α∩γ=AC,β∩γ=BD.∵α∥β,∴AC∥BD,则有=,即=,∴=,∴CS=
16.2如图所示,由1知AC∥BD,则有=,即=.解得CS=
272.
7.在四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足________时,平面MBD⊥平面PCD.答案BM⊥PC解析∵四边形ABCD为菱形,∴AC⊥BD.又PA⊥底面ABCD∴PA⊥BD.∵PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC,∴BD⊥PC.又BM⊥PC,BM∩BD=B,∴PC⊥平面BDM.∵PC平面PCD∴平面MBD⊥平面PCD.
8.如图,在长方形ABCD中,AB=2,BC=1,E为DC的中点,F为线段EC端点除外上一动点.现将△AFD沿AF折起,使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB,K为垂足.设AK=t,则t的取值范围是________.答案解析如图,过D作DG⊥AF,垂足为G,连结GK.∵平面ABD⊥平面ABC,DK⊥AB,∴DK⊥平面ABC,∴DK⊥AF.∴AF⊥平面DKG,∴AF⊥GK.容易得到,当F接近E点时,K接近AB的中点,当F接近C点时,K接近AB的四等分点.∴t的取值范围是.
9.如图,在四棱锥P-ABCD中,PD垂直于正方形ABCD所在的平面,E是PA的中点.若D在PC上的射影为F.求证平面DEF⊥平面PBC.证明∵PD⊥平面ABCD,BC平面ABCD,∴PD⊥BC.又ABCD是正方形,∴BC⊥CD.∵PD平面PDC,CD平面PDC,PD∩CD=D,∴BC⊥平面PDC.又DF平面PDC,∴BC⊥DF.又D在PC上的射影为F,∴DF⊥PC.∵BC∩PC=C∴DF⊥平面PBC.又DF平面DEF,∴平面DEF⊥平面PBC.
10.如图所示,P为平行四边形ABCD所在平面外一点,M、N分别为AB、PC的中点,平面PAD∩平面PBC=l.1判断BC与l的位置关系,并证明你的结论;2判断MN与平面PAD的位置关系,并证明你的结论.解1结论BC∥l.证明∵AD∥BC,BC平面PAD,AD平面PAD,∴BC∥平面PAD.∵BC平面PBC,平面PAD∩平面PBC=l,∴BC∥l.2结论MN∥平面PAD.证明设Q为CD的中点,连结NQ、MQ,则NQ∥PD,MQ∥AD,∵NQ∩MQ=Q,PD∩AD=D,∴平面MNQ∥平面PAD.∵MN平面MNQ,∴MN∥平面PAD.
11.xx·安徽文如图所示,四棱锥PABCD的底面是边长为8的正方形,四条侧棱长均为
2.点G、E、F、H分别是棱PB、AB、CD、PC上共面的四点,平面GEFH⊥平面ABCD,BC∥平面GEFH.1证明GH∥EF;2若EB=2,求四边形GEFH的面积.1证明因为BC∥平面GEFH,BC平面PBC,且平面PBC∩平面GEFH=GH,所以GH∥BC.同理可证EF∥BC,因此GH∥EF.2解连结AC、BD交于点O,BD交EF于点K,连结OP、GK.因为PA=PC,O是AC的中点,所以PO⊥AC,同理可得PO⊥BD.又BD∩AC=O,且AC、BD都在平面ABCD内,所以PO⊥平面ABCD.因为平面GEFH⊥平面ABCD,且PO平面GEFH,所以PO∥平面GEFH.因为平面PBD∩平面GEFH=GK,所以PO∥GK,所以GK⊥平面ABCD.又EF平面ABCD,所以GK⊥EF,所以GK是梯形GEFH的高.由AB=8,EB=2,得EB∶AB=KB∶DB=1∶4,从而KB=DB=OB,即K是OB的中点.再由PO∥GK,得GK=PO,所以G是PB的中点,且GH=BC=
4.由已知可得OB=4,PO===6,所以GK=3,故四边形GEFH的面积S=·GK=×3=
18.第5课时 空间几何体的表面积和体积
1.若正三棱锥的底面边长为,侧棱长为1,则此三棱锥的体积为__________.答案解析如图所示.V=S△ABC·h显然正三角形ABC面积S=×2,高h=SO===,从而V=×=.
2.圆柱的底面半径为3cm,体积为18πcm3,则其侧面积为________cm
2.答案12π解析V=πr2l=9πl=18π,所以l=2,故S侧面积=2πrl=12π.
3.如图所示,已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成,则该多面体的体积是________.答案解析由题知该多面体为正四棱锥,底面边长为1,侧棱长为1,斜高为,连结顶点和底面中心即为高,可求高为,所以体积为V=×1×1×=.
