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2019-2020年高考数学专题复习第6讲函数的奇偶性与周期性练习新人教A版[考情展望]
1.考查函数奇偶性的判断.
2.利用函数的奇偶性、周期性求函数值.
3.与函数的对称性相结合,综合考查知识的灵活应用能力.
一、奇偶函数的定义及图象特征1.奇、偶函数的定义对于函数fx的定义域内的任意一个x.1fx为偶函数⇔f-x=fx;2fx为奇函数⇔f-x=-fx.2.奇、偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称.1.奇、偶函数对称区间上的单调性奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性.2.奇函数图象与原点的关系如果奇函数fx在原点有定义,则f0=
0.
二、周期性1.周期函数T为函数fx的一个周期,则需满足的条件
①T≠0;
②fx+T=fx对定义域内的任意x都成立.2.最小正周期如果在周期函数fx的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就叫做它的最小正周期.周期性常用的结论对fx定义域内任一自变量的值x1若fx+a=-fx,则T=2a;2若fx+a=,则T=2a;3若fx+a=-,则T=2a.4若对于R上的任意x都有f2a-x=fx,且f2b-x=fx其中a<b,则y=fx是以2b-a为周期的周期函数.5若fx+a=fx+ba≠b,那么函数fx是周期函数,其中一个周期为T=2|a-b|.1.已知fx=ax2+bx是定义在[a-12a]上的偶函数,那么a+b的值是 A.- B. C. D.-【解析】 依题意b=0,且2a=-a-1,∴b=0且a=,则a+b=.【答案】 B2.下列函数为偶函数的是 A.y=sinxB.y=x3C.y=exD.y=ln【解析】 由函数奇偶性的定义知A、B项为奇函数,C项为非奇非偶函数,D项为偶函数.【答案】 D3.已知定义在R上的奇函数fx,满足fx+4=fx,则f8的值为 A.-1B.0C.1D.2【解析】 ∵fx+4=fx,∴fx是以4为周期的周期函数.∴f8=f0.又函数fx是定义在R上的奇函数,∴f8=f0=0,故选B.【答案】 B4.若函数y=x+1x-a为偶函数,则a=________.【解析】 因为y=x+1x-a=x2+1-ax-a由题意可知1-a=0,即a=
1.【答案】 15.xx·山东高考已知函数fx为奇函数,且当x>0时,fx=x2+,则f-1= A.2B.1C.0D.-2【解析】 利用奇函数的性质f-x=-fx求解.当x>0时,fx=x2+,∴f1=12+=
2.∵fx为奇函数,∴f-1=-f1=-
2.【答案】 D6.xx·北京高考下列函数中,既是偶函数又在区间0,+∞上单调递减的是 A.y=B.y=e-xC.y=-x2+1D.y=lg|x|【解析】 A项,y=是奇函数,故不正确;B项,y=e-x为非奇非偶函数,故不正确;C,D两项中的两个函数都是偶函数,且y=-x2+1在0,+∞上是减函数,y=lg|x|在0,+∞上是增函数,故选C.【答案】 C考向一
[016] 函数奇偶性的判断 判断下列各函数的奇偶性1fx=x+1;2fx=;3fx=.【思路点拨】 先求定义域,看定义域是否关于原点对称,在定义域下,带绝对值符号的要尽量去掉,分段函数要分情况判断.【尝试解答】 1由得,定义域为-11],关于原点不对称,故fx为非奇非偶函数.2由得,定义域为-10∪01.∴x-2<0,∴|x-2|-2=-x,∴fx=.又∵f-x==-=-fx,∴函数fx为奇函数.3显然函数fx的定义域为-∞,0∪0,+∞,关于原点对称.∵当x<0时,-x>0,则f-x=--x2-x=-x2-x=-fx;当x>0时,-x<0,则f-x=-x2-x=x2-x=-fx;综上可知对于定义域内的任意x,总有f-x=-fx成立,∴函数fx为奇函数.规律方法1
1.本例第1题,若盲目化简fx==将扩大函数的定义域,作出错误判断.第2题易忽视定义域无从入手.
2.判断函数的奇偶性,首先看函数的定义域是否关于原点对称;在定义域关于原点对称的条件下,再化简解析式,根据f-x与fx的关系作出判断,对于分段函数,应分情况判断.考向二
[017] 函数奇偶性的应用 1设函数fx=为奇函数,则实数a的值为________.2已知y=fx是定义在R上的偶函数,当x≥0时,fx=x2-2x,则fx在R上的解析式为________.3设偶函数fx在0,+∞上为减函数,且f2=0,则不等式>0的解集为________.【思路点拨】 1利用奇函数定义或特值法求解.2设x<0,则-x>0,借助偶函数定义求其解析式.3分“x>0”和“x<0”两类分别解不等式,取并集即可.【尝试解答】 1方法一∵fx=为奇函数,∴f-x=-fx,即=-,∴a=-
1.方法二∵fx=为奇函数,∴f1+f-1=0,即+=0,∴a=-
1.2设x<0,则-x>0,∴f-x=-x2-2-x=x2+2x.又y=fx是定义在R上的偶函数,∴f-x=fx,∴fx=x2+2xx<0.∴fx=3因为fx为偶函数,所以不等式>0,等价于>
0.
①当x>0时,>0等价于fx>0,又fx在0,+∞上为减函数,且f2=
0.所以fx>0的解集为{x|0<x<2}.
