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2019-2020年高考数学专题复习抛物线的几何性质练习卷
11、抛物线的准线方程是()A、B、C、D、
2、已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线上的点Pm,-2到焦点的距离为4,则m的值为 A.4 B.-2C.4或-4D.12或-
23、抛物线y2=8x的焦点到双曲线的渐近线的距离为 A.1B.C.D.
4、过点01作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,这样的直线有 A.1条B.2条C.3条D.4条
5、已知过抛物线y2=6x焦点的弦长为12,则此弦所在直线的倾斜角是 A.或B.或C.或 D.
6、设斜率为2的直线l过抛物线y2=axa≠0的焦点F,且和y轴交于点A,若△OAFO为坐标原点的面积为4,则抛物线的方程为 A.=±4xB.=±8xC.=4xD.=8x
7、已知抛物线y2=4x上两个动点B、C和点A12,且∠BAC=90°,则动直线BC必过定点 A.25B.-25C.5,-2D.
528、在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线关于x轴对称,顶点在原点O,且过点P24,则该抛物线的方程是______________.
9、若抛物线y2=2px的焦点与双曲线的右焦点重合,则p的值为.
10、已知点M是抛物线y2=4x上的一点,F为抛物线的焦点,A在圆C x-42+y-12=1上,则|MA|+|MF|的最小值为________.
11、已知抛物线,过点P40的直线与抛物线相交于A两点,则y的最小值是
12、A、B为抛物线上两动点AB长为8,M为AB中点,则的最小值为
13、已知动圆过定点P10,且与定直线l x=-1相切,点C在l上.1求动圆圆心的轨迹M的方程;2设过点P,且斜率为的直线与曲线M相交于A、B两点.问△ABC能否为正三角形?若能,求出C点的坐标;若不能,说明理由.
14、在平面直角坐标系xOy中,直线l与抛物线y2=4x相交于不同的A、B两点.1如果直线l过抛物线的焦点,求·的值;2如果·=-4,证明直线l必过一定点,并求出该定点.
15、如图直线与抛物线交于A、B两点,直线l与直线和y=-5分别交于M、Q,且,.1求点Q的坐标;2当点P为抛物线上且位于线段AB下方含点A、B的动点时,求△OPQ面积的最大值.参考答案
一、选择题
1、D、2.已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线上的点Pm,-2到焦点的距离为4,则m的值为 A.4 B.-2C.4或-4D.12或-2解析设标准方程为x2=-2pyp0,由定义知P到准线距离为4,故+2=4,∴p=4,∴方程为x2=-8y,代入P点坐标得m=±
4.答案C3.2011·东北三校抛物线y2=8x的焦点到双曲线-=1的渐近线的距离为 A.1B.C.D.解析由题意可知,抛物线y2=8x的焦点为20,双曲线-=1的渐近线为y=±x,所以焦点到双曲线的渐近线的距离为=
1.答案A4.过点01作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,这样的直线有 A.1条B.2条C.3条D.4条解析结合图形分析可知,满足题意的直线共有3条直线x=0,过点01且平行于x轴的直线以及过点01且与抛物线相切的直线非直线x=0.答案C5.已知过抛物线y2=6x焦点的弦长为12,则此弦所在直线的倾斜角是 A.或B.或C.或 D.解析由焦点弦长公式|AB|=得=12,∴sinθ=,∴θ=或.答案B6.2011·济南第二次诊断设斜率为2的直线l过抛物线y2=axa≠0的焦点F,且和y轴交于点A,若△OAFO为坐标原点的面积为4,则抛物线的方程为 A.y2=±4xB.y2=±8xC.y2=4xD.y2=8x解析由题可知抛物线焦点坐标为,0,于是过焦点且斜率为2的直线的方程为y=2x-,令x=0,可得A点坐标为0,-,所以S△OAF=··=4,∴a=±