4.如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=AD=3cm,AA1=2cm,则三棱锥AB1D1D的体积为________cm
3.答案3解析VAB1D1D=VB1AD1D=VB1AA1D=·S△AA1D·B1A1=××2×3×3=
3.
5.以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴,将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于________.答案2π解析由题意可知,该正方形旋转一周后所得的圆柱的底面半径r=1,高h=1,则该圆柱的侧面积S=2πrh=2π.
6.已知正四棱锥OABCD的体积为,底面边长为,则以O为球心,OA为半径的球的表面积为________.答案24π解析设正四棱锥的高为h,则×2h=,解得高h=.则底面正方形的对角线长为×=,所以OA==,所以球的表面积为4π2=24π.
7.如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,D为棱AA1的中点.若AA1=4,AB=2,则四棱锥BACC1D的体积为__________.答案2解析VB-ACC1D=SACC1D·h,易知h为△ABC的高,即h=×2=,又SACC1D=6,∴VB-ACC1D=×6×=
2.
8.若圆锥底面半径为1,高为2,则圆锥的侧面积为________.答案π解析由圆锥母线l=,S侧=πrl=π.
9.如图a,在直角梯形ABCD中,∠ADC=90°,CD∥AB,AB=4,AD=CD=2,将△ADC沿AC折起,使平面ADC⊥平面ABC,得到几何体DABC,如图b所示.1求证BC⊥平面ACD;2求几何体DABC的体积.1证明在图中,可得AC=BC=2,从而AC2+BC2=AB2,故AC⊥BC.又平面ADC⊥平面ABC,平面ADC∩平面ABC=AC,BC平面ABC,∴BC⊥平面ACD.2解由1可知,BC为三棱锥BACD的高,BC=2,S△ACD=2,∴VBACD=S△ACD·BC=×2×2=,由等体积性可知,几何体DABC的体积为.
10.如图,在直三棱柱A1B1C1ABC中,AB⊥BC,E、F分别是A1B、AC1的中点.1求证EF∥平面ABC;2求证平面AEF⊥平面AA1B1B;3若A1A=2AB=2BC=2a,求三棱锥FABC的体积.1证明连结A1C.∵在直三棱柱A1B1C1ABC中,AA1C1C是矩形,∴点F在A1C上,且为A1C的中点.在△A1BC中,∵E、F分别是A1B、A1C的中点,∴EF∥BC.∵BC平面ABC,EF平面ABC,∴EF∥平面ABC.2证明∵在直三棱柱A1B1C1ABC中,B1B⊥平面ABC,∴B1B⊥BC.∵EF∥BC,AB⊥BC,∴AB⊥EF,B1B⊥EF.∵B1B∩AB=B,∴EF⊥平面ABB1A
1.∵EF平面AEF,∴平面AEF⊥平面ABB1A
1.3解VFABC=VA1ABC=××S△ABC×AA1=××a2×2a=.
11.如图,已知四棱锥PABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,∠ABC=45°,DC=1,AB=2,PA⊥平面ABCD,PA=
1.1求证AB∥平面PCD;2求证BC⊥平面PAC;3若M是PC的中点,求三棱锥MACD的体积.1证明已知底面ABCD是直角梯形,∴AB∥DC.又AB平面PCD,CD平面PCD,∴AB∥平面PCD.2证明在直角梯形ABCD中,过C作CE⊥AB于点E,则四边形ADCE为矩形,∴AE=DC=
1.又AB=2,∴BE=
1.在Rt△BEC中,∠ABC=45°,∴CE=BE=1,CB=,则AC==,∴AC2+BC2=AB2,∴BC⊥AC.又PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BC.又PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC.3解∵M是PC的中点,∴M到平面ADC的距离是P到平面ADC距离的一半.∴VMACD=S△ACD·=××=.第6课时 空间向量在立体几何中的应用理科专用
1.已知空间四边形OABC,点M、N分别为OA、BC的中点,且=a,=b,=c,用a、b、c表示,则=________.答案b+c-a解析=-=b+c-a.
2.已知向量a=mi+5j-k,b=3i+j+rk,若a∥b则实数m=________,r=________.答案15 -解析a=m,5,-1,b=3,1,r,==,m=15,r=-.
3.若向量a=1,λ,2,b=2,-1,2,且a与b的夹角的余弦值为,则λ=________.答案-2或解析由cos〈a,b〉===,解得λ=-2或.
4.已知向量a=2,-1,3,b=-4,2,x,若a⊥b,则x=________;若a∥b,则x=________.答案 -6解析若a⊥b,则-8-2+3x=0,x=;若a∥b,则2∶-4=-1∶2=3∶x,x=-
6.
5.已知长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=BC=4,CC1=2,则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为________.答案解析如图建立空间直角坐标系,则B4,0,0,C4,4,0,C14,4,2,显然AC⊥平面BB1D1D,∴=4,4,0为平面BB1D1D的一个法向量.又=0,4,2,∴cos〈,〉===.即BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为.
