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2019-2020年高考数学大一轮复习第八章第6节直线与圆锥曲线的位置关系课时冲关理新人教A版
一、选择题1.已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A,B,则|AB|等于 A.3 B.4C.3D.4解析设直线AB的方程为y=x+b,Ax1,y1,Bx2,y2,由⇒x2+x+b-3=0⇒x1+x2=-1,得AB的中点M.又M在直线x+y=0上,可求出b=1,则|AB|=·=
3.答案C2.xx·泰安模拟斜率为的直线与双曲线-=1a0,b0恒有两个公共点,则双曲线离心率的取值范围是 A.[2,+∞B.2,+∞C.1,D.,+∞解析因为斜率为的直线与双曲线-=1恒有两个公共点,所以,所以e===
2.所以双曲线离心率的取值范围是2,+∞.答案B3.xx·西安模拟已知任意k∈R,直线y-kx-1=0与椭圆+=1m0恒有公共点,则实数m的取值范围是 A.01B.05C.[15∪5,+∞D.[15解析直线y=kx+1过定点01,只要01在椭圆+=1上或其内部即可.从而m≥1,又因为椭圆+=1中m≠5,所以m的取值范围是[15∪5,+∞.答案C4.xx·衡水模拟若双曲线-=1a0,b0与椭圆+=1mb0的离心率之积等于1,则以a,b,m为边长的三角形一定是 A.等腰三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形解析设双曲线离心率为e1,椭圆离心率为e2,所以e1=,e2=,故e1·e2==1,⇒m2-a2-b2b2=0,即a2+b2-m2=0,所以,以a,b,m为边长的三角形为直角三角形.答案B5.xx·嘉定模拟过点P11作直线与双曲线x2-=1交于A,B两点,使点P为AB中点,则这样的直线 A.存在一条,且方程为2x-y-1=0B.存在无数条C.存在两条,方程为2x±y+1=0D.不存在解析设Ax1,y1,Bx2,y2,则x1+x2=2,y1+y2=2,则x-y=1,x-y=1,两式相减得x1-x2x1+x2-y1-y2y1+y2=0,所以x1-x2=y1-y2,即kAB=2,故所求直线方程为y-1=2x-1,即2x-y-1=
0.联立可得2x2-4x+3=0,但此方程没有实数解,故这样的直线不存在.故选D.答案D6.xx·杭州模拟F为椭圆+y2=1的右焦点,第一象限内的点M在椭圆上,若MF⊥x轴,直线MN与圆x2+y2=1相切于第四象限内的点N,则|NF|等于 A. B. C. D.解析因为MF⊥x轴,F为椭圆+y2=1的右焦点,所以F20,M,设lMN y-=kx-2,Nx,y,则O到lMN的距离d==1,解得k=负值舍去.又因为⇒即N,所以|NF|==.答案A
二、填空题7.已知两定点M-20,N20,若直线上存在点P,使得|PM|-|PN|=2,则称该直线为“A型直线”,给出下列直线
①y=x+1;
②y=x+2;
③y=-x+3;
④y=-2x.其中是“A型直线”的序号是________.解析由条件知考虑给出直线与双曲线x2-=1右支的交点情况,作图易知
①③直线与双曲线右支有交点,故填
①③.答案
①③8.xx·无锡模拟若直线mx+ny=4与☉O x2+y2=4没有交点,则过点Pm,n的直线与椭圆+=1的交点个数是________.解析由题意知2,即2,所以点Pm,n在椭圆+=1的内部,故所求交点个数是2个.答案29.已知双曲线左、右焦点分别为F1,F2,点P为其右支上一点,∠F1PF2=60°,且S△F1PF2=2,若|PF1|,|F1F2|2,|PF2|成等差数列,则该双曲线的离心率为________.解析设|PF1|=m,|PF2|=nmn,双曲线方程为-=1a0,b0,因此有m-n=2a,|F1F2|=2c,S△PF1F2=·m·n·=2,m·n=
8.又m+n=×4c2=2c2⇒m+n2=4c
4.
①由余弦定理cos∠F1PF2===⇒m2+n2=8+4c2⇒m+n2=4c2+
24.
