2019-2020年高考数学二轮复习专题三《三角函数》试题

2019-2020年高考数学二轮复习专题三《三角函数》试题【例题解析】例1完成下列选择题

（1）已知sinαsinβ，那么下列命题成立的是（）A.若α、β是第一象限角，则cosαcosβB.若α、β是第二象限，则tanαtanβC.若α、β是第三象限角，则cosαcosβD.若α、β是第四象限角，则tanαtanβ

（3）函数y=sin2x+的图象是由函数y=sin2x的图像（）A.向左平移单位B.向右平移单位C.向左平移单位D.向右平移单位解析

（1）当α，β∈（0，）时，由sinαsinβ得αβ，此时cosαcosβ；当αβ∈π时，由sinαsinβ得αβ，此时tanαtanβ;当α，β∈（π，）时，由sinαsinβ得，αβ，此时cosαcosβ；而对于α，β是第四象限角，由sinαsinβsin2αsin2β1－cos2α1－cos2βcos2αcos2βtan2αtan2β∵tanα0tanβ0tanαtanβ故答案选D

（3）y=sin2x图像向左平移单位后得:y=sin2x+=sin2x+;y=sin2x图像，向右平移单位后得y=sin2x－=sin2x－;y=sin2x图象向左平移单位后得y=sin2x+=sin2x+=sin2x－;y=sin2x图像向右平移单位后得y=sin2x－=sin2x－=sin2x+，故答案选D例2已知函数fx=tansinx

（1）求fx的定义域和值域；

（2）在（－π，π）中，求fx的单调区间；

（3）判定方程fx=tanπ在区间（－π，π）上解的个数解

（1）∵－1≤sinx≤1∴－≤sinx≤又函数y=tanx在x=kπ+k∈Z处无定义，且（－，）[－]（－ππ），∴令sinx=±，则sinx=±解之得x=kπ±k∈Z∴fx的定义域是A={x|x∈R，且x≠kπ±，k∈Z}∵tanx在（－，）内的值域为（－∞，+∞），而当x∈A时，函数y=sinx的值域B满足（－，）B∴fx的值域是（－∞，+∞）

（2）由fx的定义域知，fx在[0，π]中的x=和x=处无定义设t=sinx，则当x∈[0∪（，）∪（，π）时，t∈[0∪，且以t为自变量的函数y=tant在区间（0，），（，上分别单调递增又∵当x∈[0，]时，函数t=sinx单调递增，且t∈[0当x∈（，时，函数t=sinx单调递增，且t∈（当x∈[，时，函数t=sinx单调递减，且t∈（当x∈（，π）时，函数t=sinx单调递减，且t∈（0，）∴fx=tansinx在区间[0，（上分别是单调递增函数；在上是单调递减函数又fx是奇函数，所以区间（－，0，[－，－也是fx的单调递增区间是fx的递减区间故在区间（－π，π）中fx的单调递增区间为[－，－，（－，），（，单调递减区间为

（3）由fx=tanπ得tansinx=tanπsinx=kπ+π（k∈Z）sinx=k+k∈Z

①又∵－1≤sinx≤1，∴∴k=0或k=－1当k=0时，从

①得方程sinx=当k=1时，从

①得方程sinx=－+显然方程sinx=sinx=－+，在（－ππ）上各有2个解，故fx=tanπ在区间（－π，π）上共有4个解注本题是正弦函数与正切函数的复合

（1）求fx的定义域和值域，应当先搞清楚y=sinx的值域与y=tanx的定义域的交集；

（2）求fx的单调区间，必须先搞清fx的基本性质如奇偶性、周期性、复合函数单调性等例3化简下列各式1cos3A+cos3+A+cos3－A;2+++…+解

（1）由三倍角公式cos3α=4cos3α－3cosα得原式=cos3A+cosA+cos3（+A）+cos（π+A）+cos3（－A）+cos（－A）=[cos3A+cos3A+cos3A]+[cosA+cos+A+cos－A]∵cosA+cos+A+cos－A=cosA+2coscosA=0∴原式=cos3A2∵===cotα－cot2α∴+++…+=cotα－cot2α+cot2α－cot4α+cot4α－cot8α+…+cot32α－cot64α=cotα－cot64α=注本题

