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2019-2020年高考数学总复习第二章函数概念与基本初等函数第6讲对数与对数函数最新考纲
1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用;
2.理解对数函数的概念及其单调性,掌握对数函数的图象通过的特殊点;
3.知道对数函数是一类重要的函数模型;
4.了解指数函数y=axa>0,且a≠1与对数函数y=logaxa>0,且a≠1互为反函数.知识梳理1.对数的概念如果ax=Na0,且a≠1,那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.2.对数的性质与运算性质1对数的性质
①alogaN=__N__;
②logaaN=__N__a0且a≠1;
③零和负数没有对数.2对数的运算性质a0,且a≠1,M0,N0
①logaM·N=logaM+logaN;
②loga=logaM-logaN;
③logaMn=nlogaMn∈R.3对数的重要公式
①换底公式logbN=a,b均大于零且不等于1;
②logab=,推广logab·logbc·logcd=logad.3.对数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域10,+∞值域2R性质3过点10,即x=1时,y=04当x>1时,y>0;当0<x<1时,y<05当x>1时,y<0;当0<x<1时,y>06在0,+∞上是增函数7在0,+∞上是减函数诊断自测1.判断正误在括号内打“√”或“×” 精彩PPT展示1logab+c=logab+logac×2log2x2=2log2x×3函数y=logx的定义域为{x|x>}×4对数函数y=logaxa>0且a≠1的图象过定点10,且过点a1,,函数图象只在第
一、四象限.√2.xx·四川卷已知b>0,log5b=a,lgb=c5d=10,则下列等式一定成立的是 A.d=acB.a=cdC.c=adD.d=a+c解析 由已知得b=5a,b=10c5d=10,∴5a=10c5d=10,同时取以10为底的对数可得,alg5=c,dlg5=1,∴=,即a=cd.答案 B3.xx·安徽卷+log3+log3=________.解析 +log3+log3=eq\s\up104×+log3=-3+log31=3+0=.答案 4.函数fx=log52x+1的单调增区间是________.解析 函数fx的定义域为,令t=2x+1t0.因为y=log5t在t∈0,+∞上为增函数,t=2x+1在-,+∞上为增函数,所以函数y=log52x+1的单调增区间是.答案 5.人教A必修1P75B2改编若loga<1a>0,且a≠1,则实数a的取值范围是________.解析 当0<a<1时,loga<logaa=1,∴0<a<;当a>1时,loga<logaa=1,∴a>
1.答案 ∪1,+∞考点一 对数的运算【例1】1log29·log34= A.B.C.2D.42lg25+lg2·lg50+lg22=________.解析 1log29·log34=·=·=
4.2原式=lg22+1+lg5lg2+lg52=lg2+lg5+1lg2+2lg5=1+1lg2+2lg5=2lg2+lg5=
2.答案 1D 22规律方法 在对数运算中,要熟练掌握对数式的定义,灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形,多个对数式要尽量化成同底的形式.【训练1】1设2a=5b=m,且+=2,则m等于 A.B.10C.20D.1002lg+lg的值是________.解析 1∵2a=5b=m,∴a=log2m,b=log5m,∴+=+=logm2+logm5=logm10=
2.∴m=.2原式=lg=lg10=
1.答案 1A 21考点二 对数函数的图象及其应用【例2】1xx·福建卷若函数y=logaxa>0,且a≠1的图象如图所示,则下列函数图象正确的是 2xx·石家庄模拟设方程10x=|lg-x|的两个根分别为x1,x2,则 A.x1x2<0B.x1x2=1C.x1x2>1D.0<x1x2<1解析 1由y=logax的图象可知loga3=1,所以a=
3.对于选项A y=3-x=x为减函数,A错误;对于选项B y=x3,显然满足条件;对于选项C y=-x3=-x3在R上为减函数,C错误;对于选项D y=log3-x,当x=-3时,y=1,D错误.故选B.2构造函数y=10x与y=|lg-x|,并作出它们的图象,如图所示.因为x1,x2是10x=|lg-x|的两个根,则两个函数图象交点的横坐标分别为x1,x2,不妨设x2<-1,-1<x1<0,则10x1=-lg-x1,10x2=lg-x2,因此10x2-10x1=lgx1x2,因为10x2-10x1<0,所以lgx1x2<0,即0<x1x2<1,故选D.答案 1B 2D规律方法 在解决对数函数图象的相关问题时,要注意1底数a的值对函数图象的影响;2增强数形结合的解题意识,使抽象问题具体化.【训练2】已知函数fx=loga2x+b-1a>0,a≠1的图象如图所示,则a,b满足的关系是 A.0<a-1<b<1B.0<b<a-1<1C.0<b-1<a<1D.0<a-1<b-1<1解析 由函数图象可知,fx在R上单调递增,故a>
1.函数图象与y轴的交点坐标为0,logab,由函数图象可知-1<logab<0,解得<b<
1.综上有0<<b<
1.答案 A考点三 对数函数的性质及其应用【例3】1设a=log32,b=log52,c=log23,则 A.a>c>bB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b2若fx=lgx2-2ax+1+a在区间-∞,1]上递减,则a的取值范围为 A.[12B.
