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2019-2020年高考数学专题复习第37讲空间点、直线、平面之间的位置关系练习新人教A版[考情展望]
1.本节以考查点、线、面的位置关系为主,同时考查逻辑推理能力与空间想象能力.
2.以棱柱、棱锥为依托考查异面直线所成角.
3.考查应用公理、定理证明点共线、线共点、线共面的问题.
一、平面的基本性质名称图示文字表示符号表示公理1如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α⇒l⊂α公理2过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面公理3如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α,且P∈β⇒α∩β=l且p∈l三个公理的应用1.公理1的作用1检验平面;2判断直线在平面内;3由直线在平面内判断直线上的点在平面内.2.公理2的作用公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法.3.公理3的作用1判定两平面相交;2作两平面相交的交线;3证明多点共线.
二、空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言a∥ba∥αα∥β相交关系图形语言符号语言a∩b=Aa∩α=Aα∩β=l独有关系图形语言符号语言a,b是异面直线a⊂α
三、空间直线的位置关系1.位置关系的分类2.平行公理平行于同一条直线的两条直线互相平行.3.等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.4.异面直线所成的角或夹角1定义设a,b是两条异面直线,经过空间中任一点O作直线a′∥a,b′∥b,把a′与b′所成的锐角或直角叫做异面直线a与b所成的角.2范围.1.下列命题正确的个数为
①梯形可以确定一个平面;
②若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线平行;
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面;
④如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.A.0 B.1 C.2 D.3【解析】
②中两直线可以平行、相交或异面,
④中若三个点在同一条直线上,则两个平面相交,
①③正确.【答案】 C2.已知a、b是异面直线,直线c∥直线a,那么c与b A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线【解析】 若c∥b,∵c∥a,∴a∥b,与a,b异面矛盾.∴c,b不可能是平行直线.【答案】 C3.若直线l不平行于平面α,且l⊄α,则 A.α内的所有直线与l异面B.α内不存在与l平行的直线C.α内存在唯一的直线与l平行D.α内的直线与l都相交【解析】 由题意知,直线l与平面α相交,则直线l与平面α内的直线只有相交和异面两种位置关系,因而只有选项B是正确的.【答案】 B4.l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是 A.l1⊥l2,l2⊥l3⇒l1∥l3B.l1⊥l2,l2∥l3⇒l1⊥l3C.l1∥l2∥l3⇒l1,l2,l3共面D.l1,l2,l3共点⇒l1,l2,l3共面【解析】 当l1⊥l2,l2⊥l3时,l1也可能与l3相交或异面,故A不正确;l1⊥l2,l2∥l3⇒l1⊥l3,故B正确;当l1∥l2∥l3时,l1,l2,l3未必共面,如三棱柱的三条侧棱,故C不正确;l1,l2,l3共点时,l1,l2,l3未必共面,如正方体中从同一顶点出发的三条棱,故D不正确,选B.【答案】 B5.xx·课标全国卷Ⅱ已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则 A.α∥β且l∥αB.α⊥β且l⊥βC.α与β相交,且交线垂直于lD.α与β相交,且交线平行于l【解析】 根据所给的已知条件作图,如图所示.由图可知α与β相交,且交线平行于l,故选D.【答案】 D图7-3-16.xx·四川高考如图7-3-1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是棱CD、CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成的角的大小是________.【解析】 如图,取CN的中点K,连接MK,则MK为△CDN的中位线,所以MK∥DN.所以∠A1MK为异面直线A1M与DN所成的角.连接A1C1,AM.设正方体棱长为4,则A1K==,MK=DN==,A1M==6,∴A1M2+MK2=A1K2,∴∠A1MK=90°.【答案】 90°考向一
[121] 平面的基本性质及应用 如图7-3-2,空间四边形ABCD中,E、F分别是AB、AD的中点,G、H分别在BC、CD上,且BG∶GC=DH∶HC=1∶
2.图7-3-21求证E、F、G、H四点共面;2设EG与FH交于点P.求证P、A、C三点共线.【思路点拨】 利用题目中的中点及比例关系推出平行,利用两平行线确定一个平面证明四点共面;证明三点共线就是证明三点同时在两个平面内.【尝试解答】 1∵E、F分别为AB、AD的中点,∴EF∥BD.在△BCD中,==,∴GH∥BD.∴EF∥GH.∴E、F、G、H四点共面.2∵EG∩FH=P,P∈EG,EG⊂平面ABC,∴P∈共面ABC.同理P∈平面ADC.∴P为平面ABC与平面ADC的公共点.又平面ABC∩平面ADC=AC,∴P∈AC,∴P、A、C三点共线.规律方法1 证明点、线共面的常用方法1纳入平面法先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内.2辅助平面法先证明有关的点、线确定平面α,再证明其余元素确定平面β,最后证明平面α、β重合.3反证法可以假设这些点和直线不在同一个平面内,然后通过推理,找出矛盾,从而否定假设,肯定结论.对点训练 如图7-3-3,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E,F分别是AB和AA1的中点,求证图7-3-31E,C,D1,F四点共面;2CE,D1F,DA三线共点.【证明】 1如图,连结CD1,EF,A1B,∵E,F分别是AB和AA1的中点,∴EF∥A1B且EF=A1B.又∵A1D1綊BC,∴四边形A1BCD1是平行四边形.∵A1B∥CD1,∴EF∥CD1,∴EF与CD1确定一个平面,设为平面α.∴E,F,C,D1∈α,即E,C,D1,F四点共面.2由1知,EF∥CD1,且EF=CD1,∴四边形CD1FE是梯形.∴CE与D1F必相交,设交点为P,如图所示,则P∈CE⊂平面ABCD,且P∈D1F⊂平面A1ADD1,∴P∈平面ABCD且P∈平面A1ADD
1.又∵平面ABCD∩平面A1ADD1=AD,∴P∈AD,∴CE,D1F,DA三线共点.考向二
[122] 空间两条直线的位置关系图7-3-4 1如图7-3-4,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列判断错误的是 A.MN与CC1垂直B.MN与AC垂直C.MN与BD平行D.MN与A1B1平行2在图7-3-5中,G、N、M、H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________.填上所有正确答案的序号图7-3-5【思路点拨】 1连接B1C,则点M是B1C的中点,根据三角形的中位线,证明MN∥B1D
1.2先判断直线GH、MN是否共面,若不共面再利用异面直线的判定定理判定.【尝试解答】 1连接B1C,B1D1,则点M是B1C的中点,MN是△B1CD1的中位线,∴MN∥B1D1,∵CC1⊥B1D1,AC⊥B1D1,BD∥B1D1,∴MN⊥CC1,MN⊥AC,MN∥BD.又∵A1B1与B1D1相交,∴MN与A1B1不平行,故选D.2图
①中,直线GH∥MN;图
②中,G、H、N三点共面,但M∉面GHN,因此直线GH与MN异面;图
③中,连接MG,GM∥HN,因此GH与MN共面;图
④中,G、M、N共面,但H∉面GMN,因此GH与MN异面.所以图
②、
④中GH与MN异面.【答案】 1D 2
②④规律方法2
1.判定空间两条直线是异面直线的方法1判定定理平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线.2反证法证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面,从而可得两线异面.
