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2019-2020年高考真题——理科数学(北京卷)解析版
(2)本试卷共5页.150分.考试时长120分钟.考试生务必将答案答在答题卡上.在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第一部分选择题共40分
一、选择题共8小题每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合胜目要求的一项.1.已知集合A={x∈R|3x+2>0}B={x∈R|(x+1)x-3>0}则A∩B=A(-,-1)B(-1,-)C(-3)D3+【解析】和往年一样,依然的集合交集运算,本次考查的是一次和二次不等式的解法因为,利用二次不等式可得或画出数轴易得.故选D.【答案】D2.设不等式组,表示平面区域为D,在区域D内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是(A)(B)(C)(D)【解析】题目中表示的区域如图正方形所示,而动点D可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分,因此,故选D【答案】D3.设a,b∈R“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】当时,如果同时等于零,此时是实数,不是纯虚数,因此不是充分条件;而如果已经为纯虚数,由定义实部为零,虚部不为零可以得到,因此想必要条件,故选B【答案】B4.执行如图所示的程序框图,输出的S值为()A.2B.4C.8D.16【解析】,,,,,循环结束,输出的s为8,故选C【答案】
5.如图.∠ACB=90º,CD⊥AB于点D,以BD为直径的圆与BC交于点E.则A.CE·CB=AD·DBB.CE·CB=AD·ABC.AD·AB=CD²D.CE·EB=CD²【解析】在中,∠ACB=90º,CD⊥AB于点D,所以由切割线定理的所以CE·CB=AD·DB【答案】A
6.从0,2中选一个数字.从
1.
3.5中选两个数字组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为A.24B.18C.12D.6【解析】由于题目要求的是奇数,那么对于此三位数可以分成两种情况奇偶奇;偶奇奇如果是第一种奇偶奇的情况,可以从个位开始分析3种选择,之后十位2种选择,最后百位2种选择,共12种;如果是第二种情况偶奇奇,分析同理个位3种情况,十位2种情况,百位不能是0,一种情况,共6种,因此总共12+6=18种情况【答案】B
7.某三棱锥的三视图如图所示,该三梭锥的表面积是()A.28+6B.30+6C.56+12D.60+12【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥,如图所示,图中蓝色数字所表示的为直接从题目所给三视图中读出的长度,黑色数字代表通过勾股定理的计算得到的边长本题所求表面积应为三棱锥四个面的面积之和,利用垂直关系和三角形面积公式,可得,,,,因此该几何体表面积,故选B【答案】B
8.某棵果树前n前的总产量S与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看,前m年的年平均产量最高m值为()A.5B.7C.9D.11【解析】由图可知6789这几年增长最快,超过平均值,所以应该加入,因此选C【答案】C第二部分非选择题共110分二.填空题共6小题每小题5分共30分.9.直线为参数与曲线为参数的交点个数为______【解析】直线的普通方程,圆的普通方程为,可以直线圆相交,故有2个交点【答案】210.已知等差数列为其前n项和若,,则=_______【解析】因为,所以,【答案】,11.在△ABC中,若=2,b+c=7,cosB=,则b=_______【解析】在△ABC中,利用余弦定理,化简得,与题目条件联立,可解得【答案】412.在直角坐标系xOy中,直线l过抛物线=4x的焦点F.且与该撇物线相交于A、B两点.其中点A在x轴上方若直线l的倾斜角为60º.则△OAF的面积为【解析】由可求得焦点坐标F10,因为倾斜角为,所以直线的斜率为,利用点斜式,直线方程为,将直线和曲线联立,因此.【答案】13.已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则的值为________,的最大值为______【解析】根据平面向量的数量积公式,由图可知,,因此,,而就是向量在边上的射影,要想让最大,即让射影最大,此时E点与B点重合,射影为,所以长度为1.【答案】1,
114.已知,,若同时满足条件
①,或;
②则m的取值范围是_______【解析】根据,可解得由于题目中第一个条件的限制,或成立的限制,导致在时必须是的当时,不能做到在时,所以舍掉因此,作为二次函数开口只能向下,故,且此时两个根为,为保证此条件成立,需要,和大前提取交集结果为;又由于条件2要求,0的限制,可分析得出在时,恒负,因此就需要在这个范围内有得正数的可能,即应该比两根中小的那个大,当时,,解得,交集为空,舍当时,两个根同为,舍当时,,解得,综上所述.【答案】
三、解答题公6小题,共80分解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程15.(本小题共13分)已知函数
(1)求的定义域及最小正周期;
(2)求的单调递减区间16.(本小题共14分)如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E分别是AC,AB上的点,且DE∥BC,DE=2,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C⊥CD如图
2.I求证A1C⊥平面BCDE;II若M是A1D的中点,求CM与平面A1BE所成角的大小;III线段BC上是否存在点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直?说明理由解
(1),平面,又平面,又,平面
(2)如图建系,则,,,∴设平面法向量为则∴∴∴又∵∴∴,∴与平面所成角的大小
(3)设线段上存在点,设点坐标为,则则,设平面法向量为,则∴∴假设平面与平面垂直,则,∴,,,∵,∴不存在线段上存在点,使平面与平面垂直17.(本小题共13分)近年来,某市为了促进生活垃圾的风分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应分垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾,数据统计如下(单位吨)“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060(Ⅰ)试估计厨余垃圾投放正确的概率;(Ⅱ)试估计生活垃圾投放错误额概率;(Ⅲ)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为其中a>0,=600当数据的方差最大时,写出的值(结论不要求证明),并求此时的值(注,其中为数据的平均数)解()由题意可知()由题意可知()由题意可知,因此有当,,时,有.18.(本小题共13分)解()由为公共切点可得,则,,,则,,
①又,,,即,代入
①式可得.
(2),设则,令,解得,;,,原函数在单调递增,在单调递减,在上单调递增
①若,即时,最大值为;
②若,即时,最大值为
③若时,即时,最大值为.综上所述当时,最大值为;当时,最大值为.19.(本小题共14分)解
(1)原曲线方程可化简得由题意可得,解得
(2)由已知直线代入椭圆方程化简得,,解得由韦达定理得
①,,
②设,,方程为,则,,,欲证三点共线,只需证,共线即成立,化简得将
①②代入易知等式成立,则三点共线得证20.(本小题共13分)解
(1)由题意可知,,,,∴
(2)先用反证法证明若则,∴同理可知,∴由题目所有数和为即∴与题目条件矛盾∴.易知当时,存在∴的最大值为1
(3)的最大值为.首先构造满足的,.经计算知,中每个元素的绝对值都小于1,所有元素之和为0,且,,.下面证明是最大值.若不然,则存在一个数表,使得.由的定义知的每一列两个数之和的绝对值都不小于,而两个绝对值不超过1的数的和,其绝对值不超过2,故的每一列两个数之和的绝对值都在区间中.由于,故的每一列两个数符号均与列和的符号相同,且绝对值均不小于.设中有列的列和为正,有列的列和为负,由对称性不妨设,则.另外,由对称性不妨设的第一行行和为正,第二行行和为负.考虑的第一行,由前面结论知的第一行有不超过个正数和不少于个负数,每个正数的绝对值不超过1(即每个正数均不超过1),每个负数的绝对值不小于(即每个负数均不超过).因此,故的第一行行和的绝对值小于,与假设矛盾.因此的最大值为。