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2019-2020年高考数学总复习第二章函数概念与基本初等函数第9讲函数模型及其应用最新考纲
1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征,知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义;
2.了解函数模型如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型的广泛应用.知识梳理几类函数模型及其增长差异1几类函数模型函数模型函数解析式一次函数型fx=ax+ba,b为常数,a≠0反比例函数型fx=+bk,b为常数且k≠0二次函数模型fx=ax2+bx+ca,b,c为常数,a≠0指数函数型fx=bax+ca,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1对数函数型fx=blogax+ca,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1幂函数型fx=axn+ba,b为常数,a≠02指数、对数、幂函数模型性质比较函数性质 Y=axa>1y=logaxa>1y=xnn>0在0,+∞上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0,当x>x0时,有logax<xn<ax诊断自测1.判断正误在括号内打“√”或“×” 精彩PPT展示1函数y=2x的函数值比y=x2的函数值大.×2“指数爆炸”是指数型函数y=abx+ca≠0,b>0,b≠1增长速度越来越快的形象比喻.×3幂函数增长比直线增长更快.×4fx=x2,gx=2x,hx=log2x,当x∈4,+∞时,恒有hx<fx<gx.√2.小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间后,为了赶时间加快速度行驶,与以上事件吻合得最好的图象是 解析 小明匀速运动时,所得图象为一条直线,且距离学校越来越近,排除A.因交通堵塞停留了一段时间,与学校的距离不变,排除D.后来为了赶时间加快速度行驶,排除B.故选C.答案 C3.xx·深圳模拟用长度为24的材料围一矩形场地,中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为 A.3B.4C.6D.12解析 设隔墙的长为x0<x<6,矩形面积为y,则y=x×=2x6-x=-2x-32+18,∴当x=3时,y最大.答案 A4.某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍,且知病毒的繁殖规律为y=ekt其中k为常数,t表示时间,单位小时,y表示病毒个数,则k=________,经过5小时,1个病毒能繁殖为________个.解析 当t=
0.5时,y=2,∴2=ek,∴k=2ln2,∴y=e2tln2,当t=5时,y=e10ln2=210=
1024.答案 2ln2 10245.人教A必修1P104例5改编某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元,每桶水的进价是5元,销售单价与日均销售量的关系如表所示销售单价/元6789101112日均销售量/桶480440400360320280240请根据以上数据作出分析,这个经营部为获得最大利润,定价应为________元.解析 设在进价基础上增加x元后,日均销售利润为y元,日均销售量为480-40x-1=520-40x桶,则y=520-40xx-200=-40x2+520x-2000<x<
13.当x=
6.5时,y有最大值.所以只需将销售单价定为
11.5元,就可获得最大的利润.答案
11.5考点一 二次函数模型【例1】A,B两城相距100km,在两城之间距A城xkm处建一核电站给A,B两城供电,为保证城市安全,核电站距城市距离不得小于10km.已知供电费用等于供电距离km的平方与供电量亿度之积的
0.25倍,若A城供电量为每月20亿度,B城供电量为每月10亿度.1求x的取值范围;2把月供电总费用y表示成x的函数;3核电站建在距A城多远,才能使供电总费用y最少?解 1x的取值范围为10≤x≤
90.2y=5x2+100-x210≤x≤90.3因为y=5x2+100-x2=x2-500x+25000=2+,所以当x=时,ymin=.故核电站建在距A城km处,能使供电总费用y最少.规律方法 在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时,一定要注意自变量的取值范围,需根据函数图象的对称轴与函数定义域的位置关系讨论求解.【训练1】xx·武汉高三检测某汽车销售公司在A,B两地销售同一种品牌的汽车,在A地的销售利润单位万元为y1=
4.1x-
0.1x2,在B地的销售利润单位万元为y2=2x,其中x为销售量单位辆,若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车,则能获得的最大利润是 A.
10.5万元B.11万元C.43万元D.