[12]C.[1,+∞D.[2,+∞解析 1∵<2<31<2<,3>2,∴log3<log32<log33,log51<log52<log5,log23>log22,∴<a<10<b<,c>1,∴c>a>b.2令函数gx=x2-2ax+1+a=x-a2+1+a-a2,对称轴为x=a,要使函数在-∞,1]上递减,则有即解得1≤a<2,即a∈[12,故选A.答案 1D 2A规律方法 在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时,要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时,一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响,及真数必须为正的限制条件.【训练3】1设a,b,c均为正数,且2a=a,b=b,c=log2c,则 A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c2设函数fx=eq\b\lc\{\rc\\a\vs4\al\co1log2x,x>0,-x,x<
0.若fa>f-a,则实数a的取值范围是 A.-10∪01B.-∞,-1∪1,+∞C.-10∪1,+∞D.-∞,-1∪01解析 1∵a>0,∴2a>1,∴a>1,∴0<a<.又∵b>0,∴0<b<1,∴0<b<1,∴<b<
1.又∵c>0,∴log2c>0,∴c>1,∴0<a<<b<1<c,故选A.2由题意可得或eq\b\lc\{\rc\\a\vs4\al\co1a<0,-a>log2-a,解得a>1或-1<a<
0.答案 1A 2C[思想方法]1.研究对数型函数的图象时,一般从最基本的对数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地,要注意底数a>1和0<a<1的两种不同情况.有些复杂的问题,借助于函数图象来解决,就变得简单了,这是数形结合思想的重要体现.2.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题,其基本方法是“同底法”,即把不同底的对数式化为同底的对数式,然后根据单调性来解决.3.多个对数函数图象比较底数大小的问题,可通过图象与直线y=1交点的横坐标进行判定.[易错防范]1.在运算性质logaMn=nlogaM中,要特别注意条件,在无M>0的条件下应为logaMn=nloga|M|n∈N+,且n为偶数.2.解决与对数函数有关的问题时需注意两点1务必先研究函数的定义域;2注意对数底数的取值范围.基础巩固题组建议用时40分钟
一、选择题1.设a,b,c均为不等于1的正实数,则下列等式中恒成立的是 A.logab·logcb=logcaB.logab·logca=logcbC.logabc=logab·logacD.logab+c=logab+logac解析 logab·logca=logab·==logcb,故选B.答案 B2.xx·郑州一模函数y=lg|x-1|的图象是 解析 当x=1时,函数无意义,故排除B,D.又当x=2或0时,y=0,所以A项符合题意.答案 A3.xx·安徽卷设a=log37,b=
21.1,c=
0.
83.1,则 A.b<a<cB.c<a<bC.c<b<aD.a<c<b解析 由3<7<9得log33<log37<log39,∴1<a<2,由
21.1>21=2得b>2,由
0.