（1）主要是降幂，通过降幂达到化简的目的

（2）利用裂项法求和三角函数中最好记住一些简单的常用结论如=cotα－cot2αcosA+cos（+A）+cos（－A）=0cos2A+cos2+A+cos2–A=等这样既可提高运算速度又可产生联想的火花例4已知:sin3α+cos3α=1，求sinα+cosα;sin4α+cos4α;sin6α+cos6α的值解法一令sinα+cosα=t，则sinα·cosα=∴sin3α+cos3α=sinα+cosαsin2α－sinα·cosα+cos2α=t·1－=1，得t3－3t+2=0t－12·t+2=0∵t≠－2∴t=sinα+cosα=1，且sinα·cosα==0∴sin4α+cos4α=sin2α+cos2α2–2sin2α·cos2α=1－2·0=1sin6α+cos6α=sin2α+cos2αsin4α－sin2α·cos2α+cos4α=1解法二∵sin3α≤sin2αcos3α≤cos2α∴sin3α+cos3α≤sin2α+cos2α=1等号当且仅当时成立，或∴sinα+cosα=sin4α+cos4α=sin6α+cos6α=1注

（1）凡是遇到sinx+cosx与sinx·cosx类的问题，均应采用换元法，令sinx+cosx=t，得sinx·cosx=

（2）三角中的恒等变形与初中所学整式的恒等变形结合是解本题的关键所在

（3）本题还可推广到一般情形若k≥2且sin2k－1α+cos2k－1α=1，则sinα=1，cosα=0或sinα=0cosα=1，若sin2kα+cos2kα=1，则sinα=±1，cosα=0或sinα=0cosα=±1例5

（1）已知sin+α·sin－α=α∈π，求sin4α；

（2）已知 cosx+=πxπ，求的值解

（1）∵α++－α=∴sin－α=cos+α∴sin+α·sin－α=sin+α·cos+α=sin+2α=cos2α=又∵π2α2πcos2α=∴sin2α=－∴sin4α=2sin2α·cos2α=－本题也可以这样解sin+α·sin－α=（sinα+cosα）cosα－sinα=cos2α－sin2α=cos2α=也可以用积化和差公式sin+α·sin－α=cos2α－cos=cos2α=

（2）法一:由x+∈π2π知sinx+=－∴cosx=cosx+－=cosx+·cos+sinx+·sin=－=－由cosx0可知，xπ，于是sinx=－tanα=7∴原式==－法二原式===－cos2x+tanx+=[1－2cos2x+]tanx+而cosx+=tanx+=－，代入得原式=－注三角函数求值，重视与角的关系，如+x与－x互余（广义）2α=α+β+α－β等例6设fx=tanxx∈0若x1，x2∈0且x1≠x2证明[fx1+fx2]f证明tanx1+tanx2=+==∵x1x2∈（0，），且x1≠x2∴2sinx1+x20cosx1·cosx200cosx1－x21从而有0cosx1+x2+cosx1－x21+cosx1+x2∴tanx1+tanx2=2tan另证以上是采用化弦，放缩后利用公式tan=加以证明的，也可以利用正切的和差角公式加以证明左边－右边=[tanx1+tanx2]－tan=[tanx1－tan+tanx2－tan]=[tanx1－·1+tanx1·tan+tanx2－·1+tanx2·tan]=tan·1+tanx1tan－1－tanx2·tan=tantantanx1－tanx2∵∈0∴tan0又∵tan和tanx1－tanx2在x1x2时，同为正，在x1x2时，同为负，所以tan（tanx1－tanx2）0综上tantan·tanx1－tanx20，即[fx1+fx2]f注在三角函数恒等式、条件等式、不等式证明中，常采用化弦法本题解法一是化弦，了解决把两个分数的单角转化为和角，同时又使函数值适当缩小例7已知三角形ABC的三边a、b、c和对应的三内角A、B、C满足条件atanA+btanB=a+btan求证△ABC是等腰三角形证明由atanA+btanB=a+btan得atanA－tan=b·（tan－tanB）化弦得a·=b·两边约去cos，及正弦定理把ab换成sinAsinB，则上式变为sin=sin∴sintanA－tanB=0所以tanA=tanB或者sin=0由这两个式子都可以得到A=B，因此△ABC为等腰三角形注