43.025万元解析 设公司在A地销售该品牌的汽车x辆,则在B地销售该品牌的汽车16-x辆,所以可得利润y=
4.1x-
0.1x2+216-x=-
0.1x2+
2.1x+32=-
0.1x-2+
0.1×+
32.因为x∈
[016]且x∈N,所以当x=10或11时,总利润取得最大值43万元.答案 C考点二 指数函数、对数函数模型【例2】xx·青岛模拟世界人口在过去40年翻了一番,则每年人口平均增长率是参考数据lg2≈
0.
3010100.0075≈
1.017 A.
1.5%B.
1.6%C.
1.7%D.
1.8%解析 设每年人口平均增长率为x,则1+x40=2,两边取以10为底的对数,则40lg1+x=lg2,所以lg1+x=≈
0.0075,所以
100.0075=1+x,得1+x=
1.017,所以x=
1.7%.答案 C规律方法 在实际问题中,有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示.通常可以表示为y=N1+px其中N为基础数,p为增长率,x为时间的形式.解题时,往往用到对数运算,要注意与已知表格中给定的值对应求解.【训练2】某位股民购进某支股票,在接下来的交易时间内,他的这支股票先经历了n次涨停每次上涨10%,又经历了n次跌停每次下跌10%,则该股民这支股票的盈亏情况不考虑其他费用为 A.略有盈利B.略有亏损C.没有盈利也没有亏损D.无法判断盈亏情况解析 设该股民购这支股票的价格为a元,则经历n次涨停后的价格为a1+10%n=a×
1.1n元,经历n次跌停后的价格为a×
1.1n×1-10%n=a×
1.1n×
0.9n=a×
1.1×
0.9n=
0.99n·a<a,故该股民这支股票略有亏损.答案 B考点三 分段函数模型【例3】某旅游景点预计xx年1月份起前x个月的旅游人数的和px单位万人与x的关系近似地满足px=xx+139-2xx∈N*,且x≤12.已知第x个月的人均消费额qx单位元与x的近似关系是qx=1写出xx年第x个月的旅游人数fx单位人与x的函数关系式;2试问xx年第几个月旅游消费总额最大?最大月旅游消费总额为多少元?解 1当x=1时,f1=p1=37,当2≤x≤12,且x∈N*时,fx=px-px-1=xx+139-2x-x-1x41-2x=-3x2+40x,验证x=1也满足此式,所以fx=-3x2+40xx∈N*,且1≤x≤12.2第x个月旅游消费总额为gx=即gx=
①当1≤x≤6,且x∈N*时,g′x=18x2-370x+1400,令g′x=0,解得x=5或x=舍去.当1≤x<5时,g′x>0,当5<x≤6时,g′x<0,∴当x=5时,gxmax=g5=3125万元.
②当7≤x≤12,且x∈N*时,gx=-480x+6400是减函数,∴当x=7时,gxmax=g7=3040万元.综上,xx年5月份的旅游消费总额最大,最大旅游消费总额为3125万元.规律方法 1很多实际问题中,变量间的关系不能用一个关系式给出,这时就需要构建分段函数模型,如出租车的票价与路程的函数就是分段函数.2求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法.在求分段函数的最值时,应先求每一段上的最值,然后比较得最大值、最小值.【训练3】某建材商场国庆期间搞促销活动,规定顾客购物总金额不超过800元,不享受任何折扣,如果顾客购物总金额超过800元,则超过800元部分享受一定的折扣优惠,按下表折扣分别累计计算.可以享受折扣优惠金额折扣率不超过500元的部分5%超过500元的部分10%某人在此商场购物总金额为x元,可以获得的折扣金额为y元,则y关于x的解析式为y=若y=30元,则他购物实际所付金额为________元.解析 若x=1300元,则y=5%1300-800=25元<30元,因此x>
1300.∴由10%x-1300+25=30,得x=1350元.答案 1350[思想方法]解函数应用问题的步骤四步八字1审题弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;2建模将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;3解模求解数学模型,得出数学结论;4还原将数学结论还原为实际问题的意义.以上过程用框图表示如下[易错防范]1.解应用题思路的关键是审题,不仅要明白、理解问题讲的是什么,还要特别注意一些关键的字眼如“几年后”与“第几年后”,学生常常由于读题不谨慎而漏读和错读,导致题目不会做或函数解析式写错,故建议复习时务必养成良好的审题习惯.2.在解应用题建模后一定要注意定义域,建模的关键是注意寻找量与量之间的相互依赖关系.3.解决完数学模型后,注意转化为实际问题写出总结答案.基础巩固题组建议用时40分钟