83.1<
0.80=1得0<c<1,因此c<a<b,故选B.答案 B4.函数fx=logaax-3在
[13]上单调递增,则a的取值范围是 A.1,+∞B.01C.0,D.3,+∞解析 由于a>0,且a≠1,∴u=ax-3为增函数,∴若函数fx为增函数,则fx=logau必为增函数,因此a>
1.又y=ax-3在
[13]上恒为正,∴a-3>0,即a>3,故选D.答案 D5.xx·长春质检已知函数fx=loga|x|在0,+∞上单调递增,则 A.f3<f-2<f1B.f1<f-2<f3C.f-2<f1<f3D.f3<f1<f-2解析 因为fx=loga|x|在0,+∞上单调递增,所以a>1,f1<f2<f3.又函数fx=loga|x|为偶函数,所以f2=f-2,所以f1<f-2<f3.答案 B
二、填空题6.xx·陕西卷已知4a=2,lgx=a,则x=________.解析 ∵4a=2,∴a=log42=,∴lgx=,∴x==.答案 7.函数y=3x-a的定义域是,则a=______.解析 要使函数有意义,则3x-a>0,即x>,∴=,∴a=
2.答案 28.xx·淄博一模已知函数fx为奇函数,当x>0时,fx=log2x,则满足不等式fx>0的x的取值范围是________.解析 由题意知y=fx的图象如图所示,则fx>0的x的取值范围为-10∪1,+∞.答案 -10∪1,+∞
三、解答题9.已知函数fx=lg,1求函数fx的定义域;2判断函数fx的奇偶性;3判断函数fx的单调性.解 1要使fx有意义,需满足>0,即或解得-1<x<1,故函数fx的定义域为-11.2由1知fx的定义域为-11,关于坐标原点对称,又f-x=lg=-lg=-fx,∴fx为奇函数.3由1知fx的定义域为-11.设-1<x1<x2<1,则fx1-fx2=lg-lg=lg=lg.∵-1<x1<x2<1,∴1-x1x2+x2-x1>1-x1x2-x2-x1=1+x11-x2>0,∴>1,∴lg>0,即fx1-fx2>0,∴fx在-11上是减函数.10.设x∈
[28]时,函数fx=logaax·logaa2xa0,且a≠1的最大值是1,最小值是-,求a的值.解 由题意知fx=logax+1logax+2==2-.当fx取最小值-时,logax=-.又∵x∈
[28],∴a∈01.∵fx是关于logax的二次函数,∴函数fx的最大值必在x=2或x=8时取得.若2-=1,则a=2-,此时fx取得最小值时,x=-=∉
[28],舍去.若2-=1,则a=,此时fx取得最小值时,x=-=2∈
[28],符合题意,∴a=.能力提升题组建议用时25分钟11.定义在R上的函数fx满足f-x=-fx,fx-2=fx+2,且x∈-10时,fx=2x+,则flog220= A.1B.C.-1D.-解析 由fx-2=fx+2,得fx=fx+4,因为4<log220<5,所以flog220=flog220-4=-f4-log220=-f=-=-
1.答案 C12.当0<x≤时,4x<logax,则a的取值范围是 A.B.C.1,D.,2解析 由题意得,当0<a<1时,要使得4x<logax,即当0<x≤时,函数y=4x的图象在函数y=logax图象的下方.又当x=时,4=2,即函数y=4x的图象过点,把点代入函数y=logax,得a=,若函数y=4x的图象在函数y=logax图象的下方,则需<a<1如图所示.当a>1时,不符合题意,舍去.所以实数a的取值范围是.答案 B13.xx·湘潭模拟已知函数fx=ln,若fa+fb=0,且0<a<b<1,则ab的取值范围是________.解析 由题意可知ln+ln=0,即ln=0,从而×=1,化简得a+b=1,故ab=a1-a=-a2+a=-2+,又0<a<b<1,∴0<a<,故0<-2+<.答案 14.已知函数fx=-x+log
2.1求f+f的值;2当x∈-a,a],其中a∈01,a是常数时,函数fx是否存在最小值?若存在,求出fx的最小值;若不存在,请说明理由.解 1由fx+f-x=log2+log2=log21=
0.∴f+f=
0.2fx的定义域为-11,∵fx=-x+log2-1+,当x1x2且x1,x2∈-11时,fx为减函数,∴当a∈01,x∈-a,a]时fx单调递减,∴当x=a时,fxmin=-a+log
2.。