8.答案B7.已知抛物线y2=4x上两个动点B、C和点A12,且∠BAC=90°,则动直线BC必过定点 A.25B.-25C.5,-2D.52解析设B,y1,C,y2,BC的中点为Dx0,y0,则y1+y2=2y0,直线BC=,即4x-2y0y+y1y2=0
①;又·=0,∴y1y2=-4y0-20,代入
①式得2x-5-y0y+2=0,则动直线BC恒过x-5=0与y+2=0的交点5,-2.答案C
二、填空题8.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线关于x轴对称,顶点在原点O,且过点P24,则该抛物线的方程是______________.解析由题意设抛物线的方程为y2=2axa0,由于其过点P24,所以42=2a×2⇒a=4,故该抛物线的方程是y2=8x.答案y2=8x9.若抛物线y2=2px的焦点与双曲线-=1的右焦点重合,则p的值为________.解析双曲线-=1的右焦点F30是抛物线y2=2px的焦点,所以=3,p=
6.答案610.2011·南京调研已知点M是抛物线y2=4x上的一点,F为抛物线的焦点,A在圆C x-42+y-12=1上,则|MA|+|MF|的最小值为________.解析依题意得|MA|+|MF|≥|MC|-1+|MF|=|MC|+|MF|-1,由抛物线的定义知|MF|等于点M到抛物线的准线x=-1的距离,结合图形不难得知,|MC|+|MF|的最小值等于圆心C41到抛物线的准线x=-1的距离,即为5,因此所求的最小值为
4.答案
411、
03212、3
三、解答题13.已知动圆过定点P10,且与定直线l x=-1相切,点C在l上.1求动圆圆心的轨迹M的方程;2设过点P,且斜率为-的直线与曲线M相交于A、B两点.问△ABC能否为正三角形?若能,求出C点的坐标;若不能,说明理由.解1依题意,曲线M是以点P为焦点,直线l为准线的抛物线,所以曲线M的方程为y2=4x.如图所示.2由题意得,直线AB的方程为y=-x-1,由消y得3x2-10x+3=
0.解得A,,B3,-2.若△ABC能为正三角形,设C-1,y,则|AC|=|AB|=|BC|,即
①②组成的方程组无解,因此直线l上不存在点C使△ABC是正三角形.14.xx·淄博模拟在平面直角坐标系xOy中,直线l与抛物线y2=4x相交于不同的A、B两点.1如果直线l过抛物线的焦点,求·的值;2如果·=-4,证明直线l必过一定点,并求出该定点.解1由题意抛物线焦点为10,设l x=ty+1,代入抛物线y2=4x,消去x得y2-4ty-4=0,设Ax1,y1,Bx2,y2,则y1+y2=4t,y1y2=-4,∴·=x1x2+y1y2=ty1+1ty2+1+y1y2=t2y1y2+ty1+y2+1+y1y2=-4t2+4t2+1-4=-
3.2设l x=ty+b代入抛物线y2=4x,消去x得y2-4ty-4b=0,设Ax1,y1,Bx2,y2,则y1+y2=4t,y1y2=-4b,∴·=x1x2+y1y2=ty1+bty2+b+y1y2=t2y1y2+bty1+y2+b2+y1y2=-4bt2+4bt2+b2-4b=b2-4b.令b2-4b=-4,∴b2-4b+4=0,∴b=2,∴直线l过定点20.∴若·=-4,则直线l必过一定点.
15.如图直线y=x与抛物线y=x2-4交于A、B两点,直线l与直线y=x和y=-5分别交于M、Q,且·=0,=+.1求点Q的坐标;2当点P为抛物线上且位于线段AB下方含点A、B的动点时,求△OPQ面积的最大值.解1联立,解得或,即A-4,-2,B84.∵·=0,∴QM⊥AB,又=+,∴M是AB的中点,即M21.∴l是线段AB的垂直平分线,又kAB=,∴l的方程为y-1=-2x-2,即2x+y-5=0,令y=-5,得x=5,∴Q=5,-5.2直线OQ的方程为x+y=
0.由题意可设Px,x2-4,-4≤x≤8,且O、P、Q不共线,则点P到直线OQ的距离为d==|x2+8x-32|.又|OQ|=5,∴S△OPQ=·|OQ|·d=|x2+8x-32|=|x+42-48|,其中x∈[-48],且O、P、Q不共线,令fx=x+42-48,则当x∈[-48]时,函数fx单调递增.又当x=-4时,|x2+8x-32|=48,当x=8时,|x2+8x-32|=
96.∴当x=8时,S△QPOmax=×96=
30.。