一、选择题1.下表是函数值y随自变量x变化的一组数据,它最可能的函数模型是 x45678910y15171921232527A.一次函数模型B.幂函数模型C.指数函数模型D.对数函数模型解析 根据已知数据可知,自变量每增加1函数值增加2,因此函数值的增量是均匀的,故为一次函数模型.答案 A2.xx·合肥调研某工厂6年来生产某种产品的情况是前3年年产量的增长速度越来越快,后3年年产量保持不变,则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t年的函数关系图象正确的是 解析 前3年年产量的增长速度越来越快,说明呈高速增长,只有A,C图象符合要求,而后3年年产量保持不变,故选A.答案 A3.xx·北京东城期末某企业投入100万元购入一套设备,该设备每年的运转费用是
0.5万元,此外每年都要花费一定的维护费,第一年的维护费为2万元,由于设备老化,以后每年的维护费都比上一年增加2万元.为使该设备年平均费用最低,该企业需要更新设备的年数为 A.10B.11C.13D.21解析 设该企业需要更新设备的年数为x,设备年平均费用为y,则x年后的设备维护费用为2+4+…+2x=xx+1,所以x年的平均费用为y==x++
1.5,由基本不等式得y=x++
1.5≥2+
1.5=
21.5,当且仅当x=,即x=10时取等号,所以选A.答案 A4.xx·孝感模拟物价上涨是当前的主要话题,特别是菜价,我国某部门为尽快实现稳定菜价,提出四种绿色运输方案.据预测,这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0,各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示,在这四种方案中,运输效率单位时间的运输量逐步提高的是 解析 由运输效率单位时间的运输量逐步提高得,曲线上的点的切线斜率应逐渐增大,故函数的图象应一直是下凹的,故选B.答案 B
5.某电信公司推出两种手机收费方式A种方式是月租20元,B种方式是月租0元.一个月的本地网内打出电话时间t分钟与打出电话费s元的函数关系如图,当打出电话150分钟时,这两种方式电话费相差 A.10元B.20元C.30元D.元解析 设A种方式对应的函数解析式为s=k1t+20,B种方式对应的函数解析式为s=k2t,当t=100时,100k1+20=100k2,∴k2-k1=,t=150时,150k2-150k1-20=150×-20=
10.答案 A
二、填空题
6.xx·江西六校联考A、B两只船分别从在东西方向上相距145km的甲乙两地开出.A从甲地自东向西行驶.B从乙地自北向南行驶,A的速度是40kmh,B的速度是16kmh,经过________小时,AB间的距离最短.解析 设经过xh,A,B相距为ykm,则y=0≤x≤,求得函数的最小值时x的值为.答案 7.xx·长春模拟一个容器装有细沙acm3,细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,tmin后剩余的细沙量为y=ae-btcm3,经过8min后发现容器内还有一半的沙子,则再经过________min,容器中的沙子只有开始时的八分之一.解析 当t=0时,y=a,当t=8时,y=ae-8b=a,∴e-8b=,容器中的沙子只有开始时的八分之一时,即y=ae-bt=a,e-bt==e-8b3=e-24b,则t=24,所以再经过16min.答案
168.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园阴影部分,则其边长x为________m.解析 设内接矩形另一边长为y,则由相似三角形性质可得=,解得y=40-x,所以面积S=x40-x=-x2+40x=-x-202+4000<x<40,当x=20时,Smax=
400.答案 20
三、解答题9.xx·郑州模拟某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品,其生产的总成本y万元与年产量x吨之间的函数关系式可以近似地表示为y=-48x+8000,已知此生产线年产量最大为210吨.1求年产量为多少吨时,生产每吨产品的平均成本最低,并求最低成本;2若每吨产品平均出厂价为40万元,那么当年产量为多少吨时,可以获得最大利润?最大利润是多少?解 1每吨平均成本为万元.则=+-48≥2-48=32,当且仅当=,即x=200时取等号.∴年产量为200吨时,每吨平均成本最低为32万元.2设年获得总利润为Rx万元.则Rx=40x-y=40x-+48x-8000=-+88x-8000=-x-2202+16800≤x≤210.∵Rx在
[0210]上是增函数,∴x=210时,Rx有最大值为-210-2202+1680=
1660.∴年产量为210吨时,可获得最大利润1660万元.