6.已知空间三点A-2,0,2,B-1,1,2,C-3,0,4,设a=,b=.若向量ka+b与ka-2b互相垂直,则k=________.答案-或2解析a=-1+21-0,2-2=1,1,0,b=-3+2,0-0,4-2=-1,0,2.ka+b=k,k,0+-1,0,2=k-1,k,2,ka-2b=k,k,0--2,0,4=k+2,k,-4.∵ka+b⊥ka-2b,∴k-1,k,2·k+2k,-4=k-1k+2+k2-8=0,即2k2+k-10=0,∴k=-或k=
2.
7.在正四棱锥SABCD中,O为顶点在底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC所成的角是________.答案30°解析如图,以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.设OD=SO=OA=OB=OC=a,则Aa,0,0,B0,a,0,C-a,0,0,P,则=2a,0,0,=,=a,a,0,设平面PAC的法向量为n,可求得n=0,1,1,则cos〈,n〉===,∴〈,n〉=60°,∴直线BC与平面PAC所成的角为90°-60°=30°.
8.在正方体ABCDA1B1C1D1中,M是棱DD1的中点,点O为底面ABCD的中心,P为棱A1B1上任一点,则异面直线OP与AM所成的角的大小为________.答案解析以D为原点,、、所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,不妨设||=1,则A1,0,0,M,O,P1,y,1,则=,=,∴·=0,∴OP⊥AM.
9.在平面四边形ABCD中,AB=BD=CD=1,AB⊥BD,CD⊥BD.将△ABD沿BD折起,使得平面ABD⊥平面BCD,如图所示.1求证AB⊥CD;2若M为AD中点,求直线AD与平面MBC所成角的正弦值.1证明∵平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AB平面ABD,AB⊥BD,∴AB⊥平面BCD.又CD平面BCD,∴AB⊥CD.2解过点B在平面BCD内作BE⊥BD.由1知AB⊥平面BCD,BE平面BCD,BD平面BCD,∴AB⊥BE,AB⊥BD.以B为坐标原点,分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示.依题意,得B0,0,0,C1,1,0,D0,1,0,A0,0,1,M.则=1,1,0,=,=0,1,-1.设平面MBC的法向量n=x0,y0,z0,则即取z0=1,得平面MBC的一个法向量n=1,-1,1.设直线AD与平面MBC所成角为θ,则sinθ=|cos〈n,〉|==.即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为.
10.如图所示,四棱柱ABCDA1B1C1D1中,侧棱A1A⊥底面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E为棱AA1的中点.1证明B1C1⊥CE;2求二面角B1CEC1的正弦值;3设点M在线段C1E上,且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为.求线段AM的长.1证明如图,以点A为原点建立空间直角坐标系,依题意得A0,0,0,B0,0,2,C1,0,1,B10,2,2,C11,2,1,E0,1,0.易得=1,0,-1,=-1,1,-1,于是·=0,所以B1C1⊥CE.2解=1,-2,-1,设平面B1CE的法向量m=x,y,z,则 即消去x,得y+2z=0,不妨令z=1,可得一个法向量为m=-3,-2,1.由1,B1C1⊥CE,又CC1⊥B1C1,可得B1C1⊥平面CEC1,故=1,0,-1为平面CEC1的一个法向量.于是cos〈m,〉===-,从而sin〈m,〉=.所以二面角B1CEC1的正弦值为.3解=0,1,0,=1,1,1.设=λ=λ,λ,λ,0≤λ≤1,有=+=λ,λ+1,λ.可取=0,0,2为平面ADD1A1的一个法向量.设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角,则sinθ=|cos〈,〉|===.于是=,解得λ=负值舍去,所以AM=.
11.如图,矩形ABCD和直角梯形BEFC所在平面互相垂直,∠BCF=90°,BE∥CF,BC⊥CF,CE⊥EF,AD=,EF=
2.1求异面直线AD与EF所成的角;2当AB的长为何值时,二面角AEFC的大小为45°?解如图,以点C为坐标原点,以CB、CF和CD分别为x轴、y轴和z轴,建立空间直角坐标系Cxyz.设AB=a,BE=b,CF=c,bc,则C0,0,0,A,0,a,B,0,0,E,b,0,F0,c,0,D0,0,a. 1=,0,0,=,0,0,=,b-c,0.由||=2,得3+b-c2=4,所以b-c=-
1.所以=,-1,0.所以cos〈,〉===,所以异面直线AD与EF所成的角为30°.2设n=1,y,z为平面AEF的法向量,则n·=0,n·=0,结合||2+||2=||2-||2,解得n=.又BA⊥平面BEFC,=0,0,a,所以cos〈n,〉===,得到a=.所以当AB为时,二面角AEFC的大小为45°.。