②当x<0时,>0等价于fx<0,又fx在-∞,0上为增函数,且f-2=f2=
0.所以fx<0的解集为{x|x<-2}.综上可知,不等式的解集为{x|x<-2或0<x<2}.【答案】 1-1 2fx= 3{x|x<-2或0<x<2}规律方法2 1已知函数的奇偶性求函数的解析式,常利用奇偶性构造关于fx的方程,从而可得fx的解析式.2已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数,常常采用待定系数法利用fx±f-x=0产生关于字母的恒等式,由系数的对等性可得知字母的值.3奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.对点训练 1xx·郑州模拟已知定义在R上的奇函数fx和偶函数gx满足fx+gx=ax-a-x+2a>0,且a≠1.若g2=a,则f2= A.2 B. C. D.a22已知定义在R上的奇函数满足fx=x2+2xx≥0,若f3-a2>f2a,则实数a的取值范围是________.【解析】 1∵fx为奇函数,gx为偶函数,∴f-2=-f2,g-2=g2=a,∵f2+g2=a2-a-2+2,
①∴f-2+g-2=g2-f2=a-2-a2+2,
②由
①、
②联立,g2=a=2,f2=a2-a-2=.2当x≥0时,fx=x2+2x=x+12-1∴函数fx在[0,+∞上为增函数.又函数fx是定义在R上的奇函数,∴函数fx在R上是增函数.由f3-a2>f2a得3-a2>2a.解得-3<a<
1.【答案】 1B 2-31考向三
[018] 函数的周期性及其应用 设fx是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有fx+2=-fx.当x∈
[02]时,fx=2x-x
2.1求证fx是周期函数;2当x∈
[24]时,求fx的解析式;3计算f0+f1+f2+…+f2015.【思路点拨】 1证明fx+4=fx2先求[-20]上的解析式,再求
[24]上的解析式;3根据周期性求解.【尝试解答】 1∵fx+2=-fx,∴fx+4=-fx+2=fx.∴fx是周期为4的周期函数.2当x∈[-20]时,-x∈
[02],由已知得f-x=2-x--x2=-2x-x
2.又fx是奇函数,∴f-x=-fx=-2x-x2,∴fx=x2+2x.又当x∈
[24]时,x-4∈[-20],∴fx-4=x-42+2x-4.又fx是周期为4的周期函数,∴fx=fx-4=x-42+2x-4=x2-6x+
8.所以x∈
[24]时,fx=x2-6x+
8.3f0=0,f2=0,f1=1,f3=-
1.又fx是周期为4的周期函数,∴f0+f1+f2+f3=f4+f5+f6+f7=…=f2008+f2009+f2010+f2011=
0.∴f0+f1+f2+…+f2015=f0+f1+f2+f3=0+1+0+-1=
0.规律方法3 1本例2在求解中先借助周期把区间[2,4]转换到区间[-2,0]上,然后借助奇函数实现[-2,0]与[0,2]间的转化.2证明一个函数fx是周期函数的关键是借助已知条件探寻使“fx+T=fx”成立的非零常数T.3周期性与奇偶性相结合的综合问题,周期性起到转换自变量值的作用,奇偶性起到调节符号的作用.对点训练 1已知函数fx是定义域为R的偶函数,且fx+1=-fx,若fx在[-10]上是减函数,那么fx在
[13]上是 A.增函数 B.减函数C.先增后减的函数D.先减后增的函数2已知函数fx是定义在R上的偶函数,若对于x≥0,都有fx+2=-,且当x∈[02时,fx=log2x+1,则f-2013+f2015=________.【解析】 1由fx在[-10]上是减函数,又fx是R上的偶函数,所以fx在
[01]上是增函数.由fx+1=-fx,得fx+2=f[x+1+1]=-fx+1=fx,故2是函数fx的一个周期.结合以上性质,模拟画出fx的部分图象,如图.由图象可以观察出,fx在
[12]上为减函数,在
[23]上为增函数.2当x≥0时,fx+2=-,∴fx+4=fx,即4是fxx≥0的一个周期.∴f2013=f1=log22=1,f-2013=f2013=1,f2015=f3=-=-1,∴f-2013+f2015=
0.【答案】 1D 20思想方法之三 利用奇偶性求值——“方程思想”闪光芒方程思想就是通过分析问题中的各个量及其关系,列出方程组、或者构造方程组,通过求方程组、或讨论方程组的解的情况,使问题得以解决.在函数的奇偶性中,方程思想的具体体现如下1函数奇偶性的判断,即验证等式“fx±f-x=0”是否对定义域中的每个x均成立.2求解析式,在同时含有fx与f-x的表达式中,如bfx+f-x=aab≠0中,常用“-x”代式子中的“x”,重新构建方程,联立求解fx.3求值,已知fa的值探求f-a的值,其方法如同2.———— [1个示范例] ——— [1个对点练] ——— xx·湖南高考已知fx是奇函数,gx是偶函数,且f-1+g1=2,f1+g-1=4,则g1等于 A.4 B.3 C.2 D.1【解析】 ∵fx是奇函数,∴f-1=-f1.又gx是偶函数,∴g-1=g1.∵f-1+g1=2,∴g1-f1=
2.
①又f1+g-1=4,∴f1+g1=
4.
②由
①②,得g1=
3.xx·重庆高考已知函数fx=ax3+bsinx+4a,b∈R,flglog210=5,则flglg2= A.-5 B.-1 C.3 D.4【解析】 因为log210与lg2即log102互为倒数,所以lglog210与lglg2互为相反数.不妨令lglog210=x,则lglg2=-x,而fx+f-x=ax3+bsinx+4+[a-x3+bsin-x+4]=8,故f-x=8-fx=8-5=3,故选C.【答案】 C。