10.在扶贫活动中,为了尽快脱贫无债务致富,企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以
5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙,并约定从该店经营的利润中,首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3600元后,逐步偿还转让费不计息.在甲提供的资料中
①这种消费品的进价为每件14元;
②该店月销量Q百件与销售价格P元的关系如图所示;
③每月需各种开支2000元.1当商品的价格为每件多少元时,月利润扣除职工最低生活费的余额最大?并求最大余额;2企业乙只依靠该店,最早可望在几年后脱贫?解 设该店月利润余额为L元,则由题设得L=QP-14×100-3600-2000,由销量图易得Q=代入
①式得L=1当14≤P≤20时,Lmax=450元,此时P=
19.5元;当20<P≤26时,Lmax=元,此时P=元.故当P=
19.5元时,月利润余额最大,为450元.2设可在n年后脱贫,依题意有12n×450-50000-58000≥0,解得n≥
20.即最早可望在20年后脱贫.能力提升题组建议用时25分钟11.为了预防信息泄露,保证信息的安全传输,在传输过程中都需要对文件加密,有一种为加密密钥密码系统PrivateKeyCryptosystem,其加密、解密原理为发送方由明文→密文加密,接收方由密文→明文解密.现在加密密钥为y=kx3,如“4”通过加密后得到密文“2”,若接受方接到密文“”,则解密后得到的明文是 A.B.C.2D.解析 由题目可知加密密钥y=kx3是一个幂函数型,由已知可得,当x=4时,y=2,即2=k×43,解得k==.故y=x3,显然令y=,则=x3,即x3=,解得x=.答案 A
12.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图,为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片如图中阴影部分备用,当截取的矩形面积最大时,矩形两边长x,y应为 A.x=15,y=12B.x=12,y=15C.x=14,y=10D.x=10,y=14解析 由三角形相似得=.得x=24-y,∴S=xy=-y-122+180,∴当y=12时,S有最大值,此时x=
15.答案 A13.一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元,此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元,年产量为xx∈N*件.当x≤20时,年销售总收入为33x-x2万元;当x>20时,年销售总收入为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元,则y万元与x件的函数关系式为________,该工厂的年产量为________件时,所得年利润最大年利润=年销售总收入-年总投资.解析 当0<x≤20时,y=33x-x2-x-100=-x2+32x-100;当x>20时,y=260-100-x=160-x.故y=x∈N*.当0<x≤20时,y=-x2+32x-100=-x-162+156,x=16时,ymax=
156.而当x>20时,160-x<140,故x=16时取得最大年利润.答案 y=x∈N* 1614.已知某物体的温度θ单位摄氏度随时间t单位分钟的变化规律θ=m·2t+21-tt≥0,并且m>0.1如果m=2,求经过多少时间,物体的温度为5摄氏度;2若物体的温度总不低于2摄氏度,求m的取值范围.解 1若m=2,则θ=2·2t+21-t=2,当θ=5时,2t+=,令2t=x≥1,则x+=,即2x2-5x+2=0,解得x=2或x=舍去,此时t=
1.所以经过1分钟,物体的温度为5摄氏度.2物体的温度总不低于2摄氏度,即θ≥2恒成立.亦m·2t+≥2恒成立,亦即m≥2恒成立.令=x,则0<x≤1,∴m≥2x-x2,由于x-x2≤,∴m≥.因此,当物体的温度总不低于2摄氏度时,m的取值范围是.。