2.对于线线垂直,往往利用线面垂直的定义,由线面垂直得到线线垂直.
3.画出图形进行判断,可化抽象为直观.对点训练 图7-3-6如图7-3-6所示,正方体ABCD—A1B1C1D1中,M、N分别为棱C1D
1、C1C的中点,有以下四个结论
①直线AM与CC1是相交直线;
②直线AM与BN是平行直线;
③直线BN与MB1是异面直线;
④直线MN与AC所成的角为60°.其中正确的结论为________注把你认为正确的结论序号都填上.【解析】 由图可知AM与CC1是异面直线,AM与BN是异面直线,BN与MB1为异面直线.因为D1C∥MN,所以直线MN与AC所成的角就是D1C与AC所成的角,且角为60°.【答案】
③④考向三
[123] 异面直线所成的角图7-3-7 xx·上海高考改编题如图7-3-7,在三棱锥P—ABC中,PA⊥底面ABC,D是PC的中点.已知∠BAC=,AB=2,AC=2,PA=
2.求1三棱锥P—ABC的体积;2异面直线BC与AD所成角的余弦值.【思路点拨】 1直接根据锥体的体积公式求解.2取PB的中点,利用三角形的中位线平移BC得到异面直线所成的角.或其补角【尝试解答】 1S△ABC=×2×2=2,三棱锥PABC的体积为V=S△ABC·PA=×2×2=.2如图,取PB的中点E,连接DE,AE,则ED∥BC,所以∠ADE或其补角是异面直线BC与AD所成的角.在△ADE中,DE=2,AE=,AD=2,cos∠ADE==.故异面直线BC与AD所成角的余弦值为.规律方法3
1.求异面直线所成的角常用方法是平移法,平移的方法一般有三种类型利用图中已有的平行线平移;利用特殊点线段的端点或中点作平行线平移;补形平移.
2.求异面直线所成的角的三步曲为即“一作、二证、三求”.其中空间选点任意,但要灵活,经常选择“端点、中点、等分点”,通过作三角形的中位线,平行四边形等进行平移,作出异面直线所成角,转化为解三角形问题,进而求解.
3.异面直线所成的角范围是对点训练 直三棱柱ABC—A1B1C1中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于 A.30° B.45° C.60° D.90°【解析】 分别取AB、AA
1、A1C1的中点D、E、F,则BA1∥DE,AC1∥EF.所以异面直线BA1与AC1所成的角为∠DEF或其补角,设AB=AC=AA1=2,则DE=EF=,DF=,由余弦定理得∠DEF=120°.【答案】 C思想方法之十八 构造模型判断空间线面位置关系由于长方体或正方体中包含了线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直及面面垂直等各种位置关系,故构造长方体或正方体来判断空间直线、平面间的位置关系,显得直观、易判断.减少了抽象性与空间想象,构造时注意其灵活性.———— [1个示范例] ———— [1个对点练] ———— 已知m,n是两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,有下列四个命题
①若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β;
②若m∥α,n∥β,m⊥n,则α∥β;
③若m⊥α,n∥β,m⊥n,则α∥β;
④若m⊥α,n∥β,α∥β,则m⊥n.其中所有正确的命题是 A.
①④ B.
②④ C.
① D.
④【解析】 借助于长方体模型来解决本题.对于
①,可以得到平面α,β互相垂直,如图1所示,故
①正确;对于
②,平面α、β可能垂直,如图2所示;对于
③,平面α、β可能垂直,如图3所示;对于
④,由m⊥α,α∥β可得m⊥β,因为n∥β,所以过n作平面γ,且γ∩β=g,如图4所示,所以n与交线g平行,因为m⊥g,所以m⊥n.xx·汕头市金山中学摸底考试已知a,b为异面直线,a⊥平面α,b⊥平面β.直线l满足l⊥a,l⊥b,l⊄α,l⊄β,则 A.α与β相交,且交线平行于lB.α∥β,且l∥αC.α与β相交,且交线垂直于lD.α⊥β,且l⊥β【解析】 构造长方体,如图所示,可知α与β相交,且交线平行于l.【答案】 A。