②①②两式联立解得c2=3⇒c=,所以⇒⇒2a=2,a=1,e==.答案
三、解答题10.xx·衡水模拟在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C+=1ab≥1的离心率e=,且椭圆C上一点N到点Q03的距离最大值为4,过点M30的直线交椭圆C于点A,B.1求椭圆C的方程;2设P为椭圆上一点,且满足+=tO为坐标原点,当|AB|时,求实数t的取值范围.解析1因为e2===,所以a2=4b2,则椭圆方程为+=1,即x2+4y2=4b
2.设Nx,y,则|NQ|====.当y=-1时,|NQ|有最大值为=4,解得b2=1,所以a2=4,椭圆方程是+y2=
1.2设Ax1,y1,Bx2,y2,Px0,y0,AB方程为y=kx-3,由整理得1+4k2x2-24k2x+36k2-4=
0.由Δ=24k22-169k2-11+4k20,得k
2.x1+x2=,x1·x2=.所以+=x1+x2,y1+y2=tx0,y0,则x0=x1+x2=,y0=y1+y2=[kx1+x2-6k]=.由点P在椭圆上,得+=4,化简得36k2=t21+4k2
①又由|AB|=|x1-x2|,即1+k2[x1+x22-4x1x2]3,将x1+x2,x1x2代入得1+k23,化简,得8k2-116k2+130,则8k2-10,k2,所以k2
②由
①,得t2==9-,联立
②,解得3t24,所以-2t-或t
2.11.xx·石家庄模拟椭圆+=1a>b>0的左、右焦点分别为F1-
10、F210,过F1作与x轴不重合的直线l交椭圆于A、B两点.1若△ABF2为正三角形,求椭圆的离心率;2若椭圆的离心率满足0<e<,O为坐标原点,求证|OA|2+|OB|2<|AB|
2.1解由椭圆的定义知|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|,∵|AF2|=|BF2|,∴|AF1|=|BF1|,即F1F2为边AB上的中线,∴F1F2⊥AB.在Rt△AF1F2中,cos30°=,则=,∴椭圆的离心率为.2证明设Ax1,y1,Bx2,y2,∵0<e<,c=1,∴a>.
①当直线AB与x轴垂直时,+=1,y2=,·=x1x2+y1y2=1-==,∵a2>,∴·<0,∴∠AOB恒为钝角,∴|OA|2+|OB|2<|AB|
2.
②当直线AB不与x轴垂直时,设直线AB的方程为y=kx+1,代入+=1,整理得,b2+a2k2x2+2k2a2x+a2k2-a2b2=0,∴x1+x2=,x1x2=,·=x1x2+y1y2=x1x2+k2x1+1x2+1=x1x21+k2+k2x1+x2+k2===令ma=-a4+3a2-1,由
①可知ma<0,∴∠AOB恒为钝角,∴恒有|OA|2+|OB|2<|AB|
2.12.xx·长春三校调研在直角坐标系xOy中,点M,点F为抛物线C y=mx2m>0的焦点,线段MF恰被抛物线C平分.1求m的值;2过点M作直线l交抛物线C于A,B两点,设直线FA,FM,FB的斜率分别为k1,k2,k3,问k1,k2,k3能否成公差不为零的等差数列?若能,求直线l的方程;若不能,请说明理由.解1由题得抛物线C的焦点F的坐标为,线段MF的中点N在抛物线C上,∴-=m8m2+2m-1=0,∴m=.2由1知抛物线C x2=4y,F01.设直线l的方程为y+=kx-2,Ax1,y1,Bx2,y2,由得x2-4kx+8k+2=0,Δ=16k2-48k+2>0,∴k<或k>.由根与系数的关系得假设k1,k2,k3能成公差不为零的等差数列,则k1+k3=2k
2.而k1+k3=+=====,k2==-,∴=-,8k2+10k+3=0,解得k=-符合题意或k=-不合题意,舍去.∴直线l的方程为y+=-x-2,即x+2y-1=
0.∴k1,k2,k3能成公差不为零的等差数列,此时直线l的方程为x+2y-1=
0.[备课札记]。