（1）三角形中的计算和证明是三角函数的一个重要课题，这里除了应用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，三个内角的互补关系和它们半角之间的互余关系之外，还有一些独特的解题思路和方法，其中把角的函数化成边或把边化成角的函数是最基本也最常用的方法

（2）在三角形中有不少有趣的关系式，如:tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanCcot+cot+cot=cot·cot·cottan·tan+tan·tan+tan·tan=1sinA+sinB+sinC=4cos·cos·coscosA+cosB+cosC=1+4sin·sin·sinsinA+sinB+sinC≤sinA·sinB·sinC≤cosA+cosB+cosC≤cosA·cosB·cosC≤sin+sin+sin≤sin·sin·sin≤熟悉这些关系式常常会给解某些与三角形有关的题目带来一些方便例8如图，A、B是一矩OEFG边界上不同的两点，且∠AOB=45°OE=1EF=，设∠AOE=α.

（1）写出△AOB的面积关于α的函数关系式fα;

（2）写出函数fx的取值范围解

（1）∵OE=1，EF=∴∠EOF=60°当α∈[0，15°]时，△AOB的两顶点A、B在E、F上，且AE=tanαBE=tan45°+α∴fα=S△AOB=[tan45°+α－tanα]==当a∈（15°45°]时，A点在EF上，B点在FG上，且OA=，OB=∴=S△AOB=OA·OB·sin45°=··sin45°=综上得fα=

（2）由

（1）得当α∈[0，]时fα=∈[－1]且当α=0时，fαmin=α=时，fαmax=－1当α∈时－≤2α－≤f（α）=∈[－]且当α=时，fαmin=－当α=时，fαmax=所以fx∈[]注三角函数与其他数学知识有着紧密的关系，它几乎渗透了数学的每一个分支练习时注意三角函数的综合应用例9已知函数y=cos2x+sinx·cosx+1（x∈R）

（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；

（2）该函数的图像可由y=sinxx∈R的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？解

（1）y=cos2x+sinx·cosx+1=2cos2x－1++（2sinx·cosx）+1=cos2x+sin2x+=cos2x·sin+sin2x·cos+=sin2x++所以y取最大值时，只需2x+=+2kπ（k∈Z），即x=+kπ（k∈Z）所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为{x|x=+kπk∈Z}

（2）将函数y=sinx依次进行如下变换（i）把函数y=sinx的图像向左平移，得到函数y=sinx+的图像；（ii）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=sin2x+的图像；（iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到函数y=sin2x+的图像；（iv）把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数y=sin2x++的图像综上得到y=cos2x+sinxcosx+1的图像注本题是xx年全国高考试题，属中档偏容易题，主要考查三角函数的图像和性质这类题一般有两种解法一是化成关于sinxcosx的齐次式，降幂后最终化成y=sinωx++k的形式，二是化成某一个三角函数的二次三项式本题

（1）还可以解法如下当cosx=0时，y=1；当cosx≠0时，y=+1=+1化简得2y－1tan2x－tanx+2y－3=0∵tanx∈R，∴△=3－8y－12y－3≥0解之得≤y≤∴ymax=，此时对应自变量x的值集为{x|x=kπ+k∈Z}例10已知△ABC的三个内角A、B、C满足A+C=2B，+=－，求cos的值解∵=－2∴+=－2将上式化为cosA+cosC=－2cosAcosC利用和差化积公式，上式化为2cos·cos=－[cosA+C+cosA－C]将cos=cos60°=cosA+C=－代入上式，得cos=－cosA－C将cosA－C=2cos2－1代入上式并整理得4cos2+2cos－3=0（2cos－）2cos+3=0∵2cos+3≠0，∴2cos－=0，即。