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2019-2020年高考试题——北京卷数学理科含答案本试卷分第I卷(选择题)和第II(非选择题)两部分,第I卷1至2页,第II卷3至9页,共150分.考试时间120分钟.考试结束,将本试卷和答题卡一并交回.第I卷(选择题共40分)注意事项1.答第I卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上.2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.不能答在试卷上.
一、本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知,那么角是( )A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角C.第三或第四象限角D.第一或第四象限角2.函数的反函数的定义域为( )A.B.C.D.3.平面平面的一个充分条件是( )A.存在一条直线B.存在一条直线C.存在两条平行直线D.存在两条异面直线4.已知是所在平面内一点,为边中点,且,那么( )A.B.C.D.5.记者要为5名志愿都和他们帮助的2位老人拍照,要求排成一排,2位老人相邻但不排在两端,不同的排法共有( )A.1440种B.960种C.720种D.480种6.若不等式组表示的平面区域是一个三角形,则的取值范围是( )A.B.C.D.或7.如果正数满足,那么( )A.,且等号成立时的取值唯一B.,且等号成立时的取值唯一C.,且等号成立时的取值不唯一D.,且等号成立时的取值不唯一8.对于函数
①,
②,
③,判断如下三个命题的真假命题甲是偶函数;命题乙在上是减函数,在上是增函数;命题丙在上是增函数.能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是( )A.
①③B.
①②C.
③D.
②xx年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)(北京卷)第II卷(共110分)注意事项1.用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上.2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.
二、填空题本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.9..10.若数列的前项和,则此数列的通项公式为;数列中数值最小的项是第项.11.在中,若,,,则.12.已知集合,.若,则实数的取值范围是.13.xx年在北京召开的国际数学家大会,会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).如果小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,直角三角形中较小的锐角为,那么的值等于.14.已知函数,分别由下表给出123131123321则的值为;满足的的值是.
三、解答题本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.15.(本小题共13分)数列中,,(是常数,),且成公比不为的等比数列.(I)求的值;(II)求的通项公式.16.(本小题共14分)如图,在中,,斜边.可以通过以直线为轴旋转得到,且二面角是直二面角.动点的斜边上.(I)求证平面平面;(II)当为的中点时,求异面直线与所成角的大小;(III)求与平面所成角的最大值.17.(本小题共14分)矩形的两条对角线相交于点,边所在直线的方程为,点在边所在直线上.(I)求边所在直线的方程;(II)求矩形外接圆的方程;(III)若动圆过点,且与矩形的外接圆外切,求动圆的圆心的轨迹方程.18.(本小题共13分)某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动(以下简称活动).该校合唱团共有100名学生,他们参加活动的次数统计如图所示.(I)求合唱团学生参加活动的人均次数;(II)从合唱团中任意选两名学生,求他们参加活动次数恰好相等的概率.(III)从合唱团中任选两名学生,用表示这两人参加活动次数之差的绝对值,求随机变量的分布列及数学期望.19.(本小题共13分)如图,有一块半椭圆形钢板,其半轴长为,短半轴长为,计划将此钢板切割成等腰梯形的形状,下底是半椭圆的短轴,上底的端点在椭圆上,记,梯形面积为.(I)求面积以为自变量的函数式,并写出其定义域;(II)求面积的最大值.20.已知集合,其中,由中的元素构成两个相应的集合,.其中是有序数对,集合和中的元素个数分别为和.若对于任意的,总有,则称集合具有性质.(I)检验集合与是否具有性质并对其中具有性质的集合,写出相应的集合和;(II)对任何具有性质的集合,证明;(III)判断和的大小关系,并证明你的结论.xx年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)(北京卷)答案
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.C2.B3.D4.A5.B6.D7.A8.D
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.10.11.12.13.14.
三、解答题(本大题共6小题,共80分)15.(共13分)解(I),,,因为,,成等比数列,所以,解得或.当时,,不符合题意舍去,故.(II)当时,由于,,,所以.又,,故.当时,上式也成立,所以.16.(共14分)解法一(I)由题意,,,是二面角是直二面角,又二面角是直二面角,,又,平面,又平面.平面平面.(II)作,垂足为,连结(如图),则,是异面直线与所成的角.在中,,,.又.在中,.异面直线与所成角的大小为.(III)由(I)知,平面,是与平面所成的角,且.当最小时,最大,这时,,垂足为,,,与平面所成角的最大值为.解法二(I)同解法一.(II)建立空间直角坐标系,如图,则,,,,,,.异面直线与所成角的大小为.(III)同解法一17.(共14分)解(I)因为边所在直线的方程为,且与垂直,所以直线的斜率为.又因为点在直线上,所以边所在直线的方程为..(II)由解得点的坐标为,因为矩形两条对角线的交点为.所以为矩形外接圆的圆心.又.从而矩形外接圆的方程为.(III)因为动圆过点,所以是该圆的半径,又因为动圆与圆外切,所以,即.故点的轨迹是以为焦点,实轴长为的双曲线的左支.因为实半轴长,半焦距.所以虚半轴长.从而动圆的圆心的轨迹方程为.18.(共13分)解由图可知,参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为
10、50和40.(I)该合唱团学生参加活动的人均次数为.(II)从合唱团中任选两名学生,他们参加活动次数恰好相等的概率为.(III)从合唱团中任选两名学生,记“这两人中一人参加1次活动,另一人参加2次活动”为事件,“这两人中一人参加2次活动,另一人参加3次活动”为事件,“这两人中一人参加1次活动,另一人参加3次活动”为事件.易知;;的分布列012的数学期望.19.(共13分)解(I)依题意,以的中点为原点建立直角坐标系(如图),则点的横坐标为.点的纵坐标满足方程,解得 ,其定义域为.(II)记,则.令,得.因为当时,;当时,,所以是的最大值.因此,当时,也取得最大值,最大值为.即梯形面积的最大值为.20.(共13分)(I)解集合不具有性质.集合具有性质,其相应的集合和是,.(II)证明首先,由中元素构成的有序数对共有个.因为,所以;又因为当时,时,,所以当时,.从而,集合中元素的个数最多为,即.(III)解,证明如下
(1)对于,根据定义,,,且,从而.如果与是的不同元素,那么与中至少有一个不成立,从而与中也至少有一个不成立.故与也是的不同元素.可见,中元素的个数不多于中元素的个数,即,
(2)对于,根据定义,,,且,从而.如果与是的不同元素,那么与中至少有一个不成立,从而与中也不至少有一个不成立,故与也是的不同元素.可见,中元素的个数不多于中元素的个数,即,由
(1)
(2)可知,1231020304050参加人数活动次数。